計(jì)算方法第6章積分

1、計(jì)算定積分,理論上可以用牛頓萊布尼茲公式.而實(shí)際上問題并不是那么簡單.例如:21100sin, xxedxdxx-蝌由于被積函數(shù)的原函數(shù)不能用初等函數(shù)表示,所以不能用牛頓萊布尼茲公式來計(jì)算其定積分.再例如:若被積函數(shù)是用表格形式給出的.那么根本就不具備使用牛頓萊布尼茲公式的條件.6.1 代數(shù)精度與插值型求積公式代數(shù)精度與插值型求積公式6.1.1 代數(shù)精度根據(jù)定積分的定義有01( )lim()bnjjjaf x dxfhlx=其中:1jj1 , =maxh , ,.jjjjjhxxxxlx-=-我們有如下的近似計(jì)算公式.1( )()bnjjjaf x dxf xh=一般地,稱為數(shù)值求積公式,其中

2、x0,x1,xn稱為求積節(jié)點(diǎn),A0,A1,An稱為求積系數(shù).求積系數(shù)只與區(qū)間及區(qū)間內(nèi)節(jié)點(diǎn)有關(guān),與被積函數(shù)無關(guān).稱下式為公式(6.1)的截斷誤差或余項(xiàng).0( )() (6.1)bnjjjaf x dxA f x=0 ( )()bnnjjjaRff x dxA f x=-余項(xiàng)余項(xiàng)直接考察截斷誤差的大小比較困難若f(x)分別取1, x, x2, , xm 時,求積公式(6.1)精確成立,f (x)取 xm+1 時, 式(6.1)不精確成立,那么求積公式(6.1)具有m次代數(shù)精度.定義6.1 如果求積公式(6.1)對任何次數(shù)不高于m次的多項(xiàng)式都能精確成立,而對某個m +1次多項(xiàng)式不精確成立,則稱求積公

3、式(6.1)具有m次代數(shù)精度.例1:求下列求積公式的代數(shù)精度解:記1111( )()()33f x dxff-+1111( )( ), ( )()()33I ff x dxI f = ff-=-+%分別取 f (x)為1, x, x2, x3, x4, 得1111122221(1)12, I=1+1=211( )0, I=-+=0332112(), I=(-) +() =3333IdxI xxdxI xx dx-=%由此可見原求積公式的代數(shù)精度為3次.求積公式的代數(shù)精度越高,此求積公式就越好.13333114444111()0, I=(-) +() =0332112(), I=(-) +()

4、=5933I xx dxI xx dx-=%6.1.2 插值型求積公式當(dāng)f (x)以表格的形式給出時,插值多項(xiàng)式Ln(x) 是 f (x) 的一種近似表達(dá):( )( )( )nnf xL xR x=+所以000( )( )( )()( ) ()() (6.3)bbbnnjjjaaabnnjjjjjjaf x dxLx dxlx f xdxlx dx f xA f x=蝌邋 其中( ) (j=0,1,2,n) (6.4)bjjaAlx dx=L若求積公式(6.1)中的求積系數(shù)具有(6.4)的形式,則稱(6.1)為插值型求積公式插值型求積公式.插值型求積公式(6.3)的截斷誤差為其中與 x 有關(guān),

5、且(a,b).(1)1( ) ( )( ) (6.5)(1)!bbnnnnaafRfRx dxx dxnxw+=+蝌例2：驗(yàn)證下列求積公式是插值型求積公式1111( )()()33f x dxff-+解011211 x, x, A133A= -=Q而111000111110111011( )1( )1xxlx dxdxAxxxxlx dxdxAxx-=-=-蝌蝌所以題設(shè)的求積公式是插值型求積公式。這種求積節(jié)點(diǎn)不含積分區(qū)間端點(diǎn)的情形，稱為開型求積公式.例3:給定求積節(jié)點(diǎn)x0=0, x1=1,試推出積分11()fx dx-的插值型求積公式,并寫出其截斷誤差.解解: 設(shè)求積公式為1011()(0)(

