專題06概率與統(tǒng)計(jì)熱點(diǎn)問題理科解析版

1、122019高考數(shù)學(xué)（理）熱點(diǎn)問題解題策略指導(dǎo)系列專題06概率與統(tǒng)計(jì)熱點(diǎn)問題【最新命題動(dòng)向】 概率與統(tǒng)計(jì)是高考中相對(duì)獨(dú)立的一塊內(nèi)容，處理問題的方式、方法體現(xiàn)了較高的思維含量，該類問題以應(yīng)用題為載體，注重考查學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)及閱讀理解能力、化歸轉(zhuǎn)化能力；概率問題的核心是概率計(jì)算其中事件的互斥、對(duì)立、獨(dú)立是概率計(jì)算的核心，排列組合是進(jìn)行概率計(jì)算的工具統(tǒng)計(jì)問題的核心是樣本數(shù)據(jù)的獲得及分析方法，重點(diǎn)是頻率分布直方圖、莖葉圖和樣本的數(shù)字特征；離散型隨機(jī)變量的分布列及其期望的考查是歷來高考的重點(diǎn)，難度多為中低檔類題目，特別是與統(tǒng)計(jì)內(nèi)容的滲透，背景新穎，充分體現(xiàn)了概率與統(tǒng)計(jì)的工具性和交匯性【熱點(diǎn)一】隨機(jī)變量的

2、期望及綜合應(yīng)用【典例 1】（2017全國皿卷）（本題滿分12分）某超市計(jì)劃按月訂購一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶4元，售價(jià)每瓶6元，未售岀的酸奶降價(jià)處理，以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn)，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫 （單位：C ）有關(guān).如果最高氣溫不低于 25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間20,25），需求量為300瓶；如果最高氣溫低于 20,需求量為200瓶為了確定六月份的訂購計(jì)劃，統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最咼氣溫10,15)15,20)20,25)25,30)30,35)35,40)天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的

3、頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率.（1）求六月份這種酸奶一天的需求量X（單位：瓶）的分布列；設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為丫（單位：元），當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量n（單位：瓶）為多少時(shí),丫的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值？【審題示例】 看到表格，想到表中最高氣溫與天數(shù)的關(guān)系及氣溫與酸奶的需求量的關(guān)系 看到一天中酸奶的需求量，想到表格中關(guān)系可求解 看到EY的最值問題，想到利用進(jìn)貨量n表示EY,建立函數(shù)關(guān)系后可求解.【規(guī)范解答】(2 分)（1）由題意知，X所有可能取值為 200,300,500由表格數(shù)據(jù)知，2+1636P(X = 200) =90= 0.2, P(X = 300) = 90= 0.4 ,

4、P(X = 500) = 25；0 + 4 = 0.4 .(5分)因此X的分布列為X200300500P0.20.40.4 (6分)由題意知，這種酸奶一天的需求量至多為 500 ,至少為 200 ,因此只需考慮200 < n < 500, .(7分)當(dāng) 300 < nW 500 時(shí)，若最高氣溫不低于 25,貝U Y= 6n4n=2n ,若最咼氣溫位于區(qū)間20,25),則 丫= 6X 300 + 2(n 300) 4n= 1 200 2n若最高氣溫低于 20,貝U Y= 6 X 200 + 2(n 200) 4n= 800 2n,因此 EY = 2n X 0.4 + (1 20

5、0 2n) X 0.4 + (800 2n) X 0.2= 640 0.4n .(9分)當(dāng) 200 W nv 300 時(shí)，若最高氣溫不低于 20,貝U Y= 6n4n=2n ;若最高氣溫低于20,貝 9 丫= 6 X 200+2(n 200) 4n= 800 2n ; .(11 分)因此 EY = 2n X (0.4 + 0.4) + (800 2n)X 0.2= 160 + 1.2n,所以n = 300時(shí)，丫的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值，最大值為520元. (12分)【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】求解離散型隨機(jī)變量的期望與方差的解題模型匚二嬴L即選判斷隨機(jī)變竝的分布是特殊的類型還是Jfc 的類型甘i對(duì)于特殊的兩

6、點(diǎn)分布、二頂分布、超幾何分布爭；再崖性卜的期望與方盂可比直接f匕人相應(yīng)的仝式求解，而| i對(duì)于一能類舉的碗機(jī)變竝，應(yīng)先求出其分布列，:燃后代人棚應(yīng)的公式訃筒 【跟蹤訓(xùn)練1】(2018全國I卷)某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對(duì)產(chǎn)品作檢驗(yàn)，如檢驗(yàn)岀不合格品，則更換為合格品檢驗(yàn)時(shí)，先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗(yàn)，再根據(jù)檢驗(yàn)p(0vp<1)，且各件產(chǎn)品是否為不合結(jié)果決定是否對(duì)余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為 格品相互獨(dú)立.記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(p),求f(p)的最大值點(diǎn)po；(2)現(xiàn)對(duì)一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了20件，結(jié)果恰有2件不合

7、格品，以(1)中確定的po作為P的值已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為2元，若有不合格品進(jìn)入用戶手中，則工廠要對(duì)每件不合格品支付25元的賠償費(fèi)用. 若不對(duì)該箱余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，這一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為X，求EX ; 以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對(duì)這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)？【思維導(dǎo)引】(1) 先根據(jù)二項(xiàng)分布的概念判斷并求解相應(yīng)概率及其最值；(2) 利用離散型隨機(jī)變量的期望的性質(zhì)求解并根據(jù)概率的意義進(jìn)行判斷.【解析】(1)20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(p)= C2op2.(1 - p)18.因此218217217f' (p) = C2o2p(1 p) 18

