山東建筑大學概率論作業(yè)紙答案

1、解解X;21XY 二、二、1.設隨機變量設隨機變量服從二項分布服從二項分布B（3，0.4），）， （2） 233XXY （1）求下列隨機變量函數(shù)的概率分布：求下列隨機變量函數(shù)的概率分布： iiiCiXPX 336 . 04 . 0)( 的的概概率率分分布布為為3,2,1 ,0 iX)(ixP10216. 0432. 0064.032288. 021XY （1）1Y)(jyP10216. 0432. 0064.094288. 03Y)(jyP1072. 028. 0 （2） 233XXY 概率論與數(shù)理統(tǒng)計作業(yè)概率論與數(shù)理統(tǒng)計作業(yè)6（2.82.11）1山東建筑大學概率論作業(yè)紙答案二、二、2.設隨機

2、變量設隨機變量 X的概率密度為的概率密度為 000122xxxxf當當當當求隨機變量函數(shù)求隨機變量函數(shù) XYln 的概率密度。的概率密度。 解解)(ln)()( yXPyYPyFYyY 的的分分布布函函數(shù)數(shù)，隨隨機機變變量量對對于于任任意意的的實實數(shù)數(shù))(yeXP yedxxf0)(的的概概率率密密度度為為隨隨機機變變量量函函數(shù)數(shù) Y yyYYeefyFyf )()( 122 yyeeRy 或或 是是單單增增函函數(shù)數(shù)，xyln 其反函數(shù)為其反函數(shù)為 .yex .yex 的的概概率率密密度度為為YyyYeefyf )()( 122 yyee 2山東建筑大學概率論作業(yè)紙答案二、二、3.設隨機變量設

3、隨機變量 X 服從服從00，22上的均勻分布，求上的均勻分布，求 在在(0,4)(0,4)內的概率密度函數(shù)。內的概率密度函數(shù)。 2XY 解解,的的分分布布函函數(shù)數(shù)隨隨機機變變量量對對于于任任意意的的實實數(shù)數(shù)Yy yYPyFY yXP 2 ,X20的的取取值值區(qū)區(qū)間間是是因因為為 .,Y40的的取取值值區(qū)區(qū)間間是是所所以以; 0)(,0 )1( yFyY時時當當 ;)y(F,yY142 時時當當 ,y時時當當40 3 yXyPyXPyFY 2 dxxfyyX 221000-ydxdxyy 3山東建筑大學概率論作業(yè)紙答案的分布函數(shù)的分布函數(shù)所以，隨機變量所以，隨機變量Y .y,;y,y;y,)y(

4、FY4140200上式兩邊對上式兩邊對 y 求導數(shù)，即得求導數(shù)，即得Y 的概率密度的概率密度 .,;y,y)y(fY其它其它040414山東建筑大學概率論作業(yè)紙答案二、二、4 一批產(chǎn)品中有一批產(chǎn)品中有a件合格品與件合格品與b件次品，每次從這批產(chǎn)品中任件次品，每次從這批產(chǎn)品中任取一件，取兩次，方式為：（取一件，取兩次，方式為：（1）放回抽樣；（）放回抽樣；（2）不放回抽樣。）不放回抽樣。設隨機變量設隨機變量X及及Y寫出上述兩種情況下二維隨機變量寫出上述兩種情況下二維隨機變量(X,Y)的概率分布及邊緣分布的概率分布及邊緣分布 分別表示第一次及第二次取出的次品數(shù)，分別表示第一次及第二次取出的次品數(shù)，

5、 并說明并說明X與與Y是否獨立。是否獨立。（1）放回抽樣）放回抽樣 解解1122)(baa j i00XY2)(baab )(baa )(bab )(baa )(bab 2)(baab 22)(bab 11) 1)() 1( babaaa j i00XY) 1)( babaab)(baa )(bab )(baa )(bab ) 1)( babaab) 1)() 1( bababb（2）不放回抽樣）不放回抽樣 X與與Y相互獨立相互獨立. X與與Y不獨立不獨立. 01,jipppjiij01,jipppjiij5山東建筑大學概率論作業(yè)紙答案二、二、5.5.把三個球隨機地投入三個盒子中，每個球投入盒

6、子的可能性把三個球隨機地投入三個盒子中，每個球投入盒子的可能性 是相同的。設隨機變量是相同的。設隨機變量X及及Y分別表示投入第一個及第二個盒子分別表示投入第一個及第二個盒子球的個數(shù)，求球的個數(shù)，求( (X,Y ) )的概率分布及邊緣分布的概率分布及邊緣分布解解)3. 3 , 2 , 1 , 0,( 3),(333 jijiCCjYiXPjii271273 j i27327127827127327327327627300000027827122712276276271271XY11220033由此得由此得(X,Y)的二維概率分布如下：的二維概率分布如下：6山東建筑大學概率論作業(yè)紙答案二、二、6.

