平行四邊形的性質(zhì)及判定典型例題

1、平行四邊形的性質(zhì)及判定 （典型例題）1.平行四邊形及其性質(zhì)例1如圖，。是OABCD對(duì)角線的交點(diǎn).zOBC的周長為59, BD=38, AC=24,則AD=若AOBC與4OAB的周長之差為15, 貝U ab=Qabcd的周長=.八，廠 根據(jù)平行四邊形對(duì)角線互相平分，所以0C = ：分析：22AC,可得BC,再由平行四邊形對(duì)邊相等知 AD=BC ,由平行四邊形的對(duì)角線互相平分，可知 OBC與4OAB的周長之差就為BC 與AB之差，可得AB,進(jìn)而可得IOABCD的周長.解 NBCD中0A=OC =（AC, 0B=0D二;BD （平行四邊形的對(duì)角線互相平分） OBC 的周長=OB + OC+ EC=-

2、BD+-AC+BC22= 19 + 12+BC=59 . BC=28=ABCD 中， . BC=AD(平行四邊形對(duì)邊相等)AD=28 OBC的周長-zOAB的周長=(OB +OC + BC)-(OB+ OA+AB)=BC-AB=15AB=13 UABCD的周長=AB +BC+CD+AD=2(AB + BC)=2(13 + 28)=82說明：本題條件中的“ OBC占AOAB的周長之差為15”，用符號(hào)語言表示出來后，便容易發(fā)現(xiàn)其實(shí)質(zhì)，即 BC與AB之差是15.例2判斷題(1)兩條對(duì)邊平行的四邊形叫做平行四邊形.()(2)平行四邊形的兩角相等.()(3)平行四邊形的兩條對(duì)角線相等.()(4)平行四邊

3、形的兩條對(duì)角線互相平分.()(5)兩條平行線中，一條直線上任一點(diǎn)到另一條直線的垂線段叫 做兩條平行線的距離.()(6)平行四邊形的鄰角互補(bǔ).()分析：根據(jù)平行四邊形的定義和性質(zhì)判斷.解：錯(cuò)“兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形”是兩組對(duì)邊，而不是兩條對(duì)邊.如圖四邊形 ABCD,兩條對(duì)邊AD /BC.顯然四邊形 ABCD 不是平行四邊形(2)錯(cuò)平行四邊形的性定理1， “平行四邊形的對(duì)角相等 ”對(duì)角是指四邊形中設(shè)有公共邊的兩個(gè)角，也就是相對(duì)的兩個(gè)角(3)錯(cuò)平行四邊形的性質(zhì)定理3， “平行四邊形的對(duì)角線互相平分 ”一般地不相等 (矩形的兩條對(duì)角線相等)(4)對(duì)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)定理3 可判斷是正

4、確的(5)錯(cuò)線段圖形，而距離是指線段的長度，是正值正確的說法是：兩條平行線中，一條直線上任一點(diǎn)到另一條直線的垂線段的長度叫做這兩條平行線的距離(6)對(duì)由定義知道，平行四邊形的對(duì)邊平行，根據(jù)平行線的性質(zhì)可 知平行四邊形的鄰角互補(bǔ)例3 .如圖1,在UABCD中，E、F是AC上的兩點(diǎn).且AE=CF .求證：ED / BF.分析：欲址 DE / BF,只需/ DEC= /AFB,轉(zhuǎn)證=/ABF3CDF, 因口 ABCD,則有AB!CD,從而有/ BAC= / CDA .再由AF=CF 得AF=CE .滿足了三角形全等的條件.證明:; AE=CFAE+EF=CF+EFAF=CE在nABCD中AB / C

5、D（平行四邊形的對(duì)邊平行）. / BAC= / DCA（兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等）AB=CD（平行四邊形的對(duì)邊也相等）/. AABFACDE（SAS）. / AFB= / DCE. ED / BF（內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行）說明：解決平行四邊形問題的基本思想是化為三角形問題不處 理.例4如圖已知在 ABC中DE / BC/ FG,若BD=AF、求證;DE+FG=BC.分析1:要證DE + FG=DC由于它們是平行線，由平行四邊形 定義和性質(zhì).考慮將DE平移列BC上為此，過E（或D）作EH / AB（或 DM / AC）,得至U DE=BH、只需證 HC=FG ,因 AF=BD=EH , /CEH= /

