2019高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)題型專題02函數(shù)與導(dǎo)數(shù)理

1、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)熱點(diǎn)一利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)以含參數(shù)的函數(shù)為載體，結(jié)合具體函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的幾何意義，研究函數(shù)的性質(zhì)，是高考的熱點(diǎn)、重點(diǎn)本熱點(diǎn)主要有三種考查方式：(1)討論函數(shù)的單調(diào)性或求單調(diào)區(qū)間；(2)求函數(shù)的極值或最值；(3)利用函數(shù)的單調(diào) 性、極值、最值，求參數(shù)的范圍 【例 1】設(shè)函數(shù)f(x) = (1 -x2)ex.(1) 討論f(x)的單調(diào)性；當(dāng)x0時，f(x)wax+ 1,求正實(shí)數(shù)a的取值范圍.解(1 護(hù)=一 21 存十(1-巧聲=1-加一巧戎令fx)=Q,得 護(hù)+2xl=0,解得一寸勒=邁一 1，令丁沁，則4 訂,令貝肛筑一 -邁一 uuWi-1, +8).與 0 在區(qū)間(-8,-迪1),(

2、A/5-L,+8)上單調(diào)遞猱 在區(qū)間(-血-1,邁-1)上單調(diào)遞増一x(2)f(x) = (1 +x)(1 -x)e .當(dāng)a1時，設(shè)函數(shù)h(x) = (1 -x)ex,h (x) = -xex0)，因此h(x)在0 ,+)上單調(diào)遞減，又h(0)=1，故h(x)w1,所以f(x) = (x+ 1)h(x)wx+ 1wax+1.當(dāng) 0a0(x0),所以g(x)在0,+s)上單調(diào)遞增.又g(0) = 0，故 exx+ 1.X2當(dāng) 0 x (1 -x)(1 +x),又(1 -x)(1 +x)2- (ax+ 1) =x(1 -a-x-x2), 5 4a 1取Xo=，則Xo (0 , 1),(1 -X0)

3、(1 +X。)-ax。一 1= 0,故f(X0)ax0+ 1.綜上可知，正實(shí)數(shù)a的取值范圍是1,+s).【類題通法】(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值等問題，最終歸結(jié)到判斷f(x)的符號問題上，而f(x)0 或f(x)在伶+8)上有解只需怡卜)，即討加0，得6 -g所以，當(dāng) Q制 5)在伶+8)上存在單調(diào)遞増區(qū)間.1=-,/f (1) = 1+ 1 + 2a= 2a 0,f (4) = 16 + 4+ 2a= 2a 12v0，則必有一點(diǎn)XO 1 ,4，使得f(x。)=0，此時函數(shù)f(x)在1 ,xo上單調(diào)遞增，在X0, 4上單調(diào)遞減,1 1 1f(1) = 3+ 2+ 2a= 6+

4、 2a 0,熱點(diǎn)二利用導(dǎo)數(shù)解決不等式問題導(dǎo)數(shù)在不等式中的應(yīng)用問題是每年高考的必考內(nèi)容，且以解答題的形式考查，難度較大，屬中高檔題 起來常見的命題角度有：(1)證明不等式；(2)求解不等式；(3)不等式恒(能)成立求參數(shù)_ _ 2【例 2】(滿分 12 分)已知函數(shù)f(x) = Inx+ax+ (2a+ 1)x.(1)討論f(x)的單調(diào)性;當(dāng)a0 時，證明f(x)w 4 2.4a1 1亦+廿1|n x的變形，源于教材選修22 P32 習(xí)題 B1,是在教材基本框架ex1 +x與x 1 +a的取值范圍;當(dāng) Ovav2 時，f(x)在1 , 4上的最小值為一16T，求f(x)在該區(qū)間上的最大值(2)已

5、知 Ovav2,f(x)在1 , 4上取到最小值一(x) = x2+x+ 2a的圖象開口向下，且對稱軸-f(4)=1X64+1x16+8a=40+8a= 32316a= 1.此時，由f(X。)= x0+X0+ 2 = 0?X。= 2 或一 1(舍去)，所以函數(shù)f(x)max=f10亍.歸納教材探源 本題第(2)問的實(shí)質(zhì)是證明 In(1)若f(x)在+m上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求4Inx基礎(chǔ)上，結(jié)合函數(shù)性質(zhì)，編制的優(yōu)美試題滿分解答(1)解f(x)的定義域?yàn)?0,+),1(2ax+ 1)(x+ 1)f(x) =x+ 2ax+ 2a+ 1=x.1 分(得分點(diǎn) 1)z.z.若a0時，則當(dāng)x (0，+)時，

