第二章不等式學(xué)生版

1、第二章 一元二次不等式第三講 基本不等關(guān)系【知識整合】1. 導(dǎo)入在日常生活、生產(chǎn)實際和科學(xué)研究中經(jīng)常要進行大小、多少、高低、輕重、長短和遠近的比較，反映在數(shù)量關(guān)系上就是相等與不等兩種情況。例如：（1）某博物館的門票每位10元，20人以上（含20人）的團體票8折優(yōu)惠。那么不足20人時，應(yīng)該選擇怎樣的購票策略？（2）某雜志以每本2元的價格發(fā)行時，發(fā)行量為10萬冊。經(jīng)過調(diào)查，若價格每提高0.2元，發(fā)行量就減少5000冊。要使雜志社的銷售收入大于22.4萬元，每本雜志的價格應(yīng)定在怎樣的范圍內(nèi)？2. 不等式的有關(guān)概念2.1 用不等號（<、>、）表示不等關(guān)系的式子叫不等式，記作fx>gx

2、,f(x)g(x)等。2.2 關(guān)于ab的含義不等式“ab”的含義是“或者a>b，或者a=b”，等價于“a不小于b”，即若a>b或者a=b之中有一個正確，則有ab正確。3. 實數(shù)的特征與實數(shù)比較大小3.1 實數(shù)的兩個特征（1）任意實數(shù)的平方不小于0，即aRa20；（2）任意兩個實數(shù)都可以比較大小，反之，可以比較大小的兩個數(shù)一定是實數(shù)。3.2 實數(shù)比較大小的依據(jù)和方法（1）實數(shù)比較大小的依據(jù)：在數(shù)軸上不同的點A與點B分別表示兩個不同的實數(shù)a與b，右邊的點表示的數(shù)比左邊的點表示的數(shù)大，從實數(shù)減法在數(shù)軸上的表示（如圖1），可以看出a、b之間具有以下性質(zhì)：如果a-b是正數(shù)，那么a>b；

3、如果a-b是負數(shù)，那么a<b；如果a-b等于零，那么a=b，反之也成立，從而a-b>0a>b；a-b=0a=b；a-b<0a<b。（2）實數(shù)比較大小的基本方法：作差法，即a-b>0a>b；a-b=0a=b；a-b<0a<b。作商法，即a、b>0,ab>1a>b；a、b<0,ab>1a<b例1 已知a+b>0，則有ab2+ba2與1a+1b的大小關(guān)系是 4. 不等式的性質(zhì)（1）a<bb>a（對稱性）；（2）a>b,b>ca>c（傳遞性）；（3）a>ba+c>b

4、+c（可加性）；（4）a>b,c>da+c>b+d（同向相加原理）；（5）a>b,c>0ac>bc而a>b,c<0ac<bc；（6）a>b>0,c>d>0ac>bd；（7）a>b>00<1a<1b；例2 適當(dāng)增加不等式條件使下列命題成立。（1）若a>b，則acbc；（2）若ac2>bc2，則a2>b2；（3）若a>b，c>d 則ad>bc；例3 若0<<,-4<<4，求-的范圍例4 如果15<x<25,10<y

5、<30，求xy的取值范圍5. 不等式的解法5.1 絕對值不等式的解法（1）fx>gxf2x>g2(x)；（2）fx>gx（gx>0）fx>gx或fx<-g(x)；（3）fx<gxgx>0-gx<fx<g(x)；（4）含兩個或兩個以上絕對值符號的不等式可用零點分區(qū)間的方法脫去絕對值號求解，也可用圖像法求解。例5 不等式2x-1-x-2<0的解集為 5.2分式不等式的解法（1）f(x)g(x)0fx0gx>0或fx0gx<0f(x)g(x)0g(x)0（2）f(x)g(x)>0fx>0gx>0或f

6、x<0gx<0 fxgx>0f(x)g(x)<0fx>0gx<0或fx<0gx>0 fxgx<0例6 求下面不等式的解集1. 0 2. 30【典例精析】1. 如果a<b<0，那么下列不等式中正確的是（ ）A. -a-b<1 B. a2>ab C. 1b2<1a2 D. 1a<1b2. 在下列命題中，正確的命題是（ ）A. 若a>b，則a2>b2 B. 若a2>b2，則a>bC. 若a>|b|，則a2>b2 D.若a>b，則a2>b23. 已知-1<a+

7、b<3且2<a-b<4，求2a+3b的取值范圍4. 設(shè)fx=px2+qx且2f(-1)4，4f(1)6，求f(-2)的取值范圍5. 若a>b>0,c<d<0,e<0，求證：ea-c>eb-d。6. 求下面不等式的解集（1） 3 （2） 17. 不等式1|2x-3|>2的解集為 x|54<x<74且x32 8. 用錘子以均勻的力量敲擊鐵釘進入木板，隨著鐵釘?shù)纳钊?，鐵釘所受的阻力會越來越大，使得每次釘入木板的釘子長度，后一次為前一次的1k(kN*)。已知一個鐵釘受擊3次后全部進入木板，且第一次受擊后進入木板部分的鐵釘長度是釘長

8、的47，請從這個實例中提煉出一個不等式組是 9. 若關(guān)于x的不等式2x-1>a(x-2)的解集是R，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）A. a>2 B. a=2 C. a<2 D. A不存在10. 解關(guān)于x的不等式a(x-1)x-2>1【重點題型強化】1. 下列命題中正確的是（ ）A. 不等式1|x|>1與不等式x<1同解B. 不等式1|x|<1與不等式x2>1同解C. 不等式1x>x與不等式x2<1同解D. 不等式1x<x與不等式x2>1同解2. 若不等式3x-b<4的解集中的整數(shù)有且僅有1,2,3，則b的取值范圍為 3.

