高中數(shù)學(xué)必修1第一章集合與簡(jiǎn)易邏輯

1、第一章集合與簡(jiǎn)易邏輯一、基礎(chǔ)知識(shí)定義1 一般地，一組確定的、互異的、無(wú)序的對(duì)象的全體構(gòu)成集合，簡(jiǎn)稱集，用大寫 字母來(lái)表示；集合中的各個(gè)對(duì)象稱為元素，用小寫字母來(lái)表示，元素 x在集合A中，稱x屬 于A,記為x A,否則稱x不屬于A,記作x Ao例如，通常用N, Z, Q, B, Q+分別表示 自然數(shù)集、整數(shù)集、有理數(shù)集、實(shí)數(shù)集、正有理數(shù)集，不含任何元素的集合稱為空集，用來(lái) 表示。集合分有限集和無(wú)限集兩種。集合的表示方法有列舉法：將集合中的元素一一列舉出來(lái)寫在大括號(hào)內(nèi)并用逗號(hào)隔開表 示集合的方法，如1 , 2, 3;描述法：將集合中的元素的屬性寫在大括號(hào)內(nèi)表示集合的方法。 例如有理數(shù), xx 0分

2、別表示有理數(shù)集和正實(shí)數(shù)集。定義2子集：對(duì)于兩個(gè)集合素，則A叫做B的子集，記為AA與B,如果集合A中的任何一個(gè)元素都是集合 B中的元B ,例如N Z。規(guī)定空集是任何集合的子集，如果 A是B的子集，B也是A的子集，則稱A與B相等。如果A是B的子集，而且B中存在元素不屬 于A,則A叫B的真子集。定義3 交集，A B xx A且x B.定義4并集，A B xx A或x B.定義5補(bǔ)集，若A I,則CiA xx I,且x A稱為A在I中的補(bǔ)集。定義6差集，A B xx A,且x B 0定義7集合xa x b, x R,a b記作開區(qū)間(a,b),集合xa x b,x R,a b記作閉區(qū)間a,b, R 記

3、作(，).定理1集合的性質(zhì)：對(duì)任意集合 A, B, C,有：(1) A (B C)(A B) (A C); (2) A (B C) (AB)(A C);(3) C1 A C1 BC1 (A B); (4) C1 A C1 B C1 (A B).【證明】這里僅證(1)、(3),其余由讀者自己完成。(1)若 x A (BC),則 x A,且 x B或 x C,所以 x(AB)或 x(A C),即 x (A B) (A C);反之,x (A B) (A C),則 x (A B)或 x (A C),即 x A 且 x B或 x C,即 x A且 x (B C),即 x A (B C).(3)若 x C

4、1 A C1B,則 x C1A 或 x C1 B ,所以 x A或 x B ,所以 x (A B), 又 x I ,所以 x C1 (A B),即 C1A C1 B C1 (A B),反之也有 C1 (A B) C1 A C1 B.定理2加法原理：做一件事有n類辦法，第一類辦法中有 mi種不同的方法，第二類辦 法中有m2種不同的方法，第n類辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事一共有 N mi m2mn種不同的方法。定理3乘法原理：彳一件事分n個(gè)步驟，第一步有mi種不同的方法，第二步有m2種不 同的方法，第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事一共有 N m1 m2 mn種不同 的方法。二、

5、方法與例題1 .利用集合中元素的屬性，檢驗(yàn)元素是否屬于集合。例 1 設(shè)M Wa x2 y2,x,y Z,求證：(1) 2k 1 M ,(k Z)；(2) 4k 2 M ,(k Z)；(3)若 p M ,q M ,則 pq M .證明(1)因?yàn)?k,k 1 Z,且 2k 1 k2 (k 1)2 ,所以 2k 1 M.(2)假設(shè)4k 2 M(k Z),則存在x,y Z ,使4k 2 x2 y2 ,由于x y和x y有 相同的奇偶性，所以x2 y2 (x y)(x y)是奇數(shù)或4的倍數(shù)，不可能等于4k 2 ,假設(shè)不 成立，所以4k 2 M.(3)設(shè) p x2y2,qa2b2,x,y,a,bZ ,則

