四邊形難題綜合教師版x

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案1 -如圖，在平行四邊形 ABCD中，ZABC=45 ° , E、F分別在CD和BC的延長線上，AE BD , ZEFC=30 ° , AB=2.【答案】2 <2+2【解析】試題分析：易證四邊形 ABDE是平行四邊形，則 AB=DE=CD ,過點(diǎn)E作EH丄BF于點(diǎn)H,解等腰直角三角形CEH 得 EH=CH=2 <2 ,解 FH=2 <6 ,從而得 CF=2 邁 +2 Jb .試題解析：四邊形 ABCD是平行四邊形，ABDC, AB=DC.AEBD,四邊形ABDE是平行四邊形.AAB=DE=CD ,即 D 為 CE 中點(diǎn).V AB=2 , ACE

2、=4.又.ABCD, A ZECF= ZABC=45如圖，過點(diǎn) E作EH±BF于點(diǎn)H,VCE=4 , ZECF=45 0 , AEH=CH=2 x«'2 .V ZEFC=30 0 ,FH=2 J6 ,.CF=2 J2 +2.考點(diǎn)：1.平行四邊形的判定與性質(zhì)；2.含30度角直角三角形的性質(zhì)；3.等腰直角三角形的性質(zhì).2已知正方形 ABCD , AB=8 ,點(diǎn)E、F分別從點(diǎn) A、D同時(shí)出發(fā)，以每秒 lm的速度分別沿著線段 AB、DCDF(1 )求證：OE=OF .(2 )在點(diǎn)E、F的運(yùn)動過程屮，連結(jié) AF.設(shè)線段AE、OE、OF、AF所形成的圖形面積為S.探究：S的大小

3、是否會隨著運(yùn)動時(shí)間為t的變化而變化？若會變化， 試求岀S與t的函數(shù)關(guān)系式；若不會變化, 請說明理由.(1 )見解析(2)見解析t為連結(jié)EF,當(dāng)運(yùn)動時(shí)間為為何值時(shí)，AOEF的面積恰好等于的S. 4【答案】【解析】 試題分析：(1 )根據(jù)正方形的性質(zhì)得出 OA=OD , ZEAO= ZFDO=45 0 ,求出AE=DF=t ,根據(jù)SAS推出AEA。FDO即可;(2 )延長EO交DC于M ,求出AAOE ACOM ,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出AE=CM=t,根據(jù)S=S四邊形aemf-S AFOM求出即可;根據(jù)全等得出OE=OM ,求出S AEOF=16 - 4t即可得出方程16 - 4t=求出即可(1

4、)證明：四邊形ABCD是正方形,AOA=OD , ZEAO= ZFDO=45 ° ,點(diǎn)E、F分別從點(diǎn)A、D同時(shí)出發(fā)，以每秒 lm的速度分別沿著線段AB、DC向點(diǎn)B、C方向的運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t,AAE=DF=t ,WOD< ZEAO=ZFDOAE-DFAAEAO AFDO (SAS ),AOE=OF ；(2 )解：S的大小不會隨著運(yùn)動時(shí)間為 t的變化而變化,理由是：延長EO交DC于M,四邊形ABCD是正方形，AZOAE= ZMCO=45 ° , OA=OC在AAOE和COM 中f ZEA0=ZMC0ACt=COzaoezcoii.aoe 竺com ( ASA ),AA

5、E=CM=t ,/.S=S 四邊形 AEMF - S AFOM(t+8t ) ?4所以s的大小不會隨著運(yùn)動時(shí)間為t的變化而變化;V AAOE ACOM ,AOE=OM ,/ S AEOF =S AFOM8 - t - t ) ?8=16 -4t ,文檔人全實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案Is,VAOEF的面積恰好等于31的16 -曙X16 ,解W： t=,|3即當(dāng)運(yùn)動時(shí)間為t為蘭時(shí)，AOEF的面積恰好等于的 丄S.33點(diǎn)評：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的面積的應(yīng)用，能綜合運(yùn)用知識點(diǎn)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵，綜合性比較強(qiáng)，難度偏大.文檔人全（1）求證：四邊形 ABCD是平行四邊形;（2 ）過