6、f (x)0,故f(x)在(0,+)上單調(diào)遞增，2 分(得分點(diǎn) 2)若a0 ；、，!， 2a上單調(diào)遞增，在2a，+m上單調(diào)遞減.5 分(得分點(diǎn) 3)證明 宙知，當(dāng) go 時 M 町在尸-孰 b 取得最犬值最犬值為+魯+1W0, 8 分(得分點(diǎn) 4)設(shè)凰 X)=lz 工 r+1,則當(dāng)工0 U 時，丁耳+8 時所以昶 0 在 O 1)上單調(diào)遞増,在+8)上單調(diào)遞減故當(dāng)片 1 時或功取得最犬值最大值為型尸 43故f(x)w廠2.12 分(得分點(diǎn) 6)4a得分要點(diǎn)?得步驟分：抓住得分點(diǎn)的步驟，“步步為贏”，求得滿分，如第(1)問中，求導(dǎo)正確，分類討論；第(2)問中利用單調(diào)性求g(x)的最小值和不等式性

7、質(zhì)的運(yùn)用?得關(guān)鍵分：解題過程不可忽視關(guān)鍵點(diǎn)，有則給分，無則沒分，如第13當(dāng)x2a，+s時，f(x)0 時,g(x) 0,從而當(dāng)a0 時,In1 1亦+2a+10,(1)問中，求出f(x)的定義域，f (x)5在(0 , +)上單調(diào)性的判斷；第(2 )問，f(x)在x=J 處最值的判定，f(x)w廠一 2 等價(jià)轉(zhuǎn)化為 In2a4a+J+ 1W0等.2a61第(2)問中，準(zhǔn)確計(jì)算f(x)在x=處的最大值.2a【類題通法】禾 U 用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)問題的步驟第一步：求函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f(X)；第二步：分類討論f(x)的單調(diào)性；第三步：利用單調(diào)性，求f(x)的最大值；第四步：根據(jù)要證的不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)

8、，構(gòu)造函數(shù)g(x)；第五步：求g(x)的最大值，得出要證的不等式；第六步：反思回顧，查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯點(diǎn)和解題規(guī)范【對點(diǎn)訓(xùn)練】設(shè)函數(shù)f(x) = Inxx+ 1.(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；x一 1證明當(dāng)x (1 ,+)時，11,證明當(dāng)x (0 , 1)時，1 + (c 1)XCx.解 由用) =111工一工+得1.令f(x)-O,解得兀=L當(dāng)(Xxl時，/(x)X),爪)單調(diào)遞増.當(dāng)Q1時，。用)單調(diào)遞減.因此蟲功在(0,)上是增函數(shù)，在(1,+8)上為減函數(shù).證明 由知，函數(shù)f(x)在x= 1 處取得最大值f(1) = 0. 當(dāng)XM1時，Inxx 1.故當(dāng)x(1,+s)時，Inxx1,I

9、n -1,設(shè)g(x) = 1 + (c 1)xcx,x則g(x) =c 1 cInc.?得計(jì)算分：解題過程中計(jì)算準(zhǔn)確是得滿分的根本保證.如第(1)問中，求導(dǎo)f(X)準(zhǔn)確，否則全盤皆輸,即 1InIn令g(x) = 0，解得xoc 1IncInc7當(dāng)x0 ,g(x)單調(diào)遞增;8當(dāng)xxo時，g (x)0,g(x)單調(diào)遞減.由知代心，故咲又g(0) =g(i) = o,故當(dāng) ox0.當(dāng)x(0 , 1)時，1 + (c l)xcx.【例 3】已知函數(shù)f(x) =x 1 alnx.(1) 若f(x) 0,求a的值；(2) 設(shè)m為整數(shù)，且對于任意正整數(shù)n， + 2 ,H +22 + 2nm求m的最小值.解

10、(S)的定義域?yàn)?+8),1若於0因?yàn)?Q-|+41II20,1 f1、1令x= 1 +尹得 In1+尹f 1、 f1) f 11 111從而 In i1 + In |1 + 2 + In |1 + 歹 2,23-21+寺=9當(dāng)n3時，j1+ 2 i1+ p . 門 +2n(2，e),由于 X + p !：，1 +2).11 +png(a)對于xD恒成立，應(yīng)求f(x)的最小值；若存在xD,使得f(x) g(a)成立，應(yīng)求f(x)的最大值.在具體問題中究竟是求最大值還 是最小值，可以先聯(lián)想“恒成立”是求最大值還是最小值，這樣也就可以解決相應(yīng)的“存在性”問題是求 最大值還是最小值特別需要關(guān)注等號是

