動(dòng)點(diǎn)最值問題解法探析1精編版

1、醫(yī)藥資料推薦動(dòng)點(diǎn)最值問題解法探析一、問題原型：如圖1-1,要在燃?xì)夤艿郎闲藿ㄒ粋€(gè)泵站，分別向、J兩鎮(zhèn)供氣，泵站修在管道的什 么地方，可使所用的輸氣管線最短？這個(gè)“確定最短路線”問題，是一個(gè)利用軸對稱解決極值的經(jīng)典問題。解這類問題二、基本解法：對稱共線法。禾U用軸對稱變換，將線路中各線段映射到同一直線上（線路長度不變）， 確定動(dòng)點(diǎn)位置，計(jì)算線路最短長度。三、一般結(jié)論：圖1-2A_三_1（在線段 U 上時(shí)取等號）（如圖1-2）E1-1線段和最小，常見有三種類型：映射到直線的另一側(cè)，由“兩點(diǎn)之間線段最短”可知線段和的最（一）“ I定動(dòng)|+|定動(dòng)|”型：兩定點(diǎn)到一動(dòng)點(diǎn)的距離和最小 通過軸對稱，將動(dòng)點(diǎn)所

2、在直線同側(cè)的兩個(gè)定點(diǎn)中的其中一個(gè), 動(dòng)點(diǎn)在這個(gè)定點(diǎn)的對稱點(diǎn)及另一定點(diǎn)的線段上時(shí)， 小值，最小值為定點(diǎn)線段的長。1. 兩個(gè)定點(diǎn)+ 一個(gè)動(dòng)點(diǎn)。如圖1-3，作一定點(diǎn)關(guān)于動(dòng)點(diǎn)所在直線的對稱點(diǎn)-，線段是另一定點(diǎn)）與.的交點(diǎn)即為距離和最小時(shí)動(dòng)點(diǎn)位置，最小距離和二。例1 （ 2006年河南省中考題）如圖2,正方形 ABCD的邊長為2 , S是PC的中點(diǎn)，P上一動(dòng)點(diǎn)，貝U ：一 口？的最小值是解析：J與關(guān)于直線對稱，連結(jié)厶則丄丄：1。連結(jié)r_',在上中，一 一，一，則；一廠:-二一丄-丄亡_ _匸一工 故匚坷的最小值為,例2（2009年濟(jì)南市中考題）如圖3，已知：拋物線.T門"+ ；咕一Hi

3、的對稱軸為，與；軸交于、J兩點(diǎn)，與軸'交于點(diǎn)，其中 :：x戸1 iy18二（i）求這條拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）已知在對稱軸上存在一點(diǎn)，使得nT的周長最小，請求出點(diǎn).的坐標(biāo)。解析：（1）對稱軸為，丄-"， 由對稱性可知：馳0） 。根據(jù)、j、/4.P（-1 廠-）三點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法，可求得拋物線為:（2）與J關(guān)于對稱軸丄 【對稱，連結(jié) 丄，丄與對稱軸交點(diǎn)即為所求 點(diǎn)。設(shè)直線二解析式為:。把、一山.代入得，當(dāng)：1時(shí),2. 兩個(gè)定點(diǎn)+兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)。兩動(dòng)點(diǎn)，其中一個(gè)隨另一個(gè)動(dòng)（一個(gè)主動(dòng)，一個(gè)從動(dòng)），并且兩動(dòng)點(diǎn)間的距離保持不變。用平移方法，可把兩動(dòng)點(diǎn)變成一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為“兩個(gè)定點(diǎn)和一

4、個(gè)動(dòng)點(diǎn)”類型來解。例3如圖4，河岸兩側(cè)有、J兩個(gè)村莊，為了村民出行方便， 計(jì)劃在河上修一座橋,橋修在何處才能兩村村民來往路程最短？解析：設(shè)橋端兩動(dòng)點(diǎn)為、廠，那么T點(diǎn)隨工點(diǎn)而動(dòng)，你:等于河寬，且.匸垂直于河岸。將j向上平移河寬長到：，線段jL與河北岸線的交點(diǎn)即為橋端 ：點(diǎn)位置。四邊形 工：為平行四邊形，二 二，此時(shí) v匸v二:'匸值最小。那么 來往、j兩村最短路程為： mm 一d例4 （2010年天津市中考）在平面角坐標(biāo)系中，矩形 二T的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂 點(diǎn)、J分別在；軸、軸的正半軸上，：f，門一J，二為邊丨.忖的中點(diǎn)。（1） 若匸為邊一上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng) 二二匸的周長最小時(shí)，求點(diǎn) 匸的