6、點(diǎn) A作AE丄BC于E, AF丄CD于F,如圖2 ,若CF=2 , CE=5 ,四邊形 ABCD的周長為 28 .求EF的長度.【答案】（1 ）證明見解析.（2）屈.【解析】 試題分析：（1）利用平行線的性質(zhì)“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”和已知條件判定“同旁內(nèi)角互補(bǔ)” 平行得到ADBC,于是得到結(jié)論;（2 ）由四邊形ABCD是平行四邊形,AB AD根據(jù)比例的性質(zhì)得到 AD得到ZD,由于ZAEB= ZAPS）。，得到ABESZF,得到空梓,AD DF，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到Z DAF=30 ° , ZD=60 0 ,BE DF,得至lj AD=2DFDF求出ZC=120 °

7、,由余弦定理求得結(jié)果.試題解析：（1）證明：在四邊形ABCD中，AB CD,ZA+ ZD=180° .又ZB= ZD ,AZA+ ZB=180 ° ,A AD BC,四邊形ABCD是平行四邊形;(2 )解：設(shè) BC=x , CD=y , x+y= 14 ,BE+DF= 14(5+2 ) =7 ,四邊形ABCD是平行四邊形,/.ZB= ZD ,. ZAEB= ZAFD=90 0 ,AAABEAADF ,AB BE ,AD DFSi.I ABAD BE D ADDF 147AD DFAAD=2DF , ZDAF=30 0 , ZD=60 ° ,ZC=120 0 ,根據(jù)

8、余弦定理得： EF2=5 2+2 2-2 X5 X2?cosl20 ° =25+4+10=39ef=57.考點(diǎn)：平行四邊形的判定與性質(zhì).4(本小題滿分6分)如上圖，在厶ABC和厶EDC中，AC= CE= CB= CD , ZACB =ZECD =90 ° , AB與CE交于F, ED與AB、BC分別交于M、H.(1 )求證：CF= CH ；(2 )如下圖，AABC不動，將厶EDC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到Z BCE=45。時(shí)，試判斷四邊形ACDM是什么四邊形？并證明你的結(jié)論.BBC【答案】(1)證明見解析；(2)四邊形AC DM是菱形，證明見解析.【解析】試題分析：菱形的判別方法是說明一

9、個(gè)四邊形為菱形的理論依據(jù)，常用三種方法：定義；四邊相等；對角線互相垂直平分.具體選擇哪種方法需要根據(jù)已知條件來確定.(1 )要證明 CF=CH ,可先證明ABCF竺ZECH,由ZABC= ZDCE=90 0 , AC=CE=CB=CD ,可得Z B= ZE=45 ° , 得出CF=CH ；(2 )根據(jù) EDC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到Z BCE=45 ° ,推出四邊形ACDM 是平行四邊形，由AC=CD判斷出四邊形 AC DM 是菱形.試題解析：(1)證明：I ACB=ECD=90 ° ,AZACE+ ZBCE= ZBCD+ ZBCF,AZACF= ZBCD,VAC=CE=CB

10、=CD, Z.AACF ADCH , .*.CF=CH .（2 ）四邊形AC DM是菱形；證明如下：V Z ACB=90 0 , AC=CB ,AZB=45 0 ,V ZECD=90 ° ,ZBCE=45 0 ,ZBCD=45 ° ,AB CD ,同理AC DM ,二四邊形ACDM是平行四邊形.VAC=CD ,四邊形ACDM是菱形.考點(diǎn)：1菱形的性質(zhì)；2 ,全等三角形的判定與性質(zhì).5 .如圖，已知Z ABC=90 ° , D是直線AB上的點(diǎn)，AD=BC .(1 )如圖1,過點(diǎn)A作AF丄AB ,并截取AF=BD ,連接DC、DF、CF,判斷ZCDF的形狀并證明;(2

11、)如圖2, E是直線BC ±一點(diǎn)，且CE=BD ,直線AE、CD相交于點(diǎn)P, ZAPD的度數(shù)是一個(gè)固定的值嗎？若是, 請求出它的度數(shù)；若不是，請說明理由.【答案】(1 ) ACDF是等腰三角形；(2 )ZAPD=45 ° 【解析】試題分析：(1 )利用SAS證明AAPD和ABDC全等，再利用全等三角形的性質(zhì)得出FD=DC ,即可判斷三角形的形狀；(2 )作AF丄AB于A ,使AF=BD ,連結(jié)DF , CF,利用SAS證明厶班。和ABDC全等，再利用全等三角形的性質(zhì)得出 FD=DC , ZFDC=90 0 ,即可得出ZFCD= ZAPD=45 ° .試題解析：（1