6、1)fx dxA fA f-+要使其為插值型的,則1100111( )201xAl x dxdx-=-蝌1111110( )010 xAlx dxdx-=-蝌得插值型求積公式截斷誤差為:11( )2 (0)0 (1)f x dxff-+111111 ( )1( )(0)(1)2R fR x dxfxxdxx-=-其中(-1,1).定理6.1 求積公式(6.1)為插值型求積公式的充要條件是它的代數(shù)精度至少為n次證:先證必要性設(shè)(6.1)是插值型的,則0( )() (6.1)bnjjjaf x dxA f x=(1)1( ) ( )(1)!bnnnafRfx dxnxw+=+當(dāng) f (x)為次數(shù)不

7、超過n的多項(xiàng)式時,(1)( )0nfx+從而 0nRf即(6.1)精確成立,進(jìn)而(6.1)的代數(shù)精度至少為n次.再證充分性設(shè)00011( )()()()()bnjjjannfx dxA fxA fxA fxA fx=+L則分別取f(x)為01nl (x),l (x),l (x)L注意到它們都是n次多項(xiàng)式,所以求積公式精確成立.的代數(shù)精度至少為n次.于是有00()( )()()0,1,j jjbjajn jnjlxlx dxAlxA lxAjnA=+=LLL所以求積公式(6.1)為插值型的.作業(yè):P192: 1, 2(1), 3, 4(上機(jī): P152: 15, 17)只有此項(xiàng)不為06.2 牛頓

8、牛頓-柯特斯求積公式柯特斯求積公式6.2.1 牛頓-柯特斯求積公式將積分區(qū)間n等份, 被積函數(shù)用拉格朗日插值多項(xiàng)式來近似.由此得到的求積公式稱為牛頓-柯特斯（Newton-Cotes）求積公式.下面推導(dǎo)N-C求積公式的求積系數(shù)公式.根據(jù)求積系數(shù)計(jì)算公式(6.4)有1( )1( )()bbnjjjjaaxAlx dxdxxxxww+=-蝌令積分變換 x=a + t h, 則111( )(1)(),()( 1)!()!,nnnjnnjxht ttnxj nj hww+-+=-= -L于是00( )( 1)(1)(1)(1)()!()!( 1)()(1)(1)(1)()!()!() j=0,1,nn

9、njjnnjnjhAt ttjtjtn dtj njbat ttjtjtn dtj nj nba c-=-+-=-+-=-LLLLL稱Cotes系數(shù)其中此時插值型求積公式為( )0( 1)(1)(1)(1)()!()!nnjnjct ttjtjtn dtj nj n-=-+-LL( )00( )()() (6.7)bnnnjjjjjjaf x dxA f xbacf=-邋稱為柯特斯(Cotes)系數(shù).求積截斷誤差為:稱牛頓稱牛頓- -柯特斯求積公式柯特斯求積公式由于公式（6.7）就是等距節(jié)點(diǎn)情形的插值型求積公式,由定理6.1知, (6.7)至少具有n次代數(shù)精度,由于節(jié)點(diǎn)等距,還可以進(jìn)一步得到:

10、定理定理6.2 當(dāng)?shù)确謹(jǐn)?shù)當(dāng)?shù)确謹(jǐn)?shù)n為偶數(shù)時為偶數(shù)時,牛頓牛頓-柯特斯柯特斯(6.7)至少具有至少具有n+1次代數(shù)精度次代數(shù)精度.(1)12(1)0( ) ( )(1)!( ) (1)() (6.8)(1)! (a,b),bnnnannnfRfx dxnhft ttn dtnxxwxx+=+=-+L并依賴于證:由定理6.1知,公式(6.7)至少具有n次代數(shù)精度.下證當(dāng)n為偶數(shù)時,(6.7)對f (x)=xn+1精確成立.即Rn f =0.由于1( )nf xx+=所以(1)( )(1)!nfxn+=+由(6.8)得20 (1)()nnnRfht ttn dt+=-L由于n為偶數(shù),所以為整數(shù),令2