8、p (1 p) = 2C2op(1 p) (1 - 10p) .(2分)令 f' (p)= 0,得 p= 0.1.當(dāng) p (0,0.1)時(shí)，f' (p)>0 ;當(dāng) p (0.1,1)時(shí)，f' (p)<0.所以f(p)的最大值點(diǎn)為 P0 = 0.1. .(4分)由(1)知，p= 0.1. 令丫表示余下的180件產(chǎn)品中的不合格品件數(shù)，依題意知丫B(180,0.1)，X= 20 X 2+ 25Y，即 X = 40 + 25Y.所以 EX = E(40 + 25Y) = 40 + 25EY= 490. (8分) 若對(duì)余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，則這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗(yàn)費(fèi)為40

9、0元.由于EX>400,故應(yīng)該對(duì)余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn). (12分)【熱點(diǎn)二】統(tǒng)計(jì)案例【典例2】(2019大同模擬)(本題滿分12分)某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)，需了解年宣傳費(fèi)x(單位：千元)對(duì)年銷售量y(單位：t)和年利潤z(單位：千元)的影響，對(duì)近8年的年宣傳費(fèi)Xi和年銷售量 yi(i = 1,2，8)數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.620600SflD 5605405205004&0 I I I I I L I .34 36 3H 40 42 44 4« 48 50 52 54 56年宜倩費(fèi)/干元£y7a£ (刃一工

10、滬1-12 （氣£W>2Alf 文：尤）* El3 y>工(叫個(gè)) F 146.65636,8289*8L 61 469108*8表中 IL =、w 帀 2O ±-l(給岀根據(jù)散點(diǎn)圖判斷， 尸a + bx與y= c+ d x哪一個(gè)適宜作為年銷售量 y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類型? 判斷即可，不必說明理由 )(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程.已知這種產(chǎn)品的年利潤 z與x, y的關(guān)系為z= 0.2y x.根據(jù)的結(jié)果回答下列問題： 年宣傳費(fèi)x= 49時(shí)，年銷售量及年利潤的預(yù)報(bào)值是多少？ 年宣傳費(fèi)x為何值時(shí)，年利潤的預(yù)報(bào)值最大？it_S(W(

11、_；2w = e 保.2(Uju)2t-i【審題示例】 看到判斷屬于哪種回歸模型，想到散點(diǎn)圖的分布趨勢 看到求回歸方程，想到利用最小二乘法求回歸系數(shù) 看到預(yù)報(bào)值，想到代入回歸方程 看到利潤最大，想到利潤=收益-成本，列岀利潤表達(dá)式，利用函數(shù)性質(zhì)求最值.【規(guī)范解答】解：（1）由散點(diǎn)圖的變化趨勢可以判斷，y = c + djx適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)型 （2）令，先建立y關(guān)于w的線性回歸方程.了文伽心廠夕108.8“由于d =j=68i-1c = y 一 d co = 563 68 X 6.8 = 100.6 ,所以y關(guān)于3的線性回歸方程為y = 100.6 + 68w,因此y關(guān)于x的回歸方

12、程為 y= 100.6 + 68、X 由知，當(dāng)x = 49時(shí)，年銷售量 y的預(yù)報(bào)值y= 100.6 + 68 49= 576.6，年利潤 z 的預(yù)報(bào)值z = 576.6 X 0.2 49 = 66.32根據(jù)（2）的結(jié)果知，年利潤 z的預(yù)報(bào)值"z = 0.2（100.6 + 68寸 x） x = x+ 13.6 寸x + 20.12.所以當(dāng)x= 1316= 6.8.即x = 46.24時(shí)，z取得最大值. 故年宣傳費(fèi)為 46.24千元時(shí)，年利潤的預(yù)報(bào)值最大. x的回歸方程類.（3 分）（7分）.（9 分）（11 分）.（12 分）【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】求解線性回歸方程的解題模型廿二二二二二二

13、二二二二二二二二二卄算 A計(jì)侏出sj.氏人的值計(jì)回歸孫數(shù)工$:_ J.i"1! r»i求方y(tǒng)r寫出線性同歸“線方爭齊益打【跟蹤訓(xùn)練2）（2018全國H卷）下圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額y（單位:億元）的折線圖.為了預(yù)測該地區(qū) 2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額，建立了 y與時(shí)間變量t的兩個(gè)線性回歸模型根據(jù) 2000年至 2016年的數(shù)據(jù)（時(shí)間變量t的值依次為1,2,，17）建立模型：y=- 30.4 + 13.5t;根據(jù)2010年至2016年的數(shù) 據(jù)（時(shí)間變量t的值依次為1,2，7）建立模型：y = 99+ 17.5t.（1）分別利用這兩個(gè)模型，求該地區(qū)2

14、018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值；你認(rèn)為用哪個(gè)模型得到的預(yù)測值更可靠？并說明理由.【思維導(dǎo)引】 根據(jù)給岀的兩個(gè)模型（回歸直線方程）求2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值，再根據(jù)題中給 出的折線圖進(jìn)行對(duì)照說明.【解析】：利用模型，2018年對(duì)應(yīng)t = 19，y = - 30.4 + 13.5 X 19= 226.1.利用模型，2018年對(duì)應(yīng)t= 9.A y = 99+ 17.5 X 9= 256.5. （4 分）（2）利用模型得到的預(yù)測值更可靠理由如下：（i ）從折線圖可以看岀，2000年至2016年的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)沒有隨機(jī)散布在直線y= 30.4 + 13.5t上下這說明利用2000年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型不能很好地描述環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢，2010年相對(duì)2009年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額有明顯增加，2010年至2016年的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于一條直線