12、）ACDF是等腰三角形，理由如下：I AF丄AD , ZABC=90 ° , /. ZFAD= ZDBC ,在AFAD與ZDBC屮，AD=BC , ZFAD= ZDBC , AF=BD , /.AFAD ADBC ( SAS) , AFD=DC , AACDF 是等腰三角形；(2 )作 AF丄 AB 于 A ,使 AF=BD ,連結(jié) DF , CF,如圖，T AF丄 AD , ZABC=90 ° , :. ZFAD= ZDBC ,在AFAD與ADBC 中，VAD=BC , ZFAD= ZDBC , AF=BD , AAFAD ADBC ( SAS) , AFD=DC , A

13、ACDF 是等腰三角形，V AFAD ADBC ,ZFDA= ZDCB , VZBDC+ ZDCB=90 ° , ZBDC+ ZFDA=90 ° , AACDF 是等腰直角三角形，.IZFCD=45 ° ,.AFCE,且 AF=CE ,二四邊形 AFCE 是平行四邊形，.AE/CF, A ZADP= ZFCD=45 0 .考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì).6（本題滿分10分）在？ ABCD中，ZADC的平分線交直線BC于點(diǎn)E、交AB的延長線于點(diǎn) F,連接AC（1 ）如圖1,若ZADC=90 0 , G是EF的中點(diǎn)，連接AG、CG. 求證：BE=BF 請判斷厶AGC的形

14、狀，并說明理由；（2）如圖2,若ZADC=60 0 ,將線段FB繞點(diǎn)F順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60 °至FG,連接AG、CG.那么AAGC又是怎樣的形狀.（直接寫出結(jié)論不必證明）理由如下：連接 BG,【答案】（1 ）BF BE ；VAGC是等腰直角三角形；（2） VAGC是等邊三角形.【解析】試題分析：先判定四邊形ABCD是矩形，再根據(jù)矩形的性質(zhì)可得ABC 90° , ABPDC, ADPBC ,GBA 60°, GAB 30° ,然后根據(jù)平行線的性質(zhì)求出FFDC, BEFADF ,再根據(jù) DF是ADC的平分線，利用角平分線的定義得到ADFFDC ,從而得到FBEF

15、,然后根據(jù)等角對等邊的性質(zhì)即可證明；連接BG ,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得FBEF45° ,再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)求岀BG FG, F CBG 45° ,然后利用“邊角邊”證明 VAFG和VCBG全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等 可得AG CG ,再求出 GAC ACG 90° ,然后求出 AGC 90° ,然后根據(jù)等腰直角三角形的定義判 斷即可；（2 ）連接BG ,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得 BFG是等邊三角形，再根據(jù)角平分線的定義以及平行線的性質(zhì)求出AF AD ,平行四邊形的對角相等求出ABC ADC60° ,然后求出CBG60°

16、 ,從而得到AFG CBG ,然后利用“邊角邊”證明VAFG和VCBG全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得 AG CG , 全等三角形對應(yīng)角相等可得 FAG BCG，然后求出 GAC ACG 120° ,再求出 AGC 60。，然后 根據(jù)等邊三角形的判定方法判定即可.試題解析：（1 ）證明：四邊形ABCD是平行四邊形，ABC 90° ,四邊形ABCD是矩形， ABC 90° , AB PDC, ADPBC , F FDC, BEF ADF ,DF是 ADC的平分線， ADF FDC , F BEF , ABF BE ；VAGC是等腰直角三角形.由知，BF BE ,

17、FBC 90°,45 nFBEF ° ,G是EF的中點(diǎn)，BG FG, F CBG 45° ,90oFAD ° ,AF AD ,又TAD BC,AF BC ,在VAFG和VCBG屮，AB= AFF CBG 90°BG = DFAVAFG 9VCBG (SAS),AG CGFAG BCG ,又 FAG GAC ACB 90°, BCG GAC ACB 90° ,即 GAC ACG 90AGC90VAGC是等腰直角三角形;(2 ) VAGC是等邊三角形.考點(diǎn)：平行四邊形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定；等腰直角三角