6、pq(x2 y2)(a2 b2)2222222222a a y b x b y a (xa yb) (xb ya) M(因?yàn)?xa ya Z,xb ya Z )。2 .利用子集的定義證明集合相等，先證 A B ,再證B A,則A=B0例2設(shè)A, B是兩個(gè)集合，又設(shè)集合 M滿足A M BM AB, ABM AB,求集合 M （用 A, B 表示）。A M ,x【解】先證（A B） M ,若x （A B）,因?yàn)锳 M A B ,所以x所以（A再證M （AA B.1）若 x A,則 xAMAB；2）若x所以M（AB）.B.3 .分類討論思想的應(yīng)用。2-xx 3x 20, Bxx2 * * * *ax

7、1 0, Cxx2 mx 20,若A B A, A C C ,求 a,m.【解】依題設(shè)，A 1,2,再由ax0解得x因?yàn)锳 BA,所以B A,所以A,所以a 11或2,所以a2或3。因?yàn)锳 CA,若C，則8 0,即 2V2 m 2/2,若 C則1 C或2 C,解得m 3.綜上所述，a 2或a 3; m 3或22 m 2<2。例 4 集合 A, B, C 是 I=1 , 2, 3,4.計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用。4, 5, 6, 7, 8, 9, 0的子集，（1）若 A B求有序集合對(duì)（A, B）的個(gè)數(shù)；（2）求I的非空真子集的個(gè)數(shù)?！窘狻浚?）其中一個(gè)子集,合對(duì)有310個(gè)。集合I可劃分為三個(gè)不相交的

8、子集；AB, BA, A B,I中的每個(gè)元素恰屬于10個(gè)元素共有310種可能，每一種可能確定一個(gè)滿足條件的集合對(duì)，所以集k的值2n1對(duì)，每一對(duì)不能同并且再添加I的任何一個(gè)其他子集后將不再具有該性質(zhì)，求【解】將I的子集作如下配對(duì)：每個(gè)子集和它的補(bǔ)集為一對(duì)，共得 在這k個(gè)子集中，因此，k 2n1；其次，每一對(duì)中必有一個(gè)在這k個(gè)子集中出現(xiàn)，否則，若有一對(duì)子集未出現(xiàn)，設(shè)為 CiA與A,并設(shè)A Ai，則AiCi A,從而可以在k個(gè)子集中再添加C1A，與已知矛盾，所以k 2n1。綜上，k 2n 16.競(jìng)賽常用方法與例問題。定理4容斥原理；用A表示集合A的元素個(gè)數(shù)，則A B A B A B,ABC A B

9、C A BA C B C ABC,需要xy此結(jié)論可以推廣到n個(gè)集合的情況，即AjAiAjAk1 i j k nn(1)n 1 Ai 1nnAAA i 1i 1i j定義8集合的劃分：若A1 A2An I ,且Ai Aj (1 i, j n,i j),則這些子集的全集叫I的一個(gè)n-劃分。定理5最小數(shù)原理：自然數(shù)集的任何非空子集必有最小數(shù)。定理6抽屜原理：將mn 1個(gè)元素放入n(n 1)個(gè)抽屜，必有一個(gè)抽屜放有不少于 m 1個(gè)元素，也必有一個(gè)抽屜放有不多于 m個(gè)元素；將無(wú)窮多個(gè)元素放入n個(gè)抽屜必有一個(gè)抽屜 放有無(wú)窮多個(gè)元素。例6求1, 2, 3,，100中不能被2, 3, 5整除的數(shù)的個(gè)數(shù)?！窘狻?/p>

10、 記I 1,2,3, ,100, A x1 x 100，且x能被2整除(記為2x),B x1 x 10Q3x, C x1A B C A B C A1005個(gè)。x 100,5x,由容斥原理，BBCCAABC100W02310010010100151003074,所以不能被2,3,5整除的數(shù)有I A B C 26例7 S是集合1, 2,，2004的子集，S中的任意兩個(gè)數(shù)的差不等于 4或7,問S中最多含有多少個(gè)元素？【解】將任意連續(xù)的11個(gè)整數(shù)排成一圈如右圖所示。由題目條件可知每相鄰兩個(gè)數(shù)至多 有一個(gè)屬于S,將這11個(gè)數(shù)按連續(xù)兩個(gè)為一組，分成6組，其中一組只有一個(gè)數(shù)，若 S含有 這11個(gè)數(shù)中至少6個(gè)

