糖水濃度與數(shù)學發(fā)現(xiàn)的系列活動課

1、“糖水濃度與數(shù)學發(fā)現(xiàn)”的系列活動課文惠州人教師：同學們，今天我們來上一節(jié)甜甜的活動課請看，這里擺著一缸清水、一瓶紅糖，還有大大小小的一批玻璃杯當我將紅糖放入水中時，就得出糖水糖水有濃度，計算公式為濃度溶質(zhì)溶液下面，我們以糖水濃度的生活常識為背景，設計了5個活動，組成一個由淺入深、由表及里、由現(xiàn)象到本質(zhì)、由猜想到論證的系列希望大家在理解每個設計的思維情境的基礎上，進行大膽的數(shù)學探索，并從整體上去領悟和積累數(shù)學活動的經(jīng)驗1活動1等比定理的發(fā)現(xiàn)（教師把糖放進一個大玻璃杯內(nèi)，添上水得出一大杯糖水，然后隨意分倒在3個小杯中，記每一杯糖水的濃度為、，這里、（1，2，3）為正數(shù)）（點評：為方便學生思考，先做

2、了些數(shù)據(jù)的準備，以降低難度）教師：我這3小杯糖水的濃度有什么關系?學生（眾）：相等教師：對，應有     現(xiàn)在，我把這3小杯糖水全都倒進一個空的大玻璃杯中，那么，混合后的糖水濃度與原先3小杯糖水的濃度有什么關系?學生（眾）：相等教師：對，是相等我們把大杯倒成小杯又合成大杯，好像是重復或循環(huán)，其實這里有數(shù)學道理大家能根據(jù)這一顯而易見的生活常識，提煉出一個數(shù)學命題嗎?（點評：思維情境的創(chuàng)設已經(jīng)完成，學生思維的閘門也已打開）學生1：混合后的糖水濃度為（）（）     它與原先的3小杯糖水濃度相等，故有等式（）（）   &

3、#160; 這就是等比定理：若則教師：很好，從“糖水情境”到“等比定理”，這中間有一個從具體事實到形式化抽象的數(shù)學過程，前者是“具體的模型”，后者是“抽象的模式”，之間有質(zhì)的區(qū)別把糖放進水里，把糖水倒來倒去，這是數(shù)學嗎?不是！但舍去了糖、水、濃度等的具體性質(zhì)，抽象出本質(zhì)屬性的數(shù)量關系等比定理，這就成為數(shù)學了現(xiàn)在我問，作為“糖水情境”中的、與作為“等比定理”的、有區(qū)別嗎?（點評：完成從模型到模式的過渡后，立即對模式作深化認識）學生2：“糖水情境”中的、只能為正數(shù)，并且0而作為“等比定理”的、不需要這么多的限制，有就夠了教師：是的，“等比定理”中的、既允許，又允許取負數(shù)而在范圍擴大的同時也增加了一

4、個新風險：分母為零這是我們在使用等比定理時要特別注意的問題（參見練習1第2題）對于學生1的回答，我還有一個問題要弄清，你為什么說式是混合后糖水的濃度（點評：對粗糙的模型提煉作更精細的思考）學生1：因為是3杯糖水中糖的總和，是3杯糖水的總和，據(jù)濃度公式可得出式教師：理由說完了?還有補充嗎?其他同學還有補充嗎?學生3：不一定是糖的總和教師：為什么?學生3：在計算小杯糖水的濃度時，分子分母可能有約分，比如21克糖水中有6克糖，其濃度可約分為27教師：如此說來，當濃度沒有約分時，式表示了混合糖水的濃度，那么，有約分時，式還是濃度值嗎?學生4：還是!教師：為什么?此時已經(jīng)不是糖的總和，也不是糖水的總和了

