一元二次方程求根公式

1、元二次方程求根公式Company number :II豈匹:WT88 Y W8BBGB-B W YTT 19998 主講：黃岡中學(xué)高級教師、一周知識概述1、一元二次方程的求根公式將一元二次方程ax：十bx十c二O(aHO)進行配方 當(dāng)甘- lac ：-(|時的根為-b± xlb2 - 4aGX =2a該式稱為一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法稱為求根 公式法，簡稱公式法說明：(1)一元二次方程的公式的推導(dǎo)過程，就是用配方法解一般形式的一元二次 方程 ax" + bx + c=0 (aO)；(2) 由求根公式可知，一元二次方程的根是由系數(shù)a、b、c的值決定

2、的；(3) 應(yīng)用求根公式可解任何一個有解的一元二次方程，但應(yīng)用時必須先將其化為一 般形式.2、一元二次方程的根的判別式-b± xjb2 - 4ac珂2 =(1) 當(dāng)b2 - 4ac > 0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根7玄 ；b2Q = 一 (2) 當(dāng)b：-4ac=O時，方程有兩個相等的實數(shù)根“；(3) 當(dāng)b2-4ac<0時，方程沒有實數(shù)根.二、重難點知識1、對于一元二次方程的各種解法是重點，難點是對各種方法的選擇，突破這一難點的 關(guān)鍵是在對四種方法都會使用的基礎(chǔ)上，熟悉各種方法的優(yōu)缺點。(1) “開平方法” 一般解形如“必"龍類型的題目，如果用“公式法”就顯得多

3、余的了。(2) “因式分解法”是一種常用的方法，一般是首先考慮的方法。(3) “配方法”是一種非常重要的方法，一般不使用，但若能恰當(dāng)?shù)厥褂?，往往能起到簡化作用，思考于“因式分解法”之后，“公式法”之前。如方程?_& =也91 ;用因式分解，則6391這個數(shù)太大，不易分解；用公式法，也太繁；若 配方，則方程化為(-3)2=6400,就易解，若一次項系數(shù)中有偶因數(shù)，一般也應(yīng)考慮 運用。(4) “公式法”是一般方法，只要明確了二次項系數(shù)、一次項系數(shù)及常數(shù)項，若方-b 土 $ - 4&C程有實根，就一定可以用求根公式求出根，但因為要代入茲(滬-4如$0)求值，所以對某些特殊方程，解法

4、又顯得復(fù)雜了。2、在運用b:-4ac的符號判斷方程的根的情況時，應(yīng)注意以下三點：(1) b: - 4ac是一元二次方程的判別式，即只有確認(rèn)方程為一元二次方程時，才 能確定a、b、c,求出b：-4ac ；(2) 在運用上述結(jié)論時，必須先將方程化為一般形式，以便確認(rèn)a、b、c ；(3) 根的判別式是指b:-4ae,而不是晶-仏.三、典型例題講解例1、解下列方程： 1? 10=0 .尸+ 2= 2屈；(x+l)(x-l) = 2&x分析：用求根公式法解一元二次方程的關(guān)鍵是找出紙b、c的值，再代入公式計算,解:因為圧1, *-4歷，c=10-(-4希)°的±2、廳羽士花所以

5、2艾1所以丙=2的+忑，勺=2擊_原方程可化為X - 2Q亠2 = 0因為 a二 1, b = -2忑,c=2所以可原方程可化為? - 2屈一 1 = 0因為 a二 1, b = -2逅,c= - 1所以Q 一4他=-20尸_4xlx(-l) = 12X =所以所以罰總結(jié)：(1) 用求根公式法解一元二次方程首先將方程化為一般形式；如果二次項系數(shù)為負(fù) 數(shù).通常將其化為正數(shù)；如果方程的系數(shù)含有分母，通常先將其化為整數(shù)，求出的根 要化為最簡形式；(2) 用求根公式法解方程按步驟進行.例2、用適當(dāng)方法解下列方程：-(j + 3) 求值，所以對某些方程，解法又顯得復(fù)雜了。如，可以直接開平 方，就能馬上得

