導(dǎo)數(shù)知識點總結(jié)

1、導(dǎo)數(shù)知識要點1. 導(dǎo)數(shù)(導(dǎo)函數(shù)的簡稱)的定義：設(shè)X0是函數(shù)y=f(x)定義域的一點，如果自變量X在X0處有增量x，則函數(shù)值y也引起相應(yīng)的增量:y = f(X。*x) - f(X。);比值y(x°X)-f(X0)稱為函數(shù)y = f(x)在點X0到X。f之間的平均變化率；如果極LXLX限lim旦二lim f(X0旳f(X0)存在，則稱函數(shù)y =f(x)在點x。處可導(dǎo)，并把這個0 X . J。X極限叫做y =f(x)在x。處的導(dǎo)數(shù)，記作f'(x。)或y'lx尹，即f'(x、_ y . f (x。：x)-f(x。)f(X。)叭 Pm。- X .注：&是增量，我

2、們也稱為 改變量”因為&可正，可負(fù)，但不為零.已知函數(shù)y = f (x)定義域為A， y = f ' (x)的定義域為B，則A與B關(guān)系為A二B .2. 函數(shù)y=f(x)在點x0處連續(xù)與點x0處可導(dǎo)的關(guān)系：函數(shù)y=f(x)在點x。處連續(xù)是y二f(x)在點x。處可導(dǎo)的必要不充分條件.可以證明，如果y=f(x)在點X0處可導(dǎo)，那么y = f(x)點X0處連續(xù).事實上，令X =X。*X，則X； X。相當(dāng)于汶一；。.于是 lim f (x) = lim f (x° 亠；x) = lim f (x 亠x0) _ f (x0)亠 f (x0)X_of (x0 +&) -f

3、(乞)f (x0 +ix) 一 f (x0)'=lim 一一 x 亠 f (x0) = lim 一一 lim 亠 lim f (x0) = f (x0) 0 亠 f(x0) = f (x0).J0x. J0x. J0 . J0如果y=f(x )點xo處連續(xù)，那么y二f(x)在點x。處可導(dǎo)，是不成立的.例：f(x)=|x|在點X。=0處連續(xù)，但在點X。=0處不可導(dǎo)，因為 衛(wèi)二山1，當(dāng)厶x >0時，衛(wèi)=1 ；當(dāng)x V 0時，主=1，故lim y不存在.ixZAx注：可導(dǎo)的奇函數(shù)函數(shù)其導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù).可導(dǎo)的偶函數(shù)函數(shù)其導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)3. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)y = f (x)在點X0處

4、的導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是曲線y = f (x)在點(x°, f (x)處的切線的斜率，也就是說，曲線y"(x)在點P(x°,f(x)處的切線的斜率是f'(x°)，切線方程為 yy0 二 f (x)(xX0).4、幾種常見的函數(shù)導(dǎo)數(shù): c' =0 ( C為常數(shù))I(s ixn = c o x(ln x) =1xX 'X(e )= e(xn)'二 nxn，( n r)I(cosx) =sin x1(l Oagx)二 l o geX(ax) = ax ln a35. 求導(dǎo)數(shù)的四則運算法則：(u v) =u V = y “1(X) f

5、2(x) - . - fn(x)= y=f1 (x) f?(X) . fn (x)V'(uv)二 VU V U= (cv) =C V CV 二 CV ( C 為常數(shù))(v = 0)VU - V u2V注：u,v必須是可導(dǎo)函數(shù).若兩個函數(shù)可導(dǎo)，則它們和、差、積、商必可導(dǎo)；若兩個函數(shù)均不可導(dǎo)，則它 們的和、差、積、商不一定不可導(dǎo).例如：設(shè)f(x) =2sin x -， g(x)=cosx-2，則f (x), g(x)在x = 0處均不可導(dǎo)，但它們XX和 f (x) g (x) = sin X cosx 在 x = 0處均可導(dǎo).6.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則：fx ( ：(x) = f (u) &#

6、39; (x)或y x = y u u x復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可推廣到多個中間變量的情形.7. 函數(shù)單調(diào)性：函數(shù)單調(diào)性的判定方法：設(shè)函數(shù)y二f(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果f'(x) >0,則y二f(x)為增函數(shù)；如果f '(x) V 0,則y二f(x)為減函數(shù).常數(shù)的判定方法；如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I內(nèi)恒有f'(x)=0,則y=f(x)為常數(shù).注：f (x) '0是f (x)遞增的充分條件，但不是必要條件，如y =2x3在(-：, ；)上并不是都有f(x)A0，有一個點例外即x=0時f ( x) = 0,同樣f(x)Yo是f ( x) 遞減的充分非必要條

7、件.一般地，如果f(X)在某區(qū)間內(nèi)有限個點處為零，在其余各點均為正(或負(fù))， 那么f (X)在該區(qū)間上仍舊是單調(diào)增加(或單調(diào)減少)的.8. 極值的判別方法：(極值是在X。附近所有的點，都有f(x) V f(x。)，貝u f(x。)是 函數(shù)f (x)的極大值，極小值同理)當(dāng)函數(shù)f(x)在點X0處連續(xù)時， 如果在X0附近的左側(cè)f '(x) > 0，右側(cè)f'(x) V 0，那么f(x°)是極大值； 如果在X0附近的左側(cè)f '(X) V 0，右側(cè)f '(X) > 0，那么f(X0)是極小值.也就是說X0是極值點的充分條件是X0點兩側(cè)導(dǎo)數(shù)異號，而不是