11、ntz=+則有2222222222 ()(1)(1) (1)(1)()2222(1)(2)( ) )0 2nnnnnnnnnnnRfhzzzz zzzdznhz zzzdz+-+-=+-+-+-=-=LLL證畢證畢奇函數(shù)2n下面討論如何計(jì)算柯特斯系數(shù)，根據(jù)計(jì)算公式知,柯特斯系數(shù)只與n有關(guān).因此只要確定了n,就可求出Cotes系數(shù)，并制作成表。( )0( 1)(1)(1)(1)()!()!nnjnjct ttjtjtn dtj nj n-=-+-LL11(1)(1)010011(1), 22ctdtctdt= -=蝌當(dāng)n=2等分時：22(2)(2)01002(2)201114(1)(2),(2)

12、,462611(1),46cttdtct tdtct tdt=-= -=-=蝌當(dāng)n=1等分時：柯特斯系數(shù)見P162： 表6.1相加都為相加都為1喲喲6.2.2 幾個低階求積公式牛頓-柯特斯求積公式實(shí)際上是通過用n+1個節(jié)點(diǎn)插值來求得被積函數(shù)的n次插值多項(xiàng)式,而實(shí)際計(jì)算時一般不采用高次(n7)插值.所以高階N-C求積公式也不宜采用.常用的是低階N-C求積公式,n=1,2,4等分時的求積公式,對應(yīng)地稱作梯形求積公式,辛卜生求積公式及柯特斯求積公式.（1）梯形公式 當(dāng)n=1時( ) ( )( ) (6.9)2babaf x dxf af bT-+其誤差為21() ( ) a (6.10)12baRf

13、fbhh-= -由此知梯形公式具有一次代數(shù)精度.(2) 辛卜生公式當(dāng)n=2時,節(jié)點(diǎn)2abc+=( ) ( )4 ( )( ) (6.11)6babaf x dxf af cf bS-+(拋物線公式)其誤差為5(4)2() ( ) a (6.12)2880baRffbhh-= -由此知辛卜生公式具有三次代數(shù)精度.(3) 柯特斯公式當(dāng)n=4時,節(jié)點(diǎn)3,()424babadaceaba-+=+=+-( )7 ( )32 ( )12 ( )32 ( )7 ( ) (6.13)90baf x dxbaf af df cf ef bC-+其誤差為(6)748 ( )() a (6.14)9454baRff

14、bhh-= -由此知柯特斯公式具有五次代數(shù)精度.例4 P166: 分別用梯形、辛卜生、柯特斯公式計(jì)算10.5xdx解：解：1、 利用梯形公式10.51 0.5( 0.51)0.42677672xdx2、用辛卜生（拋物線）公式：10.51 0.5( 0.54 0.751)60.43093xdx原積分的準(zhǔn)確值 31120.50.520.430964413xdxx3、用柯特斯公式：10.50.5(7 0.532 0.62512 0.7532 0.8757 1)900.43096xdx下面討論牛頓柯特斯公式的數(shù)值穩(wěn)定性首先牛頓-柯特斯求積公式為( )0( )()()bnnjjjaf x dxbaCf

15、x=-其代數(shù)精度至少為n次.令f(x)=1,則有( )0()bnnjjadxbaC=-進(jìn)而( )01nnjjC=假設(shè)則有*()jfx為精確值,()jf x帶有誤差je*()()jjjfxf xe=+于是可得*( )*( )00( )( )00()()()()()()nnnnjjjjjjnnnnjjjjjIIbaCfxbaCf xbaCbaCee=-=-=-邋邋其中0maxjjnee=若 7n此時柯特斯系數(shù)全為正,因此有*()IIba e-所以計(jì)算是穩(wěn)定的.當(dāng)n7時,柯特斯系數(shù)出現(xiàn)負(fù)數(shù),計(jì)算將是不穩(wěn)定的.根據(jù)上節(jié)的討論,我們陷入了矛盾之中.若n取得很大,能保證精度但會出現(xiàn)數(shù)值不穩(wěn)定;若n取得很小