9、 設(shè)fx=ax2+bx，且1f(-1)2，3f(1)4，求f(-2)的取值范圍4. 不等式x+1+2x-1<6的解是 5. 若a+1>0，則不等式xx2-2x-ax-1的解集為 6. 解關(guān)于x的不等式：x-1x-2>1a。7. 若q<0<p，則不等式q<1x<p的解集為（ ）A. x|1q<x<1p且x0 B. x|x<1q或x>1pC. x|-1q<x<-1p且x0 C. x|1p<x<-1q8. 不等式ax-1x>a(aR+)的解是（ ）A. x|x>1a B. x|x<12aC.

10、x|12a<x<1a C. x|x<0或0<x<12a9. （1）解關(guān)于x的不等式x+2k>1+x-3k2（其中kR,k0）（2）若上述不等式的解集是x(3,+)，求k的值（3）若x=3在上述不等式的解集中，試確定k的取值范圍10. 若p1、p2、q1、q2都是正數(shù)，且有a<p1q1<b,a<p2q2<b，求證：a<p1+p2q1+q2<b第四講 一元二次不等式的解法【知識整合】1. 復(fù)習(xí)回顧在初中我們學(xué)習(xí)了一元一次方程、一元一次不等式與一次函數(shù).它們之間具有什么關(guān)系呢?我們共同來看下面問題：y2x7 其部分對應(yīng)值表x22

11、.533.544.55y3210123圖象：（如圖1）填表：當(dāng)x 時，y0，即2x70當(dāng)x 時，y0，得2x70當(dāng)x 時，y0，得2x70 圖12. 新課2.1 一元二次不等式的一般解法。下面我們用類似的方法來研究一元二次不等式的解法。觀察圖2，我們發(fā)現(xiàn)，一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解集就是二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像（拋物線）位于x軸上方的點所對應(yīng)的x值得集合。因此，求解一元二次不等式可以先解相應(yīng)的一元二次方程，確定拋物線與x軸交點的橫坐標，再根據(jù)圖像寫出不等式的解集。圖2 圖3下面我們求解不等式x2-7x+12<0。第一步：解方程x2-7x+12=

12、0，得x1=3,x2=4；第二步：畫出拋物線y=x2-7x+12的草圖（如圖3）；第三步：根據(jù)拋物線的圖像，可知x2-7x+12<0的解集為x|3<x<4。上例表明，根據(jù)拋物線及它與x軸的交點，就可以確定相應(yīng)的一元二次不等式的解集。例1 解不等式：-x2-2x+30 對于一般的一元二次不等式ax2+bx+c>0（a>0），我們有：判別式=b2-4ac>0=0<0方程ax2+bx+c=0的根有兩個相異實根x1,x2(x1<x2)有兩個相等實根x1=x2=-b2a沒有實根二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像ax2+bx+c>0的解集ax2+bx+

13、c<0的解集例2 解下列不等式：(1) 2x2-5x+3<0； (2) 3x2-x-4>0。2.2 x+ax+b>0,(x+a)(x+b)<0的解法探討例3 1.（x4)(x1)0 2.(x4)(x1)03.x(x2)8 4.(x1)23(x1)40此題組題目可以按上節(jié)課的解法解決，但若我們能注意到題目1、2不等式左邊是兩個x的一次式的積，而右邊是0，不妨可以借用初中學(xué)過的積的符號法則將其實現(xiàn)等價轉(zhuǎn)化并求出結(jié)果。2.3 含參數(shù)的不等式解法的探究1.解不等式x2(a2a)xa202.不等式1的解集為x|x1或x2，求a.【典例精析】1. 不等式x-1(x-3)>

14、;0的解集為（ ）A. x|x<1 B. x|x>3C. x|x<1或x>3 C. x|1<x<32.已知不等式-x2+2x+3>0的解集為A，不等式x2+x-6<0的解集是B，不等式x2+ax+b<0 的解集是AB，那么a+b等于（ ）A. -3 B. 1 C. -1 D. 33. 解不等式（1） 2x23x20 （2）3x26x24. 求不等式x22x150(xR)的解集5. 已知關(guān)于x的不等式ax2+bx+c<0的解集是x|x<-2或x>-12，求ax2-bx+c>0得解集。6. 若不等式0對一切x恒成立，求實

15、數(shù)m的范圍.7. 解關(guān)于x的不等式：x2（mm2）xm308. 討論：x是什么實數(shù)時，函數(shù)y=-x2+5x+14的值是：（1）0； （2）正數(shù)； （3）負數(shù)。9 用一根長為100m的繩子能圍成一個面積大于600m2的矩形嗎？當(dāng)長、寬分別為多少米時，所圍成的矩形的面積最大？10. 解關(guān)于x的不等式3x2-mx-m>0【重點題型強化】1. 解不等式 （1） 4x24x10 （2）x22x302. 下列不等式中，與不等式x-32-x0同解的是（ ）A. x-3(2-x)0 B. 0<x-21C. 2-xx-30 C. x-32-x>03. 設(shè)不等式ax2bxc0的解集是xx(0，求不等式cx2bxa0的解集.4. 解關(guān)于x的不等式：x2（mm2）xm305. 解關(guān)于x的不等式ax22（a1）x406. 某小型服裝廠生產(chǎn)一種那個風(fēng)衣，日銷量x件與貨價p元/件之間的關(guān)系p=160-2x，生產(chǎn)x件所需成本為C=500+30x元，問：該廠日產(chǎn)量多大時，日獲利不少于1300元？7. 汽車在行駛中，由于慣性的作用，剎車后還要繼續(xù)向前滑行一段距離才會停住，我們稱這段距離為“剎車距離”。剎車距離是分析事故的一個重要因素。在一個限速40km/h的彎道上，甲、乙兩