8、f ' (X) =0.此外， 函數(shù)不可導(dǎo)的點也可能是函數(shù)的極值點 .當(dāng)然，極值是一個局部概念，極值點的 大小關(guān)系是不確定的，即有可能極大值比極小值小(函數(shù)在某一點附近的點不 同).注：若點X0是可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值點，則f '(X) =0.但反過來不一定成立.對 于可導(dǎo)函數(shù)，其一點X。是極值點的必要條件是若函數(shù)在該點可導(dǎo)，則導(dǎo)數(shù)值為零.例如：函數(shù)y=f(x)=x3， x =0使f '(x) =0，但x =0不是極值點.例如：函數(shù)y=f(x)=|x|，在點x=0處不可導(dǎo)，但點x=0是函數(shù)的極小值點.9. 極值與最值的區(qū)別：極值是在局部對函數(shù)值進行比較，最值是在整體區(qū)間上

9、 對函數(shù)值進行比較.注：函數(shù)的極值點一定有意義.#導(dǎo)數(shù)練習(xí)8、選擇題1.設(shè)函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo),其導(dǎo)函數(shù)f (x),且函數(shù)f(x)在x = _2處取得極小值,則函數(shù)y =xfX)的圖象可能是2.3.f IM設(shè)a>O,b>O,e是自然對數(shù)的底數(shù)A. 若 ea+2a=eb+3b,則 a>bB. 若 ea+2a=eb+3b,則 a<bC. 若 ea-2a=eb-3b,則 a>bD. 若 ea-2a=eb-3b,則 a<b2設(shè)函數(shù)f(x)= 一+1 nx貝Ux1A. x=2為f(x)的極大值點C. x=2為f(x)的極大值點( )1B. x= 為f(x)的極小值點

10、2D. x=2為f(x)的極小值點4.A.B.CD.7.已知函數(shù)f(x)二1ln( x 1) - x;則y二f (x)的圖像大致為8 .設(shè) a>0,b>0.A.若 2a 22b3b,則 a>bB.若 2a 2a=2b 3b ,則 a<bC.若 2a-2a =2b-3b,則 a>bD.若 2a-2a= 2b_3b ,則 a<b* 49.設(shè)函數(shù)f (x)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為f(X),且函數(shù)y = (1 -x) f (x)的圖像如題(8)圖所示,則下列結(jié)論中一定成立的是()”A.函數(shù)f (x)有極大值f(2)和極小值f (1)/'b.函數(shù)f(x)有極大值

11、f(-2)和極小值f(1)VyC. 函數(shù)f (x)有極大值f (2)和極小值f(-2)花、D. 函數(shù)f(x)有極大值f(-2)和極小值f(2)10 .設(shè)函數(shù)f(x)=xex,則A. x =1為f (x)的極大值點B . x =1為f (x)的極小值點C. x - -1為f (x)的極大值點D . x - -1為f (x)的極小值點11 .設(shè)a 0且a =1 ,則“函數(shù)f(x) =ax在R上是減函數(shù)”,是“函數(shù)g(x) =(2 a)x3在R上是增函數(shù)”的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件12已知函數(shù)y=x3-3x，c的圖像與x軸恰有兩個公共點,則c-()

12、A. 2 或 2B. -9 或 3C. -1 或 1D. -3 或 1二、填空題13. 曲線y=x(3lnx+1)在點(1,1)處的切線方程為 14. 曲線y =x3 -x+3在點(1,3 )處的切線方程為 .三、解答題15. 已知函數(shù)f(x)二ax3 bx c在x=2處取得極值為c-16(1) 求a、b的值;(2)若f (x)有極大值28,求f (x)在-3,3上的最大值.16. 已知 a R,函數(shù) f (x) =4x3-2ax a(1) 求f(x)的單調(diào)區(qū)間(2) 證明：當(dāng) OW x< 1 時,f(x)+2-a >0.17. 已知函數(shù) f(x)x3x設(shè)n為偶數(shù)，f(-1)蘭1,

13、 | f(1)蘭1,求b+3c的最小值和最大值;-ax-a(a 0)32 求函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間；(II) 若函數(shù)f (x)在區(qū)間(-2,0)內(nèi)恰有兩個零點，求a的取值范圍；(III) 當(dāng)a =1時，設(shè)函數(shù)f (x)在區(qū)間t,t 3上的最大值為 M (t),最小值為 m(t),記g(t)二M(t) -m(t),求函數(shù)g(t)在區(qū)間-3,-1上的最小值.18. 設(shè)函數(shù) fn(x)二 xn bx c (n N .,b, c R)(1) 設(shè)n 2,b=1, c = -1,證明：fn(x)在區(qū)間-,1內(nèi)存在唯一的零點；12丿1 設(shè)函數(shù)f (x) = , g(x) - -x1 2 bx .若y = f (x)的圖象與y = g(x)的圖象有且僅有兩 x個不同的公共點人(為,yj B(X2, y2),則下列判斷正確的是()A.xx20, %y20B.石x20, %y2： 0C.xx2: 0, y1y20D.X1x2: 0