5、坐標(biāo)；（2） 若二，；為邊一上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且 斤：二:，當(dāng)四邊形LU 的周長最小時(shí)， 求點(diǎn)二，：的坐標(biāo)。QDOZX = OD = = 2 nr/pi 為解析：作點(diǎn)二關(guān)于：軸的對稱點(diǎn)：，則1，（1）連接二交軸于點(diǎn)連接 H，此時(shí)c.L'IkS的周長最小。由OE _ DfO I?_JCxLi,O_3x2_1可知打，那么.，則-。（2）將_'向左平移2個(gè)單位（.二）到點(diǎn)，定點(diǎn)-1、_分別到動(dòng)點(diǎn)二、：的距離和等于為定點(diǎn)：到動(dòng)點(diǎn)匸的距離和，即 U ：“二:；*。從而把“兩個(gè)定點(diǎn)和兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)”類問題轉(zhuǎn)化成“兩個(gè)定點(diǎn)和一個(gè)動(dòng)點(diǎn)”類型。在丄T上截取二廠，連接1交：軸于匸，四邊形為平行四邊形，|.

6、=I ； .-。此時(shí)值最小，則四邊形 m 的周長最小。由-1 山、.|可求直線j解析式為二匚;一 ，當(dāng)"時(shí)，一二，即'1，（也可以用（1）中相似的方法求二坐標(biāo)）匚0 /E/E AL'（二）“ |動(dòng)定|+|動(dòng)動(dòng)|”型：兩動(dòng)點(diǎn)分別在兩條直線上獨(dú)立運(yùn)動(dòng)，一動(dòng)點(diǎn)分別到一定點(diǎn)和另一動(dòng)點(diǎn)的距離和最小。利用軸對稱變換，使一動(dòng)點(diǎn)在另一動(dòng)點(diǎn)的對稱點(diǎn)與定點(diǎn)的線段上（兩點(diǎn)之間線段最短），且這條線段垂直于另一動(dòng)點(diǎn)的對稱點(diǎn)所在直線（連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段 中，垂線段最短）時(shí)，兩線段和最小，最小值等于這條垂線段的長。例5 （2009年陜西省中考）如圖6,在銳角 U 中，一，工；，工

7、-的平分線交一于點(diǎn)，二、分別是丄_：和振上的動(dòng)點(diǎn)，則亠廠的最 小值為4。B AH B圖6解析：角平分線所在直線是角的對稱軸，J上動(dòng)點(diǎn) 一關(guān)于一_ 的對稱點(diǎn)在上,二二二二二，當(dāng)時(shí)最小。作亠于T，交上于二，PHBh作丄丄一匚交丄'于，二-工丄例6如圖7,四邊形.m 是等腰梯形，、j在軸：上，二在軸上，；仁匸- ：_' -， - "I，匕:，拋物線-過、j兩點(diǎn)。（1）求 > :;（2） 設(shè)是軸上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，它到軸與；軸的距離之和為_；'，求的 最大值；（3） 當(dāng)（2）中：點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到使取最大值時(shí)，此時(shí)記點(diǎn) 二為，設(shè)線段二與軸 交于點(diǎn)匸，為線段匸T上一動(dòng)點(diǎn)，

8、求到點(diǎn)與到軸的距離之和的最小值， 并求此時(shí) 點(diǎn)的坐標(biāo)。解析：（1）由 ABHCD , 二配二、恒，肛二 , CD 二 3 可得:以T，0）、B（4,0）、 匚.、匚；根據(jù)、J的坐標(biāo)可求出拋物線解析式為； - - -'1（2）設(shè)M（x,y），且（-1"<4），則d二尸|兀|二（-+3兀+4）+|工|，用零點(diǎn)分f-（x_l+5（T eg）d 段法可求得， -（x-2）3+8（0<x<4）。當(dāng) “2 時(shí)，如大記。此時(shí)，則 2<：_.： I。（3）.軸與直線 -丨關(guān)于亠- 對稱，作 FQLy 軸于二，動(dòng)點(diǎn)二關(guān)于的對稱點(diǎn) 丄在直線»二1上，丄 ；二 上

