第四講 不等式

1、第四講 不 等 式初中階段已經(jīng)學習了一元一次不等式和一元一次不等式組的解法高中階段將進一步學習一元二次不等式和分式不等式等知識本講先介紹一些高中新課標中關于不等式的必備知識一、一元二次不等式及其解法 1形如的不等式稱為關于的一元二次不等式【例1】解不等式分析：不等式左邊可以因式分解，根據(jù)“符號法則 - 正正(負負)得正、正負得負”的原則，將其轉化為一元一次不等式組解：原不等式可以化為：，于是：或所以，原不等式的解是說明：當把一元二次不等式化為的形式后，只要左邊可以分解為兩個一次因式，即可運用本題的解法【例2】解下列不等式：(1) (2) 分析：要先將不等式化為的形式，通常使二次項系數(shù)為正數(shù)解：

2、(1) 原不等式可化為：，即于是：所以原不等式的解是(2) 原不等式可化為：，即于是：所以原不等式的解是2一元二次不等式與二次函數(shù)及一元二次方程的關系(簡稱：三個二次)以二次函數(shù)為例：(1) 作出圖象；(2) 根據(jù)圖象容易看到，圖象與軸的交點是，即當時，就是說對應的一元二次方程的兩實根是(3) 當時，對應圖像位于軸的上方就是說的解是當時，對應圖像位于軸的下方就是說的解是一般地，一元二次不等式可以結合相應的二次函數(shù)、一元二次方程求解，步驟如下：(1) 將二次項系數(shù)先化為正數(shù)；(2) 觀測相應的二次函數(shù)圖象如果圖象與軸有兩個交點，此時對應的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根(也可由根的判別式來判斷)

3、 那么(圖1)： 如果圖象與軸只有一個交點，此時對應的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根(也可由根的判別式來判斷) 那么(圖2)： 無解如果圖象與軸沒有交點，此時對應的一元二次方程沒有實數(shù)根 (也可由根的判別式來判斷) 那么(圖3)： 取一切實數(shù) 無解如果單純的解一個一元二次不等式的話，可以按照一下步驟處理：(1) 化二次項系數(shù)為正；(2) 若二次三項式能分解成兩個一次因式的積，則求出兩根那么“”型的解為(俗稱兩根之外)；“”型的解為(俗稱兩根之間)；(3) 否則，對二次三項式進行配方，變成，結合完全平方式為非負數(shù)的性質(zhì)求解【例3】解下列不等式：(1) (2) (3) 【例4】已知對于任意實數(shù)，恒

4、為正數(shù)，求實數(shù)的取值范圍解：顯然不合題意，于是：【例5】已知關于的不等式的解為，求的值分析：對應的一元二次方程的根是和，且對應的二次函數(shù)的圖象開口向上根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系可以求解解：由題意得：說明：本例也可以根據(jù)方程有兩根和，用代入法得：，且注意，從而二、簡單分式不等式的解法【例6】解下列不等式：(1) (2) 分析：(1) 類似于一元二次不等式的解法，運用“符號法則”將之化為兩個一元一次不等式組處理；或者因為兩個數(shù)(式)相除異號，那么這兩個數(shù)(式)相乘也異號，可將分式不等式直接轉化為整式不等式求解 (2) 注意到經(jīng)過配方法，分母實際上是一個正數(shù)解：(1) 解法(一) 原不等式可化為

5、： 解法(二) 原不等式可化為：(2) 原不等式可化為：【例7】解不等式解：原不等式可化為：說明：(1) 轉化為整式不等式時，一定要先將右端變?yōu)? (2) 本例也可以直接去分母，但應注意討論分母的符號：三、含有字母系數(shù)的一元二次不等式一元一次不等式最終可以化為的形式(1) 當時，不等式的解為：；(2) 當時，不等式的解為：；(3) 當時，不等式化為：； 若，則不等式的解是全體實數(shù)； 若，則不等式無解【例8】求關于的不等式的解解：原不等式可化為：(1) 當時，不等式的解為；(2) 當時， 時，不等式的解為； 時，不等式的解為； 時，不等式的解為全體實數(shù)(3) 當時，不等式無解綜上所述：當或時，不等式的解為；當時，不等式的解為；當時，不等式的解為全體實數(shù)；當時，不等式無解【例9】已知關于的不等式的解為，求實數(shù)的值分析：將不等式整理成的形式，可以考慮只有當時，才有形如的解，從而令解：原不等式可化為：所以依題意：練 習 A 組1解下列不等式：(1) (2) (3) (4) 2解下列不等式：(1) (2) (3) (4) 3解下列不等式：(1) (2) 4已知不等式的解是，求的值5解關于的不等式6已知關于的不等式的解是，求的值7已知不等式的解