16、,能保數(shù)值穩(wěn)定.但不能保證精度.解決矛盾的方法是:將積分區(qū)間分為若干個小區(qū)間,在每個小區(qū)間用低階求積公式,再把結(jié)果加起來.這種算法就叫復(fù)化求積算法.6.3 復(fù)化求積公式復(fù)化求積公式6.3.1 復(fù)化梯形公式復(fù)化梯形公式將積分區(qū)間n等分,在每個小區(qū)間xk-1, xk上用梯形公式11( ) ()()2kkxkkxhf x dxf xf x-+其中111111( )( ) ()()2 ( )2()( ) (6.15)2kkxbnnkkkkaxnnkkhf x dxf x dxf xf xhf af xf bT-=-=+=+邋蝌再相加bahn-=截斷誤差公式為:6.3.2 復(fù)化辛卜生公式復(fù)化辛卜生公式將

17、積分區(qū)間n等分, n=2m為偶數(shù),在每個小區(qū)間x2k-2 , x2k上用辛卜生公式2 ( ), a,b (6.16)12TbaRfh fhh-= -22222212( ) ()4 ()()62kkxkkkxf x dxf xf xhf x-+bahn-=其中再相加2221222121121211( )( ) ()4 ()()3 ( )4()2()( ) (6.17)3kkxbnkaxmkkkkmmnkkkkf x dxf x dxhf xf xf xhf af xf xf bS-=-=-=+=+蝌邋截斷誤差公式為:4(4) ( ), a,b (6.18)180SbaRfh fhh-= -例5

18、已知某河寬為20m,測得水深f(x)如下表(單位:m)分別用復(fù)化梯形公式和復(fù)化辛卜生公式計(jì)算河水的截面積.xk02468101214161820yk1.01.51.83.02.82.53.02.82.01.81.4200( )f x dx解: (1)用復(fù)化梯形公式n=10等份,步長h=2,記yk=f(xk),由公式(6.15)用復(fù)化辛卜生公式n=10等分, m=5, 步長h=2米. 由公式(6.17)得201001291002( )2()244.8 ()hf x dxTyyyyym=+=L20505701392468102( )4()32()45.3()fx dxShyyyyyyyyyyym=

19、+=例6 用復(fù)化梯形公式和復(fù)化辛卜生公式計(jì)算積分的近似值時,要求截斷誤差的絕對值不超過-10 xedx41102-問分別應(yīng)將區(qū)間0,1分成多少等份.解: 由于( )xf xe-=所以( )xfxe-=及(4)( )xfxe-=于是(4)0101max( )1,max( )1xxfxfx=用復(fù)化梯形公式時,由(6.16)得要使h-=22 ( )1212TbahRfhf41 102TRf-只要-24110122h因此0.02449h而140.8nh=即只需將0,1分成 n=41 等份.用復(fù)化辛卜生公式時,由(6.18)得解之44(4)411 ( )101801802shRfhfh-=0.308h1

20、3.247nh=進(jìn)而要達(dá)到相同的精度,只需將0,1分成n=4等份.（取 n=4 等分）6.4 龍貝格算法龍貝格算法6.4.1 復(fù)化梯形公式逐次分半算法由于梯形公式的截斷誤差為2 ( ), a,b (6.16)12TbaRfh fhh-= -可見步長h縮小，誤差將減少. 理論上可以象例6那樣,根據(jù)精度確定積分步長h,但是由于誤差估計(jì)式中含有二階導(dǎo)數(shù),這對于應(yīng)用來說就帶來很大的困難.所以實(shí)際計(jì)算時,往往是先以一個給定的步長h計(jì)算積分.得到一個近似值,然后再將h縮小一倍計(jì)算新的近似值,這樣可以得到一系列近似值.(例如:T1,T2,T4,T8,)一般地,設(shè)定一個誤差限,當(dāng) 時,停止計(jì)算,取為所求積分的