9、u二，當(dāng)垂直于直線»二1時(shí)，丄上的值 最小。，根據(jù) 和:' 可求直線的解析式- ' ，則有 I O 由 可知，門一廠_廠。作巒，過一點(diǎn)作軸的平行線.】一交：匚于J，那么2 -】-一 -。作兒 丄于一I，則"上二U ，當(dāng)是二于工 的交點(diǎn)時(shí)，:匚 與"重合，二有最小值5。函數(shù) ，此時(shí)；，則，即3. 定動(dòng)|+|動(dòng)動(dòng)|+|動(dòng)定型：兩定點(diǎn)到兩動(dòng)點(diǎn)的距離、以及兩動(dòng)之間距離和最小。例7（2009年漳州中考）如圖8, 一二!：是一U點(diǎn),In,分別是和上的動(dòng)點(diǎn)，求 MQR 周長的最小值。解析：分別作關(guān)于一、一的對稱點(diǎn)一，連接上，則丨 I，當(dāng)：-、工在線段上時(shí)，_匸；

10、山周長最小，丁 - In .：'：。貝周長的最小值為丨山：例8高速公路廠與滬渝高速公路 二垂直，如圖9建立直角坐標(biāo)系。著名的恩施大峽谷（）和世界級自然保護(hù)區(qū)星斗山（'）位于兩高速公路同側(cè)，到直線二的距離為丨I，：，J到直線二和丁的距離分別為二和_ . 。請你在三旁和？旁各修建一二' < 上' -' ?|；。當(dāng)、：在線段上 時(shí)，肪門最小。過匚、丁分別作二軸、軸的平行線交于。在亡匚中，_ii, 交二軸于交？軸于：汕-n而丄 ”四邊形.-的周長最小值為:-也!- 1'線段和的最值與定值”問題初探學(xué)生常常找不到解題的突破口，此類 試題往往同根而異形

11、，利用兩個(gè) 典型題例”進(jìn) 行 發(fā)散式”的概括和引申，是解決此類問題的一個(gè)捷徑。所謂 典型題例”就是某些題例雖然不是幾何公理或定理，卻可以舉一反三 地運(yùn)用于其他相關(guān)的系列問題的解答。下面就線段和的最值與定值”問題，運(yùn)用兩個(gè)典型題例”的源命題進(jìn)行探討。一、關(guān)于線段和的最小值源命題（北師大版七年級下冊 P228第七章習(xí)題7.3問題解決”第2題）： 如圖1所示，要在街道旁修建一個(gè)奶站，向居民區(qū)A、B提供牛奶，奶站應(yīng)建在什么地方，才能使從 A、B到它的距離之和最短？*曙民區(qū)A闿道I"金本題的解答是：作出點(diǎn)B的軸對稱點(diǎn)B1，連接AB1交直線丨于點(diǎn)P,貝V點(diǎn) P為所求的奶站位置。利用這一題例的結(jié)論

12、，可以解決一些同根異形關(guān)聯(lián)題，下面試舉幾例：【關(guān)聯(lián)題1】（2008年湖北荊門市中考題）如圖2，菱形ABCD的兩條對角線分別長6和8，點(diǎn)P是對角線AC上的 一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn) M、N分別是邊AB、BC的中點(diǎn)，貝V PM+PN 的最小值是析解：利用菱形的對稱性，在 AD上找出點(diǎn)M關(guān)于AC的對稱點(diǎn)M /（即 AD的中點(diǎn)），連結(jié) M/ N交AC于P,則PM+PN 的最小值為線段 M' N的長, 而M /、N分別為邊AD、BC的中點(diǎn)，故M / N的長等于菱形的邊長5。【關(guān)聯(lián)題2】（2007 年樂山市中考題）如圖3 , MN是O O的直徑，MN=2， 點(diǎn)A 在O O 上，/ AMN=3° ，B