6、出解；若此時還用求根公式就顯得繁瑣了。配方法是一種非常重要的方法，在解一元二次方程時，一般不使用，但并不是 一定不用，若能合理地使用，也能起到簡便的作用。若方程中的一次項系數(shù)有因數(shù)是 偶數(shù)，則可使用，計算量也不大。如，因為224比較大，分解時較繁，此題中一次項 系數(shù)是-2?？梢岳糜门浞椒▉斫猓?jīng)過配方之后得到 =2 x2 -2x= 224 5x2 - 2-1 = 0(3 7)2=2=9“ d - 2爲(wèi)x-1 = 0 X2 + 2(1+ 7?)+2-75 = 0(4+1Xx-1)=(3a-W-D分析:要合理地選用適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠?，就必須熟悉各種方法的優(yōu)缺點，處理 好特殊方法和一般方法的

7、關(guān)系。就直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法這四 種方法而言，配方法、公式法是一般方法，而開平方法、因式分解法是特殊方法。公式法是最一般的方法，只要明確了二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項，若方 程有實根，就一定可以用求根公式求出根，但因為要代入一元二次方程的求根公式 -b± Jb? - 4ac直接開平方法一般解符合Aax = c(a # 0)型的方程，如第小題。因式分解法是一種常用的方法，它的特點是解法簡單，故它是解題中首先考慮 的方法，若一元二次方程的一般式的左邊不能分解為整數(shù)系數(shù)因式或系數(shù)較大難以分 解時，應(yīng)考慮變換方法。1 o_(x + 3)2 = 2解：2兩邊開平方，得兀+

8、 3 = ±2所以 ® = T=-5- 2x = 224配方得 -2 + 1 = 224+1所以 A"1 = ±15所以xl = 16- 2爲(wèi)x -1 = 0配方得（=1+（所以x 5x2 - 2x- 1 = 0因為b = -2所以八仏*2)2-4x(-1)X5=4 十 20=242±2后 1士應(yīng)y 所以 2x551 +來所以5，-，X2 + 2(1 + 73)23 = 0配方：X + 2(1 + 爲(wèi)鼻 + (1 + 73)2 =-24 + (1 + 何所陽+(1 +厲)=±2所以可=1-語乜=-3-語 （M+宀9整理，得So 所以1

9、 （4卄 1）（兀-1）二（3兀-1）仗-1）移項，提公因式，得（DE十D®-1）二0所以A1 = t J2 = _2小結(jié):以上各題請同學(xué)們用其他方法做一做，再比較各種方法的優(yōu)缺點，體會如何選用合適的方法，下面給出常規(guī)思考方法，僅作參考。例3、已知關(guān)于x的方程ax: - 3x + 1=0有實根，求a的取值范圍.1x = 7 =解：當(dāng)尸0時，原方程有實根為3(-2一也0即2時，若aHO時，當(dāng)°原方程有兩個實根.-故、綜上所述&的取值范圍是4小結(jié):此題要分方程ax: - 3x + 1二0為一元一次方程和一元二次方程時討論，即分當(dāng)a二0與aHO兩種情況.例4、已知一元二次

10、方程x:-4x + k二0有兩個不相等的實數(shù)根.(1) 求k的取值范圍；(2) 如果k是符合條件的最大整數(shù).且一元二次方程x:-4x + k二0與X + mx - 1二0有 一個相同的根，求此時m的值.解：(1)因為方程- 4x + k二0有兩個不相等的實數(shù)根，所以 bs-4ac=16-4k>0,得 k<4.(2)滿足k4的最大整數(shù)，即23.此時方程為x:-4x + 3=0,解得x：二1, x;=3. 當(dāng)相同的根為x=l時，則1 + 111-1=0,得m=0；8血=. 當(dāng)相同的根為x=3時，則9 +3m-1=0,得 3_8所以m的值為0或亍例5、設(shè)m為自然數(shù)且3<m<40,方程只一 2帥-3> +4” -14酬+ 8二0有兩個整 數(shù)根求m的值及方程的根。.x2 - 2(2m-珈+4滬-14翻+8 = 0IvT 方程有整數(shù)根，.4 (2m+1)是完全平方數(shù)。V 3<m<407<2m+l812m十1值可以為9, 25, 49m的值可以為4, 12, 24o當(dāng)m二4時方程