5、學生4：雖然此時式不是濃度定義的直接列式，但在數(shù)值上與定義式相等原因是，我們有等比定理作理論依據(jù)教師：非常好這樣我們就經(jīng)歷了兩個相輔相成的階段：首先由直觀情境提煉出數(shù)學結(jié)論，然后，又用數(shù)學結(jié)論去解釋客觀事實現(xiàn)在我還要問，根據(jù)上面的討論，你能對式作出一些補充，從而導致新的數(shù)學發(fā)現(xiàn)嗎?（點評：繼續(xù)對粗糙的模型提煉作發(fā)散性的思考）學生5：若設3小杯糖水的濃度分別約去了、，則可得混合后的濃度為（）（）     從而有命題：若0，0，且，則（）（）     學生6：若設3小杯糖水的質(zhì)量分別為、，則可得混合后的濃度為（）（）（）（）  

6、   從而有命題：若0，0，且，則（1（）（）（）（）     教師：這樣，我們通過3杯濃度相等的糖水，認識了等比定理的各種形式下來還有兩個問題需要明白，其一，杯數(shù)可以任意增加；其二，如何給出嚴格的證明（回去再做，留作練習）（點評：鞏固性的練習不太難，留做課后作業(yè)）練習11已知0，且，那么（1）當0時，有；（2）當0時，有；（3）當0時，有2已知、為互不相等的實數(shù)，且（）（）（）求（參見文1例1，文2例1）2活動2真分數(shù)不等式的發(fā)現(xiàn)教師：在幼兒園的時候我們就知道，給糖水加糖能使糖水變甜，給菜湯添鹽能使菜湯變咸請大家把這一生活常識用數(shù)學式表達出來

7、（點評：此處，沒有像活動1那樣先做數(shù)據(jù)準備，意在提高要求）（教師環(huán)顧大家，首先挑選面露難色的同學，問主要困難是什么）學生7：我的困難是不知從什么地方下手既沒有數(shù)字又沒有字母，我拿什么去列式呢?教師：哦，“無米之炊”，那我們就找米下鍋比如說，解應用題列方程式時，未知數(shù)肯定沒有具體數(shù)據(jù)，那時你是怎么辦的?學生7：用字母表示數(shù)，設為教師：那“糖水加糖更甜了”，你能不能也用字母來表示？學生7：設原來的糖水濃度為，加糖后的濃度為，則有    教師：對!問題的本質(zhì)是一個不等式，這一點，你抓住了不足的是，式?jīng)]有直接反映“濃度”與“加糖”你能不能更具體地表示出“原濃度”、“加糖后

8、的濃度”以及兩個濃度間的關系，使人一看這個“沒有任何漢字”的“符號”不等式，就能領會“糖水加糖更甜了”？學生7：我設克糖水里有克糖，則；加糖后的糖水更甜了，就存在0，使（）    教師：這里的表示什么?學生7：表示加糖了教師：是表示糖的質(zhì)量嗎?濃度與質(zhì)量能夠相加嗎!學生7：不是增添的糖的質(zhì)量，它是加糖后所引起的濃度增加量教師：那式只表示了濃度增加則糖水就更甜，還沒有把濃度增加的原因添糖反映出來換句話說，當時，如何表示?學生7：我明白了，（）（），其中0為所添糖的質(zhì)量由此得不等式：對0，0，有（）（）    （10）（點評：這是師生互動

9、，進行數(shù)學再發(fā)現(xiàn)的一個模擬下面是進一步的開放性思考，這些思考受到了活動1的啟發(fā)）學生8：我更一般地考慮糖水的濃度經(jīng)過了約分，因而加糖克后的濃度為（）（），由此得不等式：對0，0，0，有（）（）    （11）當1時，回到（10）式學生9：我也考慮到濃度值可能會有約分，因而設糖水的質(zhì)量為，添加質(zhì)量為的糖后濃度為（）（），由此得不等式：對0，0，0，有（）（）     （12）當時，回到（10）式教師：我們一口氣得出了3個不等式，這是一個從具體模型到抽象模式的提煉過程，同時，也是一個根據(jù)自身知識經(jīng)驗主動建構(gòu)的過程在我們的對話中，事實上已經(jīng)