13、為弧AN的中點(diǎn)，P是直徑MN 上一動(dòng)點(diǎn)，則 PA+PB的最小值為（）析解：連結(jié)OA，由/AMN=30°得/ AON=60° ，取點(diǎn)B關(guān)于MN的對稱 點(diǎn)B/,中國教育文庫:www.china- 連結(jié)OB /、AB 7 , AB /交MN于點(diǎn) P,則AB /的長為PA+PB的最小值，且易知/ AOB 7 =90 °，即 AOB，為等腰 Rt ，故?！娟P(guān)聯(lián)題3】（2008年湖北黃石市中考題）上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，的周長是（）如圖4，在等腰/ ABC中，/ ABC=120 ° ，點(diǎn)P是底邊ACD.J+2 TM、若PM+PN 的最小值為2，則/ ABC析解：把等腰/ ABC

14、沿AC翻折可得一菱形，由上面【關(guān)聯(lián)題 1】的解答可 知，PM+PN 的最小值就是菱形的邊 AB的長，故AB=2，由AB=BC=2 ，/ ABC=120 °易求得，因此/ ABC的周長是（）?！娟P(guān)聯(lián)題4】（威海市2009年中考題）如圖5，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別為（-1，0 ），（3，0 ）， （0，3），過A，B，C三點(diǎn)的拋物線的對稱軸為直線l，D為對稱軸上丨一動(dòng)點(diǎn)，（1）求拋物線的解析式；（2）求當(dāng)AD+CD 最小時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）以點(diǎn)A為圓心，以AD為半徑作O A，證明：當(dāng)AD+CD 最小時(shí), 直線BD與O A相切。寫出直線BD與OA相切時(shí)，D點(diǎn)的另一個(gè)坐標(biāo)。析解

15、：（1 ）可設(shè)y=a（x+1）（x-3） ，再代入點(diǎn)C坐標(biāo)，即可求得y=-x2+2x+3(2) 利用點(diǎn)A、B關(guān)于直線l:x=1對稱，連結(jié)BC交丨于D，則此時(shí)AD+CD 取得最小值；設(shè)丨與x軸交點(diǎn)為E，由/BED s/BOC 可求得DE=2 , BD=2 姨2 =AD，所以D的坐標(biāo)為(1 , 2)。(3) 如圖6,連結(jié)AD ,由點(diǎn)A、B、D、E的坐標(biāo)易知/ ADE和/BDE 均 為等腰Rt ，故/ ADE= Z BDE=45 所以/ ADB=90 ，所以直線BD與O A相 切。由對稱性知點(diǎn)D的另一個(gè)坐標(biāo)是(1，-2 )上述源命題還可作進(jìn)一步引申：【引申題】小明在某景區(qū)游玩，他打算從景點(diǎn)A到河邊(

16、直線丨)走一段(長 度為已知線段a)再到景點(diǎn)B，怎么走最近？析解：如圖7，本題的關(guān)鍵是確定直線丨上的兩點(diǎn)D、E，因DE=a為定長, 故只需AE+BD 為最小即可；作線段 AC /丨且AC=a，作點(diǎn)C關(guān)于直線丨的軸對 稱點(diǎn)C /,連接C / B交直線丨于點(diǎn)D，在直線丨上截取DE=a，連接AE，則小 明應(yīng)走的路線是 AE ED DB。理由是：連接 CD，貝V CD=AE=C 7 D，因DE=a 為定長，故只須AE+BD(二CD+BD) 最小即可。弭邊I:/ D*I '陽r【關(guān)聯(lián)題1】已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn) A (2 , -3 ), B (4 , -1 ),(1)若 C (a , 0) ,

17、 D (a+3 , 0)，是x軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)a= 時(shí)，四邊形ABCD 的周長最短。(2 )設(shè)M、N分別為x軸和y軸上的動(dòng)點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn) M (m , 0), N ( 0, n),使四邊形ABMN的周長最短？若存在，請求出 m、n的值；若不存 在，請說明理由。析解：(1 )如圖8，本題中AB和CD( a+3-a=3)均為定長，故只需AC+BD取最小值即可； 平移點(diǎn)A到A1，使AA1=CD=3 ，作點(diǎn)A1關(guān)于x軸的對稱點(diǎn) A2，連結(jié)A2B交x軸于D，作AC / A1D交x軸于點(diǎn)C,由上述 引申題”結(jié)論 知此時(shí)AC+BD 取得最小值；求得直線 A2B的解析式為y=4x-17 ，可Dt .