11、否成立問題，以免細(xì)節(jié)出錯a一12 xx【對點(diǎn)訓(xùn)練】已知函數(shù)f(x) =x- (a+ 1)lnx-x(a R 且ae) ,g(x) = px+ e -xe .2(1)當(dāng)x 1 , e時，求f(x)的最小值；2當(dāng)av1 時，若存在X1 e , e ，使得對任意的X2 2, 0 ,f(xvg(X2)恒成立，求a的取值范圍(Y 1 )( Y解a用)的定義域?yàn)閍sg、r何二若aWl,當(dāng)司時，f則用)在1創(chuàng)上為增函數(shù)用)還=用)=i-疋當(dāng)圧山町時，/a)wo,用)為減函數(shù)； 當(dāng)xEa,對時，/0,用)為増函數(shù). 所以用l)luo - 1-綜上當(dāng)aWl時，兀C)iniiL=l-垃；當(dāng)時1)1HG-I52由題

12、意知：f(x)(xe, e)的最小值小于g(x)(x 2, 0)的最小值. 由(1)知f(x)在e , e2上單調(diào)遞增,axf(x)min=f(e) = e (a+ 1),又g ( x) = (1 e )x.e當(dāng)x 2, 0時，g (x)w0,g(x)為減函數(shù)，則g(x)min=g(0) = 1,102所以 e (a+ 1) a匚竽ee+ 1；e2 2e所以a的取值范圍為eri，i .熱點(diǎn)三導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的零點(diǎn)問題導(dǎo)數(shù)與函數(shù)方程交匯是近年命題的熱點(diǎn)，常轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，研究函數(shù)的極 求解時應(yīng)注重等價(jià)轉(zhuǎn)化與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，其主要考查方式有：(1)確定函數(shù)的零點(diǎn)、由函數(shù)的零點(diǎn)、圖象交點(diǎn)

13、的情況求參數(shù)的取值范圍2xx【例 4】已知函數(shù)f(x) =ae + (a 2)e x.(1) 討論f(x)的單調(diào)性；(2) 若f(x)有兩個零點(diǎn)，求a的取值范圍解 (1)由于f(x) =ae2x+ (a 2)exx,故f(x) = 2ae2x+ (a 2)ex 1 = (aex 1)(2ex+ 1),xx1當(dāng)aw0時，ae 10.從而f(x)0 時，令f(x) = 0,得x= Ina.當(dāng)x變化時，f (x) ,f(x)的變化情況如下表：x(g,Ina)Ina(Ina,+g)f(X)一0+f(x)、J極小值J綜上，當(dāng)a0 時，f(x)在(一g,Ina)上單調(diào)遞減;在(In a,+m)上單調(diào)遞增.

14、(最)值的正負(fù),圖象交點(diǎn)的個數(shù)；11(2)( i )若口 W0,由燦 金)至多有一個零點(diǎn)(H)若爐山由紙 當(dāng)尸一認(rèn)時，他取得最小值,最小倩為 Jt-hia)=l-+1當(dāng)癥=1 時，由于貞如反)=0,故”敗)只有一個零點(diǎn)2當(dāng)應(yīng)(1, +8)3 寸，由于 l-+lndt0?PPX-lna)0?故兀沒有零點(diǎn)；13當(dāng)a (0，1)時，1一 + Ina0，即f( Ina) 2e + 20,故f(x)在(g,Ina)有一個零點(diǎn).設(shè)正整數(shù)no滿足noln3 1 ,則f(no) = eno(aeno+a 2) noenono2nonoO.因此f(x)在(一 Ina,+g)有一個零點(diǎn)綜上，a的取值范圍為(o ,

15、 1).【類題通法】用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)，一是用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，借助零點(diǎn)存在性定理判斷；二是將 零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，結(jié)合函數(shù)的極值利用數(shù)形結(jié)合來解決【對點(diǎn)訓(xùn)練】已知函數(shù)f(x) = 2a2lnxx2(ao).(1)當(dāng)a= 1 時，求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1 ,f(1)處的切線方程;(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；討論函數(shù)f(x)在區(qū)間(1 , e2)上零點(diǎn)的個數(shù)(e 為自然對數(shù)的底數(shù)).解 當(dāng)口=1時，典c)=21nx-妙2:f(x)=-2x, :/ (1)=0二曲線尸用)在點(diǎn)夬功處的切維方程為V+ 1=0.2 2 222a門 2a 2x 2 (xa)(x+a)xx，f(x) = 2x=-xxx/xo,ao,.當(dāng) oxo，當(dāng)xa時，f (x)o. f (x)在(o ,a)上是增函數(shù)，在(a,+g)上是減函數(shù).2(3)由(2)得f(x)max=f(a) =a(2Ina 1).討論函數(shù)f(x)的零點(diǎn)情況如下：1當(dāng)a2(2Ina 1)o，即即 oa , e 時，函數(shù)f(x)無零點(diǎn)，在(1 , e2)上無零點(diǎn)；2當(dāng)a2(2Ina 1) = o,即卩a= .e 時，函數(shù)f(x)在(o，+g)內(nèi)有唯一零點(diǎn)a,而 1a= .e Ina,2(2) f(x) = 2aIn13個零點(diǎn)；3當(dāng)a2(2Ina 1)o ,即即a e 時，_222242422由于f