10、經(jīng)歷了一個“三層次解決”的思維過程第一層次，將實際問題轉(zhuǎn)化為一個不等式問題：明確了這一點，就明確了問題解決的方向這是策略水平的解決第二層次，根據(jù)濃度的定義，具體表示出、來明確了這一點，就明確了問題解決的方法這是方法水平的解決第三層次，用字母表示數(shù)，得出具體的不等式，又可以細致地分為3步（以（10）式為例）：（1）用字母、表示相應的量；（2）根據(jù)濃度的定義，寫出加糖前后的濃度，（）（）（3）將“更甜了”表示為不等式（）（）；在構(gòu)建不等式（10）或（11）、（12）的過程中，明顯借助于如下的知識：（1）濃度的定義；（2）用字母表示數(shù)的知識；（3）不等式的知識；（4）從“活動1”中獲得的數(shù)學活動經(jīng)驗

11、也可以說，不等式（10）、（11）、（12）是在上述知識經(jīng)驗基礎上的主動建構(gòu)由于各人知識經(jīng)驗上的差異，因而建構(gòu)出來的結(jié)果也略有不同；到具體證明時，思路就更加發(fā)散了（有分析法、作差法、放縮法、定比分點法、斜率法等不下10余種）（點評：對數(shù)學學習的思維過程進行了一種理論性的小結(jié)至于不等式（10）的證明，則留給活動3去作更多的體現(xiàn)事實上，（10）也就是（）（）練習21設是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，是其前項的和，證明（）2（1995年數(shù)學高考文科題）（參見文3206例433）2已知數(shù)列是等差數(shù)列，1，145（1）求數(shù)列的通項；（2）設數(shù)列的通項（1（1）（其中0，且1），記是數(shù)列的前項的和，試比較與（13

12、）的大小，并證明你的結(jié)論（1998年數(shù)學高考理科題）（參見文4）3活動3中間不等式的發(fā)散思考教師：我這里有兩杯濃度不同的糖水，一杯較淡、一杯較濃將這兩杯糖水混合到第三只杯里后，所得的糖水濃度，一定比淡的濃，而又比濃的淡請根據(jù)這一生活常識寫出相應的數(shù)學命題，越多越好為了敘述上的方便，我們記較淡的糖水濃度為，較濃的糖水濃度為，其中、均為正數(shù)（點評：學生在活動2中已經(jīng)歷了數(shù)據(jù)準備的鍛煉，此處提前給出主要是為了討論用語的統(tǒng)一）學生10：由剛才的假設我可以認為，在克糖水中有克糖，在克的糖水中有克糖，混合之后，得克糖水中有克糖，故得不等式（）（）    （13）學生11：我覺

13、得所假設的糖水濃度值完全有約分的可能，更一般地應是在克糖水中有克糖，在克糖水中有克糖，混合之后，得克糖水中有克糖，故得不等式（）（）     （14）當時，便是（13）式學生12：不管所假設的糖水濃度值是否經(jīng)過了約分，我設糖水的質(zhì)量分別為、時，混合后糖水中的糖均為（）（），從而混合后的糖水濃度為（）（）（），故得不等式（）（）（）     （15）其中（13）是，時的特例學生13：由（15）式可以看到，中間的濃度式實質(zhì)上是定比分點公式，因此可以改寫為（）（）（1）   （0）     （16）我

14、還覺得，（15）雖然表達上比（13）、（14）復雜，但它的好處是，既給出了不等式，又證明了不等式學生14：我還可以把（16）改寫為（1）（）·（）（1）0）    （17）但我并不認為（13）就比（16）隱晦，作一步變形，有（）（）（）（）·（）（1（），這表明（）（）內(nèi)分與為定比0故有（13）式成立學生15：我認為，不作變形也能直觀而簡捷地說明（13）式成立取點（，），（，），（，），則是以、為鄰邊的平行四邊形的對角線，的斜率就在、的斜率之間，這就是（13）式（點評：如果說從（13）到（17）有某種邏輯聯(lián)系的話，那么“斜率”的新認識則體現(xiàn)了更