18、1 * .即勺-I l "-嚴(yán)丄 I-(2 )如圖9，本題中AB為定長，分別作點(diǎn)A、B關(guān)于y軸、x軸點(diǎn)對稱 點(diǎn)A1、B1，連接A1B1交x軸于M，交y軸于N，則根據(jù)上述 源命題”的結(jié)論,M、N為所求的點(diǎn)；易得直線 A1B1的解析式為，令y=0得、關(guān)于線段和為定值問題關(guān)于線段和為定值問題，可由一個(gè)較經(jīng)典的源命題進(jìn)行引申發(fā)散。源命題：(來自馬復(fù)主編講堂中考沖刺P123 )等腰三角形底邊上一點(diǎn)到兩腰的距離之和等于一腰上的高。如圖，已知點(diǎn)P是等腰/ ABC的底邊BC上一點(diǎn)，PF丄AB于F, PG丄AC 于G，BD丄AC 于D ;求證：PF+PG二BD。本題的證明主要有 截長補(bǔ)短”法和面積法”

19、略證如下：略證一：如圖10 ,作PE丄BD于E,則四邊形PEDG 是矩形，所以PG=ED ;易證/ PBF如/BPE，所以 PF=BE，所以 PF+PG=BD。r1，r2，腰上的高r2= 12AC h，所連結(jié)AP，點(diǎn)P到兩腰的距離分別為為 h，則有 S ABP+S ACP=S ABC，即 12AB- r1+12AC以r1+r2=h（定值）利用這一題例的結(jié)論，可以解決一些同根異形關(guān)聯(lián)題，下面試舉幾例：【關(guān)聯(lián)題1】如圖12在矩形ABCD中，對角線AC、BD交于點(diǎn)0,點(diǎn)P為BC 邊上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PE丄BD 于E,PF丄AC 于F,AB=3,BC=4 ，求PE+PF析解：依矩形性質(zhì)可知/ 0BC為

20、等腰P是其底邊上一點(diǎn)，作CH丄BD于 H，應(yīng)用源命題結(jié)論得 PE+PF=CH=2.4 ?！娟P(guān)聯(lián)題2】（2009年佳木斯市中考題）如圖13，將矩形紙片ABCD沿 其對角線AC折疊，使點(diǎn)B落到點(diǎn)B /的位置，AB /與CD交于點(diǎn)E。LAP: F13（1 ）試找出一個(gè)與 AED全等的三角形，并加以證明;（2）若AB=8，DE=3，P為線段AC 上任意一點(diǎn)，PG丄AE于G，PH丄EC于H。試 求PG+PH的值，并說明理由。析解：（1 ） / AED 如/CEB （證明略）;（2 ）由（1 ）知 AE=CE，即/AEC 為 等腰/，且AD丄CD于D，應(yīng)用源命題結(jié)論可得 PG+PH=AD ，因?yàn)锳B=CD

21、=8 ， DE=3，所以 CE=AE=5，所以 AD=4=PG+PH 。三、理解與應(yīng)用如圖14，在邊長為3的正方形ABCD中，點(diǎn)E為對角線BD上的一點(diǎn)， 且BE=BC，F(xiàn)為CE上一點(diǎn)，F(xiàn)M丄BC 于M， FN丄BD 于N，試?yán)蒙鲜鼋Y(jié)論求 出FM+FN 的長。陽J4析解：依題意，F(xiàn)為等腰/ EBC底邊EC上一點(diǎn),連結(jié)AC交BD于O,則AC丄BD于0 ,且AC=3，應(yīng)用源命題結(jié)論可得例談求線段和的最小值問題平面幾何中線段和的最小值問題是初中學(xué)生較難解決的問題之一，也是棘手問題。筆者就這個(gè)問題瀏覽了 05年度全國部分省市的有關(guān)中考試題，本文下面將結(jié)合中考試題為例予 以剖析，供參考。一、以正方形為載