11、，則必有兩個(gè)數(shù)在同一組，與已知矛盾，所以 S至多含有其中5個(gè)數(shù)。 又因?yàn)?004=182X11+2,所以S一共至多含有182X5+2=912個(gè)元素，另一方面，當(dāng)S rr 11k t,t 1,2,4,7,10,r 2004k N時(shí)，恰有S 912,且S滿足題目條件，所以最少含有912個(gè)元素。例8 求所有自然數(shù)n(n 2),使得存在實(shí)數(shù)a1,a2, ,an滿足:I .n(n 1)ai aj1 i j n 1,2,，七T0,a21,a33；當(dāng)n 4時(shí),【解】 當(dāng)n 2時(shí)，a10a 1;當(dāng)n 3時(shí)，a1a10凡 2自 5冏 1。下證當(dāng)n 5時(shí)，不存在“©2, ,an滿足條件。令 0 a1a2

12、an,貝 1 ann(n1).2所以必存在某兩個(gè)下標(biāo)i j ,使得aiajan 1,所以an 1 an 1 a1an”1 an a2,即 a21 ,所以 ann(n 1)an,an 1an2n(n 1)-一,an 1an 1 或 an2n(n 1),a21 o2an 2或 an 2an a2 ,即a22 ,設(shè) an 2 an 2,則 an an2 anan 1 ,導(dǎo)致矛盾，故只有 a22.考慮 an 3,有 an3 an 2或an3 an a3 ,即 a33 ,設(shè) an 3 an 2,則an 1an 22 a2 a0 ,推出矛盾，設(shè)a33,則anan 11 a3a2 ,又推出矛盾，所以nnnn

13、an 2 a2,n 4故當(dāng)n 5時(shí)，不存在滿足條件的實(shí)數(shù)。(ii)右 an , a21,考慮 an 1,考慮an 2 ,有an 2 ,有 an2 an 1 或 an2ana3,即a322這時(shí)a3a2a2a1，推出矛盾，故an ian2?？紤]an 3 ,有an 3an 2或an3 ana3,即 a3=3,于是 a3a?anan 1 ,矛盾。因此 an 2an3,所以an 1 an 2 1 a2 a1 ,這又矛盾，所以只有an 2 a2 ,所以n 4。故當(dāng)n 5時(shí)，不存在滿足條件的實(shí)數(shù)。例9 設(shè)人=1, 2, 3, 4, 5, 6, B=7, 8, 9,，n,在A中取三個(gè)數(shù)，B中取兩個(gè)數(shù)組成五個(gè)元

14、素的集合 A, i 1,2, ,20, A Aj 2,1 i j 20.求n的最小值?！窘狻縩min 16.設(shè)B中每個(gè)數(shù)在所有A中最多重復(fù)出現(xiàn)k次，則必有k 4。若不然，數(shù)m出現(xiàn)k次(k 4),則3k 12.在m出現(xiàn)的所有Ai中，至少有一個(gè)A中的數(shù)出現(xiàn)3次，不妨設(shè)它是1,就有集合1, a1，a2,m,bi 1,23e4m也, 1兩自產(chǎn)片,其中aiA,1 i 6 ,為滿足題意的集合。ai必各不相同，但只能是2, 3, 4, 5, 6這5個(gè)數(shù)，這不可能，所以k 4.20個(gè)A中，B中的數(shù)有40個(gè)，因此至少是10個(gè)不同的，所以n 16。當(dāng)n 16時(shí)，如下20個(gè)集合滿足要求:1 , 2, 3, 7, 8

15、,1 , 3, 4, 10, 11,1 , 4, 6, 13, 16,2, 3, 6, 14, 16,3, 4, 5, 12, 16,1, 2, 4, 12, 14, 1 , 3, 5, 13, 14, 1, 5, 6, 8, 11, 2, 4, 5, 8, 10, 3, 4, 6, 8, 9,1 , 2, 5, 15, 16, 1 , 3, 6, 12, 15, 2, 3, 4, 13, 15, 2, 4, 6, 7, 11, 3, 5, 6, 7, 10,1 , 2, 6, 9, 10,1, 4, 5, 7, 9,2, 3, 5, 9, 11,2, 5, 6, 12, 13,4, 5, 6, 14, 15。例10集合1 , 2,，3n可以劃分成n個(gè)互不相交的三元集合x, y,z,其中x y 3z , 求滿足條件的最小正整數(shù)n.n【解】 設(shè)其中第i個(gè)三元集為xi , y,zi, i 1,2, ,nM1+2+T3n4zi ,i 1所以3n(3n D 4 nzi。當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，有83n,所以n 8 ,當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，有83n 2i 1所以 n