高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)點撥 利用期望方差證明不等式

1、構(gòu)造概率分布列利用E2(E)2證明不等式若離散型隨機變量列為P(xi)Pi(i=1，2，n)，其中p1p21，則依方差公式DE2（E）2(x1E)2p1(x2E)2p2(xiE)2pi0，可得E2（E）2.利用這一結(jié)論，在證明一些不等式時，若能根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征，巧妙地構(gòu)造離散型隨機變量，則可另辟蹊徑，別具一格地證明不等式.構(gòu)造分布列證明不等式的一般步驟是：(1)根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征確定隨機變量的取值xi及相應(yīng)的概率值pi.(2)分別計算隨機變量及2的期望EE2.(3)最后利用E2(E)2.一、利用不等式的輪換對稱性構(gòu)造分布列如果所證的不等式中含有n個字母，且不等式是一個關(guān)于每個字母的輪換對

2、稱式，則可以根據(jù)每個字母在式中處于同等的地位的特點，則可將每個字母取值視為一個隨機變量的取值，每個取值的概率均為.例1求證()2·證明：構(gòu)造隨機變量的分布列為abP所以E，(E)2由E2(E)2，得()2。數(shù)學(xué)期望也常稱為均值.E2(E)2說明2的“平均值”不小于的“平均值”的平方.而不等式()2說明平方平均數(shù)不小于算術(shù)平均數(shù)的平方.兩者之間確有類似之處充分體現(xiàn)出隨機性數(shù)學(xué)與決定性數(shù)學(xué)的融合，顯示了數(shù)學(xué)的統(tǒng)一.例2求證：已知a，b，cR，求證：a2b2c2abbcac.證明：不等式為關(guān)于a、bc的輪換對稱式，構(gòu)造隨機變量的分布列為abcP所以E，(E)2由E2(E)2，得()2，化簡

3、整理得a2b2c2abbcac.二、利用“和為1”條件構(gòu)造分布列如果證明以幾項的和為1的條件不等式，則取所證不等式的項或項的部分因式及變式為隨機變量，取和為1的項為隨機變量相應(yīng)的概率構(gòu)造分布列.如果題設(shè)條件中沒有“和為1”的等式，則可以通過湊“和為1”，其湊法主要有兩條途徑：一是根據(jù)所給的條件等式變形湊“1”；二是根據(jù)已有的公式或題中沒有的而成立的等式湊“1”.例3已知a，b是不相等的兩個正數(shù)，x、yR，且ab1求證：ax2by2(axby)2.證明：構(gòu)造隨機變量的分布列為xyPab所以Eaxby，E2ax2by2，由E2(E)2，得ax2by2(axby)2.例4已知x2y216，求證：xy

4、4.證明：由x2y216，變形得1，所以與為概率，而所證不等式變形為，根據(jù)概率的特點取隨機變量為與，因此，構(gòu)造隨機變量的分布列為：P所以E，E22，由E2(E)2，即2()2，化簡整理得xy4.例5設(shè)a0b0c0，求證：.證明：(ab)(bc)(ac)2(abc)，1，同時取左端的部分因式為隨機變量，構(gòu)離散型隨機變量的分布列：P()；P()；P()；E2()2()2()2()·，E···，依E2(E)2，可得).例6設(shè)、（0，），求證1.證明：cos()coscossinsin，1，時取左端的部分因式為隨機變量，構(gòu)離散型隨機變量的分布列：P()；P()；E2()