22、體，求線段和的最小值例1.如圖1，四邊形ABCD是正方形，邊長是 4, E是BC上一點(diǎn)，且 CN 1 , P是對角線BD上任一點(diǎn)，則 PE+ PC的最小值是 。圖1分析：由于 BD是正方形 ABCD的對角線，連接 AP,易證 ADPA CDP所以PA= PC, 此時(shí)求PE+ PC的最小值就轉(zhuǎn)化為求 PA+ PE的最小值，連接 AE,在厶PAE中，因?yàn)?PA+ PE 以AE,故當(dāng)點(diǎn)P為A與BD的交點(diǎn)時(shí)（即當(dāng) A、P、E三點(diǎn)共線時(shí)），PA+ PE的最小值為AE, 由勾股定理可求 AE所求問題可解。解：連接PA,v BD為正方形ABCD的對角線 AD= CD / ADP=Z CDP又 DA DP,

23、ADPA CDP PA= PC連接AE/ CE= 1 , BE= 3在 Rt ABE中， 廊二J屈+誌二刁二§根據(jù)三角形中兩邊的和大于第三邊可知，當(dāng)P為AE與BD的交點(diǎn)時(shí)，PA+ PE的最小值為 AE,即卩 PA+ PEA AE - PA+ PEA 5，即 PE+ PO 5,二 PE+ PC的最小值為 5 （僅當(dāng) A P、E三點(diǎn)共線時(shí)取等號）。例2.如圖2，正方形ABCD勺邊長為8，點(diǎn)E、F分別在AB BC上，AE= 3, CF= 1, P 是對角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則 PE+ PF的最小值是（）DCFG亡HLE0C.分析：因?yàn)閯?dòng)點(diǎn) P在正方形ABCD勺對角線AC上,在AD邊上取點(diǎn)G

24、,并截取AE= AQ 易證 PGA2A PEA所以PG= PE,所求PE+ PF的最小值就轉(zhuǎn)化為求 PG+ PF的最小值，連 接FG在厶PFG中，PG+ PF的最小值就是 FG（僅當(dāng)F、P、G三點(diǎn)共線時(shí)取得最小值）。解：在AD邊上取點(diǎn) G并截取AG= AE,連接PG/ AC是正方形ABCD的對角線/ PAG=Z PAE 又 AP= AP PAGA PAE PG= PE連接FG 過點(diǎn)G作GHL BC,垂足為 H AG= AE= 3,而四邊形 ABHG為矩形,BH= AG= 3 , GH= AB= 8又 CF= 1 , HC= 5, HF= 5 1 = 4在Rt fhg中，由勾股定理，得買G=Jg

25、H° +皿1二腫+ 4, =45在厶PFG中，PG+ PF> GF （僅當(dāng)F、P、G三點(diǎn)共線時(shí)取等號）1PE+PFX4 后,即PE+ PF的最小值為1' 5故應(yīng)選D。二、以菱形為載體，求線段和的最小值例3. （05,南充）如圖3,點(diǎn)P是邊長為1的菱形ABC%角線AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，M N分別是AB BC邊上的中點(diǎn)，PW PN的最小值是（）圖3B.C.1D. 2分析：因?yàn)閯?dòng)點(diǎn) P在菱形ABCD勺對角線AC上，取CD邊的中點(diǎn)G,連接PG則易證PCN從而PG= PN因此求PW PN的最小值就轉(zhuǎn)化為求 PW PG的最小值，連接MG 在厶PMG中, PW PG的最小值就是 MG即PW P0 MG（僅當(dāng) M P、G三點(diǎn)共線時(shí)取得最小 值）。解：取CD的中點(diǎn)G,連接PG/ AC是菱形ABCD勺對角線/ PCGZ PCN又CB= CD N是BC邊的中點(diǎn) CN= CG又 PC= PC,PCGA PCN Pd PNDG/AM連接MG /二四邊形AMGD平行四邊形MG= At> 1在厶PMGK 川f | 上MG