6、 A. / AGF = / C所以 AFG二/ EHC.此方法稱為截長法.分析2:過C點(diǎn)作CK /AB交DE的延長線于K,只需證FG=EK ,轉(zhuǎn)證 AFG 二 ACKE.證法1:過E作EH / AB交于H: DE / BC四邊形DBHE是平行四邊形（平行四邊形定義）DB=EHDE=BH（平行四邊形對(duì)邊也相等）又 BD=AFAF=EH: BC/ FG./ AGF= / C（兩直線平行同位角相等）同理 /A=/CEH.AFG 二EHC（AAS）FG=HCBC=BH+HC=DE=FG即 CE+FG=BD證法2:.過C作CK / AB交DE的延長線于K.v DE / BC四邊形DBCK是平行四邊形（平

7、行四邊形定義）CK=BD DK=BC（平行四邊形對(duì)邊相等）又 BD=AFAF=CKv CK / AB./A=/ECK（兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等）: BC/ FG . / AGF= / AED（兩直線平行同位角相等）又/ CEK= / AED（對(duì)頂角相等） . / AGF= / CEK .AFG 二CKE（AAS）FG=EKDE+EK=BCDE+FG=BC例 5 如圖 QABCD 中，/ ABC=3/A,點(diǎn) E 在 CD 上,CE=1 , EFLCD交CB延長線于F,若AD=1 ,求BF的長.分析： 根據(jù)平行四邊形對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)，可得/ C=/F=45進(jìn)而由勾股定理求出 CF,再根據(jù)平行四邊形對(duì)

8、邊相等，得BF的長.解：在口ABCD 中，AD II BC /A+/ ABC=180° （兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)） . /ABC=3/A./ A=45 , / ABC=135./C=/A=45° （平行四邊形的對(duì)角相等） EFXCD./ F=45 （直角三角形兩銳角互余）EF=CE=1在RtACEF中，CF = /三+E二72 （勾股定理）AD=BC=1，B"CF-BC = -1例6如圖1,QABCD中，對(duì)角線AC長為10cm, / CAB=30° , AB長為6cm,求 nABCD的面積.解： 過點(diǎn)C作CHLAB,交AB的延長線于點(diǎn)H.（圖2）/ CA

9、B=30.-CH = -AC = - XW =5 22/. SQabcd= AB - CH= 6X5=30(cm2)答： 口abcd的面積為30cm2.說明：由于口 =底高，題設(shè)中已知 AB的長，須求出與底AB相應(yīng)的高，由于本題條件的制約，不便于求出過點(diǎn)D的高，故選擇過點(diǎn)C作高.例7如圖，E、F分別在 OABCD的邊CD、BC上，且EF/BD求證：SJA ACE=SAABF分析：運(yùn)用平行四形的性質(zhì)，利用三角形全等，將其轉(zhuǎn)化為等 底同高的三角形.證明：將EF向兩邊延長分別交 AD、AB的延長線于G、H.nABCD DE II AB./ DEG= /BHF（兩直線平行同位角相等）/ GDE= /

10、DAB（同上）AD / BC./ DAB= /FBH（同上）./ GDE= / FBH: DE / BH, DB / EH四邊形BHED是平行四邊形; DE=BH（平行四邊形對(duì)邊相等）.GDEWFBH（ASA）/.SAGDE=SAFBH（全等三角形面積相等）.GE=FH（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）.SzACE=SzAFH（等底同高的三角形面積相等） SA ADE = SA ABF說明：平行四邊形的面積等于它的底和高的積.即盧 =a haa 可以是平行四邊形的任何一邊，h必須是a邊與其對(duì)邊的距離.即 對(duì)應(yīng)的高，為了區(qū)別，可以把高記成 ha,表明它所又t應(yīng)的底是a.例8如圖，在 OABCD中，BE平分

11、/ B交CD于點(diǎn)E, DF平分/ D交AB于點(diǎn)F,求證BF=DE .分析BF=DE （目標(biāo)）BEDF 為口DF" Jde?fb3N 1 3r Z 1=Z 2*tDE# /BUD為W/力/,1人 口心CD證明:四邊形ABCD是平行四邊形. DE / FB, / ABC=/ADC（平行四邊形的對(duì)邊也平行對(duì)角相等）./ 1 = /3（兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等）而Ni = ；Nadc, Z2=1zabc -jJ-a./ 2=/3 DF II BE（同位角相等兩條直線平行）四邊形BEDF為平行四邊形（平行四邊形定義）. BF=DE .（平行四邊形白對(duì)邊相等）說明：此例也可通過 ADF二zCBE來證