7、6.隨機地擲一顆骰子兩次，設隨機變量隨機地擲一顆骰子兩次，設隨機變量 X 表示第一次出現(xiàn)表示第一次出現(xiàn)的點數(shù)的點數(shù), ,Y 表示兩次出現(xiàn)的點數(shù)的最大值，求表示兩次出現(xiàn)的點數(shù)的最大值，求( (X, ,Y) )的概率分的概率分布及布及Y 的邊緣分布。的邊緣分布。解解即即 jijijiijijYiXP . 6 , 2 , 1,36,361,X，Y 的所有可能的取值為的所有可能的取值為1，2，6.（i i ）當）當ji 時，時， 36,12ijXiXPjYiXPij 3616161 （i）當）當ji 時，時， jXiXPjYiXP 2,)()(2jXPiXP X2 表示第二次出現(xiàn)的點數(shù)表示第二次出現(xiàn)的

8、點數(shù),7山東建筑大學概率論作業(yè)紙答案YX1234561234561/360000000000000001/361/361/361/361/362/361/361/361/361/361/361/363/361/361/364/361/361/365/366/36Y 的邊緣分布為：的邊緣分布為：Y jyP2134563611213653674136118山東建筑大學概率論作業(yè)紙答案二、二、7. 設二維隨機變量（設二維隨機變量（X,Y）在矩形域）在矩形域 dycbxa ,上服從均勻分布，求（上服從均勻分布，求（X,Y）的概率密度及邊緣概率密度。）的概率密度及邊緣概率密度。X與與Y是是 否獨立？否獨

9、立？ 解解（X,Y）的概率密度）的概率密度 其其它它dycbxacdabyxf , 0)(1),(X邊緣概率密度邊緣概率密度 dyyxfxfX),()(其其它它bxaab 01Y邊緣概率密度邊緣概率密度 dxyxfyfY),()(其其它它dyccd 01故故X與與Y是是 相互獨立。相互獨立。 ),y(f)x(fy,xfYX 因因9山東建筑大學概率論作業(yè)紙答案二、二、8.8. 設二維隨機變量設二維隨機變量（X,Y）在聯(lián)合分布列為在聯(lián)合分布列為21321619118131 YX試問試問 為何值時，為何值時，X,Y才能獨立？才能獨立？ ， 911819161219121YXpp)Y,X(P解解 18

10、118191613118131YXpp)Y,X(P解得解得.,9192 要使要使X,Y獨立需滿足獨立需滿足10山東建筑大學概率論作業(yè)紙答案二、二、9：設：設 (X,Y）的分布函數(shù)為：）的分布函數(shù)為：)3arctan)(2arctan(),(yCxBAyxF （1）確定常數(shù)）確定常數(shù)A, B, C； （2）求）求(X,Y）的概率密度；）的概率密度；（3）求邊緣分布函數(shù)及邊緣概率密度。）求邊緣分布函數(shù)及邊緣概率密度。X、Y是否獨立？是否獨立？解解 0)2)(2arctan(),( CxBAxF0)3arctan)(2(),( yCBAyF 對任意的對任意的x與與y，有，有,2,12 CBA（1）1

11、)2)(2(),( CBAF)0( A11山東建筑大學概率論作業(yè)紙答案)3arctan2)(2arctan2(1),(2yxyxF （2）),(),(yxFyxfyx 2293)2arctan2(1yxdxd 22293421yx xFX),( xF)2arctan2(1x yFY),(yF )3arctan2(1y )(xfX xFX )4(22x )( yfY yFY )9(32y X與與Y 的邊緣密度函數(shù)為：的邊緣密度函數(shù)為：X的邊緣分布：的邊緣分布：（3）Y的邊緣分布函數(shù)為：的邊緣分布函數(shù)為：X與與Y是相互獨立的。是相互獨立的。).()(),(yfxfyxfYX 12山東建筑大學概率論

12、作業(yè)紙答案二、二、10.設設 (X,Y）的密度函數(shù)為：）的密度函數(shù)為： .yx.;y,xAe)yx(00 000 32或或當當當當， ),(yxf求：（求：（1）常數(shù)）常數(shù)A；（4）求）求(X,Y)落在區(qū)域落在區(qū)域R： （2）分布函數(shù)）分布函數(shù)F(x, y)；解解 dxdyyxf),(（1） 00)32(dxdyAeyx 0302dyedxeAyx13121 A6 A（2） 632 , 0, 0 yxyx內的概率。內的概率。（3）邊緣密度函數(shù)；）邊緣密度函數(shù)； 時，時，且且當當 yx00 yxvududveyxF00)32(6),()1)(1(32yxee yvxudvedue03026時時，