15、多的突破）教師：同學們的討論令我非常感動大家不僅對“糖水情境”進行了發(fā)散性的思考，而且對所獲得的結(jié)果進行了數(shù)形結(jié)合的證明這使我們經(jīng)歷了“實驗觀察直覺猜想邏輯論證”的過程，這是一個數(shù)學探究的基本過程需要指出的是，在“糖水情境”中，要求、均為正數(shù)，也有01的限制而由下面的推導可以看到，有0，0，便可保證（13）成立設有  ，（用到0）（用到0）相加，（）（），得  （）（）（用到0）（點評：作為后續(xù)話題，活動5將討論（）（）與（12）（）（）的大小關系）練習31求滿足下列條件的最小正整數(shù)：對于存在正整數(shù)，使815（）713成立（參見文5例1）2二次函數(shù)（）的圖象經(jīng)過點（1，0）

16、是否存在常數(shù)、使不等式（）（1）2對一切實數(shù)都成立?若存在，求出、；若不存在，說明理由3設二次函數(shù)（）（0），方程（）0的兩個根、滿足01當（0，）時，證明（）（1997年高考理科第（24）題第（1）問）（參見文2例4）4活動4直覺的風險教師：我這里有4杯糖水，第1杯的濃度為，第2杯的濃度為，第3杯的濃度為，第4杯的濃度為已知，    （18）現(xiàn)將第1、3杯混合到甲杯里，將第2、4杯混合到乙杯里試問：甲杯的濃度大還是乙杯的濃度大?學生（眾）：甲杯大（點評：這是意料之中的回答，也是教師有意設置的陷阱，以引發(fā)探索與發(fā)現(xiàn)的懸念和動機）教師：為什么?請舉手回答學生16：因

17、為第1、3杯都是濃的，所以混合之后還濃；而第2、4杯都是淡的，所以混合之后還淡教師：你說的是不是將（18）式兩邊相加，得（）（）（）（）學生16：這?這?這不是混合后的濃度式教師：那么，混合后的濃度應該是什么?學生16：應該是（）（）與（）（），從而有不等式（）（）（）（）    （19）教師：你能由（18）推出（19）嗎?同學們都來想辦法，如何由（18）推出（19）（點評：教師在引導學生，學會數(shù)學地提出問題）（18）式等價于0，且0；而（19）式等價于（）（）（）0，學生經(jīng)過一段時間的演算，不能獲得證明）學生17：好像還缺點條件，如果再加上，就可以證出來教師：條

18、件是不能再添了需要考慮的是，問題到底屬于不會證還是不能證學生18：如果濃度用百分數(shù)表示，比如說（18）中各分母都是100，那（19）是成立的學生19：我代入數(shù)值發(fā)現(xiàn)這里有問題假設第1杯里有糖水100克、糖23克，第2杯里有糖水120克、糖27克，有濃度不等式2310027120又設第3杯里有糖水100克、糖155克，第4杯里有糖水80克、糖12克，有濃度不等式1551001280但是（23155）（100100）38520039200（2712）（12080）可見，命題（）（）（）（）     （20）是個假命題（點評：“正面肯定”有困難時，可轉(zhuǎn)而考慮“反面否定”

19、此處反例的尋找需要創(chuàng)造性，但不惟一）教師：當我們由直覺得出一個猜想時，面臨著兩種前途證實或證偽證實就是由已知真命題出發(fā)，經(jīng)過一步步嚴格的邏輯論證，得出猜想成立；而要證偽，舉一個反例就夠了學生19的反例說明由（18）推（19）是假命題，這同時也說明，直覺是有風險的練習41某校初中三年級有4個班，甲班60人，乙班50人，丙班40人，丁班50人黃老師教甲、丙班代數(shù)，李老師教乙、丁班代數(shù)期末考試統(tǒng)計出4個班的代數(shù)及格率為：甲班90%，乙班92%，丙班60%，丁班62%問：兩個教師誰所帶的學生及格率高?（參見文628例14）2有這樣一個故事，請你判斷真的會發(fā)生嗎?有一信息調(diào)查員，受托到三所學校初中三年級