18、形.7(本題14分)如圖，直線11 : y -X b分別與X軸、y軸交于A、B兩點(diǎn)，與直線12： y kx 6交 2實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案于點(diǎn)C(4,2)文檔人全FG（1 ）求A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)及k、b的值;EPGH的面積為¥ ；（2 ）如圖，在線段BC上有一點(diǎn)E,過點(diǎn)E作y軸的平行線交直線1 2于點(diǎn)F,過E、F分別作EH丄y軸,丄y軸，垂足分別為 H、G,設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為m ,當(dāng)m為何值時(shí)，矩形y11 12（3 ）若點(diǎn)P為X軸上一點(diǎn),則在平面直角坐標(biāo)系屮是否存在一點(diǎn)Q,使得P、Q、A、B四個(gè)點(diǎn)能構(gòu)成一個(gè)菱形.若存在，求出所有符合條件的Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由【答案】（）（，）；（，）；:1

19、 A 80 B 04 k 2 b 4（）或；（）（,）、（，2133540)、-4試題分析：（1 ）把點(diǎn)C （4,2）代入直線11和12，即可求得k和b的值，根據(jù)直線11的解析式求得其與兩坐標(biāo)軸的交 點(diǎn)A和B的坐標(biāo)；考點(diǎn)：待定系數(shù)法求解析式；坐標(biāo)與圖形.8 倡導(dǎo)研究性學(xué)習(xí)方式，著力教材研究，習(xí)題研究，是學(xué)生跳出題海， 提高學(xué)習(xí)能力和創(chuàng)新能力的有效途徑.下面是一案例，請同學(xué)們認(rèn)真閱讀、研究，完成“類比猜想”的問題.習(xí)題 如圖（1 ）,點(diǎn) E、F分別在正方形 ABCD的邊BC、CD上，ZEAF=45 0 ,連接EF,則EF二BE+DF ,說明 理由.解答：正方形 ABCD 中，AB=AD , ZB

20、AD= ZADC= ZB=90 ° ,把 ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至厶ADE'，點(diǎn)F、D、E'在一條直線上.AZE, AF=90 0 -45 ° =45 ° = ZEAF,又 V AEZ =AE , AF=AFFAAEF ( SAS )EF=E' F=DE ' +DF=BE+DF .類比猜想:（1）請同學(xué)們研究：如圖2),在菱形 ABCD 中，點(diǎn) E、F 分別在 BC、CD 上，當(dāng)Z BAD=120° , ZEAF=60 °時(shí)，還有EF=BE+DF嗎？請說明理由.1一 0 , ZEAF=ZBAD 時(shí)

21、，2嗎？請說明理由.D（2 ）在四邊形 ABCD中，點(diǎn)E、F分別在BC、CD上，當(dāng)AB=AD , ZB+ ZD=180 EF=BE+DF【答案】證明見解析.【解析】試題分析：（1 ）把AABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 120 °至AADE '，如圖（2 ）,連結(jié)E' F,根據(jù)菱形和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AE=AE ' , ZEAF= ZE' AF,利用 “ SAS” 證明 AEF竺AE' F,得到 EF=E ' F；由于Z ADE ' + ZADC=120 ° , 則點(diǎn)F、D、E'不共線，所以 DE' +DF >

22、 EF,即由 BE+DF >EF；（2 ）把AABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)Z BAD的度數(shù)至厶ADE ',如圖（3 ）,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AE、AE , ZEAF= ZE/AF ,然后利用 “ SAS ”證明 AEF竺AE' F,得到 EF=E ' F,由于Z ADE ' + ZADC=180 ° ,知 F、D、E'共線，因 此有EF=DE ' +DF二BE+DF ；根據(jù)前面的條件和結(jié)論可歸納岀結(jié)論.試題解析：（1）當(dāng) ZBAD=120 0 , ZEAF=60 0 時(shí)，EF=BE+DF不成立，EF< BE+DF .理由如下：I在菱形 ABCD 中，ZBAD=120 ° , ZEAF=60 ° ,AAB=AD , Z1+ Z2=60 0 , ZB= ZADC=60 ° ,把ZABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。至AADE，,如圖（2 ）,連結(jié)