數(shù)列與不等式的綜合練習(xí)

1、數(shù)列與不等式的綜合思路提示：數(shù)列與不等式的綜合是高考的熱點(diǎn)問題，其綜合的角度主要包括兩個(gè)方面：其一，不等式恒成立條件下，求參數(shù)的取值范圍；其二，不等式的證明，常見方法有比較法、構(gòu)造輔助函數(shù)法、放縮法和數(shù)學(xué)歸納法等。I.不等式的證明（構(gòu)造輔助函數(shù)法與放縮法的應(yīng)用）一構(gòu)造輔助函數(shù)（數(shù)列）證明不等式經(jīng)典不等式1：例1：證明不等式例2：證明不等式例3：設(shè)函數(shù)（1）求函數(shù)的極值（2）當(dāng)（3）求證：。例4：已知函數(shù)，各項(xiàng)都小于零的數(shù)列。（1）求證：；（2）求證：經(jīng)典不等式2：經(jīng)典不等式3:例1：求證：對任意的，都有成立。2放縮法證明不等式方法1：對進(jìn)行放縮，然后求和例1：求證：變式1：（2010四川理22

2、改編）求證：.例2：已知數(shù)列.（1）求；（2）。變式1：已知函數(shù)求證：。變式2：數(shù)列中，。（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（2）設(shè).變式3：在數(shù)列，中，且成等差數(shù)列，成等比數(shù)列.（1）求，由此猜測的通項(xiàng)公式，并證明你的結(jié)論；（2）證明：變式4：（2012廣東理）設(shè)數(shù)列的前，滿足,且成等差數(shù)列。（1）求的值；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）證明：對一切正整數(shù)，有。例5：已知數(shù)列滿足（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）證明：。方法2：添舍放縮例1：求證：變式1：方法3：對于一邊是和或者積的數(shù)列不等式，可以把另外一邊的含的式子看作是一個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和或者積，求出該數(shù)列通項(xiàng)后再左、右兩邊一對一比較大小，這種思路非常有效，還可以分析出放縮法證明的操作方法，易于掌握。需要指出的是，如果另外一邊不是含的式子，而是常數(shù)，則往往需要尋找目標(biāo)不等式的加強(qiáng)不等式，再予以證明。例1：求證：變式1：（2010湖北理21）求證：例2：已知,求證變式1：已知，求證方法4：單調(diào)放縮例1：等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知對任意的,點(diǎn)均在函數(shù)的圖像上。（1）求的值（2）當(dāng)時(shí)，記,求證：對任意的,不等式成立。變式1：已知曲線，從點(diǎn)向曲線引斜率為的切線，切點(diǎn)為。（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求證：。變式2：已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)