21、近似值.現(xiàn)在的問題是,在計(jì)算后一次的積分時,前一次計(jì)算的結(jié)果是否可以利用?122mmTTe-0)的算法F(h)是收斂于F*的,且截斷誤差為:12*12( ) (6.22)kpppkFF ha ha ha h-=+LL其中是與無關(guān)的常數(shù).且120. kpppLL即算法 逼近 的誤差階是( )F h*F1()pO h取一正數(shù)q(q1),由(6.22)式得12*12()()()() (6.23)kpppkFF qha qhaqhaqh-=+LL用 乘(6.22)式得1pq1112*12( ) (6.24)kpppppkqFF hqa ha ha h-=+LL(6.23)-(6.24)得12*12()

22、()()() (6.23)kpppkFF qha qhaqhaqh-=+LL1112*12( ) (6.24)kpppppkqFF hqa ha ha h-=+LL112121*2(1) ()( )()()kkpPppppppkqFF qhq F ha qqhaqqh-=-+-+LL進(jìn)而得2112211*2()()( )()11pppppppa qqF qhq F hFhO hqq-=+=-L令111()( )( )1ppF qhq F hF hq-=-則2*1( )()pFF hO h-=2()pO h類似地,令22112()( )( )1ppF qhqF hFhq-=-則算法F2(h)收斂

23、到F*的誤差階提高到3()pO h不斷重復(fù)這樣的做法,得到算法即算法F1(h)收斂到F*的誤差階提高到011( )( ) (6.25)()( )( ) (m=1,2,)1pmmmmmpFhF hFqhqFhFhq-=-=- L此式稱為李查遜外推法,截斷誤差為李查遜外推法計(jì)算順序按下表進(jìn)行.1*( )()jpjFFhO h+-=F0(h) F0(qh)F1(h) F0(q2h) F1(qh) F2(h) F0(q3h) F1(q2h) F2(qh) F3(h)6.4.3 龍貝格積分法對復(fù)化梯形公式的逐次分半算法使用李查遜外推法加速,就得到龍貝格積分法.設(shè):*( )baFf x dx=將區(qū)間a,b

24、分成2k等份,步長為2kbah-=記( )002( )kkTTF h=則有*242012( )iiFFha ha ha h-=+LL即=L122,4,2iippp取即=1,2q由李查遜公式得21121()( )( )22( )11( )2mmmmmhFFhFh-=-(1)( )11114()( )42( )4141(0,1,2,) (m=1,2,) (6.27)mmkkmmmmmmmhFFhTTFhk+-=-=LL其中( )( ),2kmmkbaTFhh-=這就是龍貝格積分法,進(jìn)一步整理得龍貝格算法的誤差為:1(0)02( )(1)001(1)( )( )11 ( )( ),21(21)222

25、 (6.28)1,2,4411,2,0,1,1kkkkkimlllmmmmbaTf af bbabaTTf aikTTTmklk-=+-=+-=+-=-=-=- LLL*( )22()kmmFTO h+-=的線性組合,其系數(shù)分別是:龍貝格算法實(shí)際上是m-1次計(jì)算的兩個值:(1)(k)1m-1, TkmT+-41,4141mmm-例8:用龍貝格算法計(jì)算解: e=+1-5204 ( =10 )1Idxx-=+=+=(0)01 ( )( ) (0)(1)322baTf af bff =+=(1)(0)00111( )3.1222TTf=-=(0)(1)(0)100413.1333333TTT=+=(2)(1)001113 ( )( )3.131182444TTff=-=(1)(2)(1)100413.1415733TTT這樣一直算下去, 由于-=( )0baf x dx且=1()0njjjA f x所以求積公式(6.29)不可能精確成立.綜合有:具有n個節(jié)點(diǎn)的求積公式(6.29)的代數(shù)精度最高為2n-1次.定義6.2 如果求積公式(6.29)的代數(shù)精度為2n-1次,則稱此公式為高斯型求積公式.節(jié)點(diǎn) 稱為高斯節(jié)點(diǎn).1,2,n