直線和橢圓的弦長(zhǎng)問題(課堂PPT)

1、1-弦長(zhǎng)問題2問題：怎么判斷它們之間的位置關(guān)系？問題：怎么判斷它們之間的位置關(guān)系？問題：橢圓與直線的位置關(guān)系？問題：橢圓與直線的位置關(guān)系？相交相交相切相切相離相離判斷方法判斷方法（1）聯(lián)立方程組：）聯(lián)立方程組：（2）消去一個(gè)未知數(shù)）消去一個(gè)未知數(shù)（3）0 方程無解方程無解方程有一解方程有一解方程有兩解方程有兩解 直線與橢圓沒有交點(diǎn)直線與橢圓沒有交點(diǎn) 相離相離直線與橢圓有一個(gè)交點(diǎn)直線與橢圓有一個(gè)交點(diǎn)直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)相切相切相交相交3弦長(zhǎng)問題：弦長(zhǎng)問題：消去消去y得：得： 解：聯(lián)立方程組：解：聯(lián)立方程組： - -221242yxxy = = +=+= 25410- - -=

2、 =xx0D D 方程方程有兩個(gè)根有兩個(gè)根 直線與橢圓的位置關(guān)系：直線與橢圓的位置關(guān)系：相交相交 思：相交所得弦的弦長(zhǎng)是多少？相交所得弦的弦長(zhǎng)是多少？ 22121221221212()()2()2 ()4=-+-=-+-=-=-=+-=+-xxyyxxxxx xAB625= =4弦長(zhǎng)公式：弦長(zhǎng)公式：設(shè)直線與橢圓相交于設(shè)直線與橢圓相交于1122(,), (,)A x yB xy兩點(diǎn)，兩點(diǎn)，直線直線AB的斜率為的斜率為K.適合求任適合求任何二次曲何二次曲線與直線線與直線的弦長(zhǎng)的弦長(zhǎng)思考：直線思考：直線k不存在應(yīng)怎樣求解呢？不存在應(yīng)怎樣求解呢？2212121()4= =+ + +- -kxxx x1

3、212,+ +xx x x可由韋達(dá)定理得可由韋達(dá)定理得AB21212211()4= =+ + +- -yyy yk其中其中直線與圓的相交弦的弦長(zhǎng)：直線與圓的相交弦的弦長(zhǎng)：222= =- -lrd（d為圓心到直線的距離）為圓心到直線的距離）5例例1： 求橢圓求橢圓22142+=+=xy與直線與直線220- -+ += =xy相交弦長(zhǎng)相交弦長(zhǎng)弦長(zhǎng)弦長(zhǎng)2224112 +=+= =+=+ xyyx 23440+-=+-=xx 24640D D = =- -= = bab解：聯(lián)立方程組：解：聯(lián)立方程組：121244,33+ += = - -= = - -xxx x22121241()453= =+ +

4、+- -= =lkxxx x 6例例2：已知斜率為已知斜率為1的直線的直線L過橢圓過橢圓2214+=+=xy的右焦點(diǎn)交橢圓于的右焦點(diǎn)交橢圓于A，B兩點(diǎn)，求兩點(diǎn)，求AB的長(zhǎng)的長(zhǎng).解：解：令令A(yù),B坐標(biāo)分別為坐標(biāo)分別為1122(,),(,)A xyB xy由橢圓方程知：由橢圓方程知：2224,1,3= = = =abc (3 , 0 )F直線直線L方程為：方程為：3= =- -yx聯(lián)立方程組：聯(lián)立方程組：22443 + += = = =- - xyyx 258 380- -+ += =xx 12128 38,55+ += = =xxx x AB22121281()45= =+ + +- -= =k

5、xxx x總結(jié)：總結(jié)：聯(lián)立方程組聯(lián)立方程組消去其中一個(gè)未知消去其中一個(gè)未知數(shù)得一元二次方程數(shù)得一元二次方程韋達(dá)定理韋達(dá)定理弦長(zhǎng)公式弦長(zhǎng)公式7總結(jié)：總結(jié)：求弦長(zhǎng)的方法：求弦長(zhǎng)的方法：1兩點(diǎn)間距離公式：兩點(diǎn)間距離公式：221221yyxxl注：對(duì)于注：對(duì)于平行于坐標(biāo)軸平行于坐標(biāo)軸的直線與橢圓相交產(chǎn)的直線與橢圓相交產(chǎn)生的弦長(zhǎng)，由于交點(diǎn)坐標(biāo)非常好解，故用兩點(diǎn)間生的弦長(zhǎng)，由于交點(diǎn)坐標(biāo)非常好解，故用兩點(diǎn)間距離公式就可以求弦長(zhǎng)。距離公式就可以求弦長(zhǎng)。8exaPFexaPFbyax2122221右焦點(diǎn)焦半徑公式為：左焦點(diǎn)焦半徑公式為：來說，有對(duì)于橢圓2焦半徑公式：焦半徑公式：1212()()2()ABFAFB

6、aexaexae xx= =+ += =+ + + += =+ + +- - - -1212()()2()ABFAFBa exa exa e xx= =+ += =+ += =+ +過左焦點(diǎn)過左焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)：的弦長(zhǎng)：過右焦點(diǎn)過右焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)：的弦長(zhǎng)：注：應(yīng)用焦半徑公式求弦長(zhǎng)，是把弦長(zhǎng)看注：應(yīng)用焦半徑公式求弦長(zhǎng)，是把弦長(zhǎng)看作同一焦點(diǎn)的兩個(gè)焦半徑之和。使用焦半作同一焦點(diǎn)的兩個(gè)焦半徑之和。使用焦半徑公式時(shí)，注意徑公式時(shí)，注意左、右焦點(diǎn)的公式不同左、右焦點(diǎn)的公式不同。9注：此公式是由：直線斜率注：此公式是由：直線斜率 k、弦的端點(diǎn)橫坐標(biāo)、弦的端點(diǎn)橫坐標(biāo) x1 、x2 來求出弦長(zhǎng)的。故，在給出直線方程時(shí)（既

7、：已來求出弦長(zhǎng)的。故，在給出直線方程時(shí)（既：已知知 k），基本都使用這個(gè)公式。），基本都使用這個(gè)公式。3 弦長(zhǎng)公式：弦長(zhǎng)公式：212212221411xxxxkkxxl10例例3：已知點(diǎn)已知點(diǎn)12,F F分別是橢圓分別是橢圓2212+ += =xy的左、右的左、右焦點(diǎn)，過焦點(diǎn)，過2F作傾斜角為作傾斜角為4的直線，求的直線，求1D D ABF的面積的面積2F1FxyBA用三種方式用三種方式求解求解AB11求弦長(zhǎng)的操作程序求弦長(zhǎng)的操作程序找到或求出直線與橢圓方程找到或求出直線與橢圓方程平行于坐標(biāo)軸的直線平行于坐標(biāo)軸的直線兩點(diǎn)間距離公式兩點(diǎn)間距離公式不平行于坐標(biāo)軸，但不平行于坐標(biāo)軸，但過焦點(diǎn)的直線過焦點(diǎn)的直線 焦焦 半半 徑徑 公公 式式不平行于坐標(biāo)軸，也不平行于坐標(biāo)軸，也不過焦點(diǎn)的直線不過焦點(diǎn)的直線 弦弦 長(zhǎng)長(zhǎng) 公公 式式12思考練習(xí)：思考練習(xí)：已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，直線，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，直線1=+=+yx與該橢圓相交于與該橢圓相交于P和和Q兩點(diǎn)，且線段兩點(diǎn)，且線段 OPOQ102= =PQ,求橢圓的