12、明，但不如上面的方法簡捷.例9如圖，CD的RtAABC斜邊AB上的高，AE平分/ BAC交CD 于 E, EF/AB,交 BC 于點(diǎn) F,求證 CE=BF .分析作EG/BC,交AB于G,易得EG=BF.再由基本圖，可得EG=EC ,從而得出結(jié)論.證明:過E點(diǎn)作EG / BC交AB于G點(diǎn). / EGA= / B: EF/ABEG=BFCD為RtzABC斜邊AB上的高 ./ BAC+/ B=90 . ZBAC+Z ACD = 90./ B=/ACD. / ACD= / EGAAE 平分/ BAC./ 1 = /2又 AE=AE/. AAGEAACE(AAS). CE=EGCE=BF.說明：(2)

13、本題也(1)在上述證法中，“平移”起著把條件集中的作用.可以設(shè)法平移AE.(連F點(diǎn)作FG / AE,交AB于G)例10如圖，已知 OABCD的周長為32cm, AB : BC=5 : 3, AE，BC于E, AFLDC 于 F, /EAF=2/C,求 AE 和 AF 的長.分析：從化簡條件開始由 "ABCD的周長及兩鄰邊的比，不難得到平行四邊形的邊長.口融CD的周長=32卜氏=10AB : EC=5 : 3 BC=6/ EAF=2 / C告訴我們什么？AF 1 FCl_ZFAE -FZ C=180°lAE 1 BCj七 EAF=2 Z Cc=60這樣，立即可以看出 ADF、

14、zAEB都是有一個(gè)銳角為30°的直角三角形.于是有 DF 二= ?再由勾股定理求出解： =ABCD的周長為32cm即 AB+BC+CD+DA=32AB=CD BC=DA（平行四邊形白對(duì)邊相等）/.AB + BC = - X 32 = 16 2又 AB : BC=5 : 3$+3BC= -X3 = 6 5+3/ EAF+ / AFC+ ZC+Z CEA=360 （四邊形內(nèi)角和等于 360 ° ）v AEXBC /AEC=90AFXDC /AFC=90/ EAF+/ C=180/ EAF=2 / C./ C=60: AB / CD（平行四邊形的對(duì)邊平行）. / ABE= / C

15、=60 （兩直線平行同位角相等）同理/ ADF=60在中，ZBAE = BE = 1AB = 5 £二Al =山皿=BE】=邙匚cm)在RtAADF中，ZDAF = 30Q DF=AD = BC = 3 ,f-jd，AF = Jal* 再戶=3招 Cem)說明：化簡條件，化簡結(jié)論，總之，題目中哪一部分最復(fù)雜就 從化簡那一部分開始，這是一種常用的解題策略，我們把這種解題 策略稱為：從最復(fù)雜的地方開始.它雖簡單，卻很有效.2.平行四邊形的判定例1填空題（1）如圖1,四邊形ABCD與四邊形BEFC都是平行四邊形，則四邊形AEFD是，理由是(2)如圖 2,D、E 分別在 ABC 的邊 AB、

16、AC上，DE=EF ,AE=EC , DE /BC則四邊形ADCF是_,理由是_,四邊形BCFD是_,理 由是分析：判定一個(gè)四邊形是平行四邊形的方法較多，要從已知條件出發(fā)，具體問題具體分析：(1)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得 AD平 行且等于BC, BC平行且等于EF,從而得AD平行且等于EF,由 判定定理4可得.由AE=EC, DE=EF ,由判定定理3可得四邊 形ADCF是平行四邊形，從而得 AD / CF即BD / CF,再由條件， 可得四邊形BCFD是平行四邊形.解：(1)平行四邊形，一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形(2)平行四邊形，對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，平行 四邊形，

17、兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形.說明：平行四邊形的定義(兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行 四邊形，既是平行四邊形的一個(gè)性質(zhì)，又是平行四邊形的一個(gè)判定 方法.例 2 如圖，四邊形 ABCD 中，AB=CD . / ADB= / CBD=90° .求證：四邊形ABCD是平行四邊形.精選范本分析：判定一個(gè)四邊形是平行四邊形，有三類五個(gè)判定方法, 這三類也是按邊、角和對(duì)角線分類，具體的五個(gè)方法如下表：r( 1)兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是 平行四邊形()從邊看 一(2)兩組對(duì)邊分別相等 L(3)一組對(duì)邊平行且相等(II )從角看 J )兩組對(duì)角分別相等CIID從對(duì)角線看一(5 )對(duì)角線互

18、相平分因此必須根據(jù)已知條件與圖形結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，選擇判定方法.證法一：; AB=CD . / ADB= / CBD=90 , BD=DB . RtA ABDRtACDB./ABD= /CDB, / A= /C./ ABD+ / CBD= / CDB+ / ADB即 /ABC=/CDA.四邊形ABCD是平行四邊形（兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平 行四邊形）.證法二：/ ADB= / CBD=90 , AB=CD、BD=DB . RtA ABDRtACDB./ABD= /CDB.AB/CD.（內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行）四邊形ABCD是平行四邊形（一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是 平行四邊形）.證法三：由證法一知，