20、去調(diào)查學生訂閱數(shù)學學習報的情況，得出的結(jié)果是，三所學校男生訂報的比例都比女生訂報的比例高，于是他向領導匯報說：據(jù)三所學校的調(diào)查數(shù)據(jù)看，男生訂報的比例比女生大領導令其將各校的男女生人數(shù)報上來，計算得出相反的結(jié)論：女生訂報的比例比男生大（比如：甲校有150個男生、60人訂報，有120個女生，46人訂報；乙校有80個男生、50人訂報，有100個女生、60人訂報；丙校有120個男生、70人訂報，有140個女生、80人訂報）3公比不同的兩個等比數(shù)列之和不是等比數(shù)列（參閱2000年高考第（20）題）5活動5數(shù)學新發(fā)現(xiàn)的研究教師：在活動3中我們將兩杯濃淡不同的糖水混合到一起之后，得出的糖水比濃的淡又比淡的濃

21、，即有不等式：、為正數(shù)，若，則（）（）現(xiàn)在的新問題是：混合濃度（）（）與平均濃度（12）（）（）有一種什么樣的大小關系?換句話說，在以點、為端點的線段內(nèi)，取一點（）（），那么這個點在線段中點的左方還是右方?（點評：與以上4個活動情境不同，此處的直觀不明顯）學生20：這個問題的結(jié)論好像不太好說，會不會與濃度的具體取值有關?學生21：我估計還與溶液的質(zhì)量有關若將、記為質(zhì)點在數(shù)軸上的坐標，而質(zhì)點的質(zhì)量為、，則（）（）（）·（）·）（）     （21）這正是質(zhì)點的質(zhì)心直觀上看，在的前提下，當時，質(zhì)心在中點的右方；當時，質(zhì)心在中點的左方這從（15）式也

22、可以看出來，當時，（）（）（12）（）（）當時，兩式不相等（點評：（21）式又使不明顯的直觀明顯了，因為著眼點作了轉(zhuǎn)移）教師：大家對題意的初步理解表明，這是一個探索性的命題現(xiàn)在請奇數(shù)行的同學向后轉(zhuǎn)，4個人一小組展開討論（點評：問題的難度和發(fā)散度都比較大，教師在組織合作學習）學生22：我們小組用特值探索法發(fā)現(xiàn)，確如學生21所說，（12）（）（）與（）（）之間可大可小可相等，比如在113012的前提下：（1）取11，30，1，2時，有（12）（）（）133038（）（）；（2）取11，30，15，30，有（12）（）（）1330（1115）（3030）（）（）；（3）取11，30，16，32，有（

23、12）（）（）13301431（）（）在這3種情況下是等值的，1215301632，但結(jié)論卻是不同的，我們感到非常有趣，不知大家是否有同樣的驚訝與迷惑（點評：數(shù)據(jù)的選擇用心良苦，應能激發(fā)興趣與好奇）學生23：我們小組用作差比較法作差：（12）（）（）（）（）（）2）（2）（）（）2（）（）（）2（）（）2（）（）（）因為已知條件保證了（）0，（）（）0，所以，有3種結(jié)論：（1）當時，（12）（）（）（）（）；     （22）（2）當時，（12）（）（）（）（）；     （23）（3）當時，（12）（）（）（）（）  &#

24、160;  （24）（點評：這個方法非常成功，問題也解決得很完整）學生24：我們小組使用分析法來尋找結(jié)論成立的充分條件，假設（12）（）（）（）（）去分母、化簡，只需（）（）0因為，故只需同理可得（12）（）（）（）（）的充分條件是；而（12）（）（）（）（）的充分條件是（點評：與作差法在運算上差別不大，但不如作差法緊湊）教師：3個小組分別運用不同的思考方法進行了成功的探索一開始，我們對糖水情境的結(jié)論很模糊，學生21的物理揭示提供了一個導向，學生22的驗證強化了這個導向，學生23、學生24則進入到理性思考的階段，并最終獲得正確的結(jié)論這就是我們數(shù)學小發(fā)現(xiàn)的全過程，當中還有許多情感體驗：困惑、驚訝和喜悅等等當然，這個發(fā)現(xiàn)過程并沒有完