13、或或當當00 yx顯然，顯然，F(xiàn)(x,y)=0 13山東建筑大學概率論作業(yè)紙答案（3 ） dyyxfxfX),()(xyxedye20)32(26 時時，當當 x0時，時，當當0 x;0)( xfX 0, 00,2)(2xxexfxX同理：同理： 0, 00,3)(3yyeyfyY14山東建筑大學概率論作業(yè)紙答案 xyxR322030: 303220)32(6xyxdydxeP 202330)32(6yyxdxedy（4） 所求的概率為：所求的概率為： RyxdxdyyxfP,),(yx632 yx32 20633)1(3dyeeyy 2063)(3dyeey983. 06)1(66 ee 6

14、32),(yxdxdyyxf15山東建筑大學概率論作業(yè)紙答案概率論與數(shù)理統(tǒng)計作業(yè)概率論與數(shù)理統(tǒng)計作業(yè)7 7（2.122.12）一個商店每星期四進貨一個商店每星期四進貨, 以備星期五、六、日以備星期五、六、日3天銷售天銷售, 根據(jù)根據(jù)多周統(tǒng)計多周統(tǒng)計, 這這3天銷售件數(shù)天銷售件數(shù) 彼此獨立彼此獨立, 且有如下表所示且有如下表所示分布分布:321X,X,X0.10.70.2P1211101X0.10.60.3P1514132X0.10.80.1P1918173X問三天銷售總量問三天銷售總量 這個隨機變量可以取那些值？如果這個隨機變量可以取那些值？如果進貨進貨45件，不夠賣的概率是多少？如果進貨件，

15、不夠賣的概率是多少？如果進貨40件，夠賣的概件，夠賣的概率是多少？率是多少？ 31iiXY16山東建筑大學概率論作業(yè)紙答案解：解：Y可以取可以取40,41,42,43,44,45,46.進貨進貨45件，不夠賣的概率為件，不夠賣的概率為 ;.XPXPXP0010191512321 進貨進貨40件，夠賣的概率是件，夠賣的概率是 .XPXPXP0060171310321 2.2.袋中裝有標上號碼袋中裝有標上號碼1 1，2 2，2 2的的3 3個球，從中任取一個并且不再個球，從中任取一個并且不再放回，然后再從袋中任取一球，以放回，然后再從袋中任取一球，以X,Y分別記為第一次，二次分別記為第一次，二次取

16、到球上的號碼數(shù)，求取到球上的號碼數(shù)，求X+Y的概率分布律。的概率分布律。XY11220313131YX P332314解：解：17山東建筑大學概率論作業(yè)紙答案(X ,Y)只取下列數(shù)組中的值只取下列數(shù)組中的值 且相應且相應的概率依次為的概率依次為 列出列出(X ,Y)的概率分布表，并求出的概率分布表，并求出X-Y的分布律的分布律。 023111100, ，1251213161解：解：3161311211250020-100010YX18山東建筑大學概率論作業(yè)紙答案3161311211250020-100010YXYXZ 具有可能值：具有可能值：顯然，顯然，23510311342，, 31P 2

17、0 -2X-Y34 1211256119山東建筑大學概率論作業(yè)紙答案4. 設隨機變量設隨機變量X與與Y獨立，且獨立，且X在區(qū)間在區(qū)間0,1內服從均勻分布：內服從均勻分布： 10, 0 10, 1xxxxfX或或Y在區(qū)間在區(qū)間 2 , 0內服從辛普生分布：內服從辛普生分布： 20 , 021 ,210 ,yyyyyyyfY或或 求隨機變量求隨機變量 YXZ 的概率密度的概率密度. 解解 dxxzfY 10 dttfzzYxzt 1 zfZ dxxzxf , dxxzfxfyX 20山東建筑大學概率論作業(yè)紙答案012z1 z 20021210yyyyyyyfY或或 dttfzzY 1(1)當當 z

18、 3 時時, 0 zfZ,22z,2332 zz32 z,29322 zz0z121 z0121 z 20021210yyyyyyyfY或或22山東建筑大學概率論作業(yè)紙答案的概率密度為的概率密度為Z, 0其其它它 zfZ;10 z21 z,22z,2332 zz32 z,29322 zz23山東建筑大學概率論作業(yè)紙答案ijLL11L13L21L12L22L235. 電子儀器由六個相互獨立的部件電子儀器由六個相互獨立的部件)3 , 2 , 1; 2 , 1( ji如圖，設各個部件的使用壽命如圖，設各個部件的使用壽命ijX服從相同的指數(shù)分布服從相同的指數(shù)分布 e求儀器使用壽命的概率密度。求儀器使用壽命的概率密度。組成，組成，解解 各部件的使用壽命各部件的使用壽命 3 , 2 , 1 , 2 , 1 , ji