19、RtAABD里RtACDB. DA=BC又,: AB=CD四邊形ABCD是平行四邊形（兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平 行四邊形）說明：證明一個(gè)四邊形是平行四邊形，往往有多種證題思路， 我們必須注意分析，通過比較，選擇最簡捷的證題思路.本題三種 證法中，證法二與證法三比較簡捷，本題還可用定義來證明.例3如圖，OABCD中，E、G、F、H分別是四條邊上的點(diǎn),且AE=CF , BG=DH ,求證：EF與GH互相平分.分析：只須證明EGFH為平行四邊形.證明： 連結(jié) EG、 GF、 FH 、 HE 四邊形ABCD是平行四邊形 / A= / C, AD=CB .; BG=DH . AH=CG又 AE=CF

20、/.AAEHACFG（SAS） . HE=GF同理可得 EG=FH 四邊形EGFH是平行四邊形（兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平 行四邊形 ） EF與GH互相平分（平行四邊形的對(duì)角線互相平分）.說明：平行四邊形的性質(zhì)，判定的綜合運(yùn)用是解決有關(guān)線段和角問題基本方法例 4 如圖，OABCD 中，AELBD 于 E, CFLBD 于 F.求證：四邊形AECF是平行四邊形.分析：由平行四邊形的性質(zhì)，可得 ABEACDFAE= CF進(jìn)而可得四邊形AECF是平行四邊形.證明： OABCD中，AB上CD（平行四邊形的對(duì)邊平行，對(duì)邊相等） / ABD= / CDB（兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等）AEBD、CF±

21、 BDAE / CFZ AEB= / CFD=90/. AABEACDF（AAS）AE=CF四邊形AECF是平行四邊形（一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）說明：平行四邊形的定義，既是平行四邊形的一個(gè)性質(zhì)，又是 平行四邊形的一個(gè)判定方法.例5如圖，IQABCD中，E、F分別在AD、BC上，且AE=CF , AF、BE相交于G, CE、DF相交于H求證：EF與GH互相平分分析：欲證EF與GH互相平分，只需四邊形EGFH為平行四 邊形，利用已知條件可知四邊形 AFCE、四邊形EBFD都為平行四 邊形，所以可得AF/ EC, BE/ DF,從而四邊形GEHF為平行四邊 形.證明：l=ABCD中，

22、AD三BC（平行四邊形對(duì)邊平行且相等）v AE=CF /.DE=BF 四邊形AFCE、四邊形BFDE是平行四邊形（一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平形四邊形） . AF / CE, BE/ DF（平行四邊形對(duì)邊平行）四邊形EGFH是平行四邊形（兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平 行四邊形） GH與EF互相平分（平行四邊形的對(duì)角線互相平分）說明：平行四邊形問題，并不都是以求證某一個(gè)四邊形為平行 四邊形的形式出現(xiàn)的.往往更多的是求證線段的相等、角的相等、 直線的平行、線段的互相平分等等.要靈活地根據(jù)題中已知條件， 以及定義、定理等.先判定某一四邊形為平行四邊形，然后再應(yīng)用 平行四邊形的性質(zhì)加以證明.例6如圖

23、，已知 QABCD中，EF在BD上，且BE=DF ,點(diǎn)G、H在AD、CB上，且有AG=CH , GH與BD交于點(diǎn)O,求證EG HF分析：證EF、GH互相平分 音GEHF為平行四邊形.K C證明:連 BG、DH、GF、EH .ABCD為平行四邊形.AD -BC又 AG=HC . DG 上 BH 四邊形BGDH為平行四邊形（一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形） .HO = GO, DO=BO（平行四邊形的對(duì)角線互相平分）又 BE=DFOE=OF 四邊形GEHF為平行四邊形（對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形）.EG 4 HF.（平行四邊形的對(duì)邊平行相等）說明：由于條件BE=DF涉及到對(duì)角線BD,所以考慮用對(duì)角線互相平分來證明例 7 如圖，0ABCD 中，AEXBD 于 E, CFXBD 于 F, G、H分別為AD、BC的中點(diǎn)，求證：EF和GH互相平分.分析：連結(jié)EH, HF、FG、GE,只須證明EHFG為平行四邊證法一:連結(jié) EH, HF、FG、GEV AEXBD, G 是 AD 中點(diǎn).-GE = c3D =-AD2/ GED= ZGDE同理可得hf = hb = ec, Zhfe = Zhef四邊形ABCD是平行四邊形.AD -BC, / G