九年級數(shù)學(xué)下冊專題突破講練二次函數(shù)在幾何圖形中的應(yīng)用試題(新版)青島版

1、二次函數(shù)在幾何圖形中的應(yīng)用二次函數(shù)在幾何圖形中的應(yīng)用1.可用二次函數(shù)解決的幾何問題特點：與面積相關(guān)。2.可用二次函數(shù)解決的幾何問題類型：三角形、四邊形、圓等。3.建立二次函數(shù)模型的依據(jù)：三角形、四邊形、圓的面積公式。方法歸納(1) 在圓的問題中，設(shè)半徑或直徑為自變量，則圓面積是半徑或直徑的二次函數(shù)。(2) 在矩形中，設(shè)一邊為自變量，另一邊用自變量表示，則其面積是這一邊長的二次函數(shù)。(3) 在三角形或一般四邊形中，通常設(shè)一邊為自變量，用自變量表示這條邊上的高，則其面積 是這一邊長的二次函數(shù)?？偨Y(jié)：1.能夠根據(jù)幾何圖形的特點建立二次函數(shù)模型。2.會利用二次函數(shù)解決與幾何圖形相關(guān)的實際應(yīng)用問題。例題

2、 1 如圖所示，有一塊直角三角形的鐵板，要在其內(nèi)部作一個長方形分別在兩直角邊上，設(shè) AB=xm長方形的面積為y m,要使長方形的面積最大解析：根據(jù)長方形的面積=大三角形的面積一兩個小三角形的面積確定x與y之間的函數(shù)關(guān)系式，求出函數(shù)值y最大時自變量x的取值即可。1y1y122122答案：根據(jù)題意得：y=30- (5x)x-yx(12-)，整理得y= ：x+12x=匚x-2x2x55525125125x+( 52-R 一 15-(x2)2+15Tvo長方形面積有最大值，當長方形面積最大時,邊長x應(yīng)為|m故選D【重點難點扃錯直點點精謹】ABCD 其中 AB 和 BC,其邊長x應(yīng)為(A. 4mB. 3

3、mC. 2mD.5m2點撥：求二次函數(shù)的最大(小)值有三種方法，第一種可由圖象直接得出，第二種是配方法，第三種是公式法，常用的是后兩種方法，當二次項系數(shù)a的絕對值是較小的整數(shù)時，用配方法較好,如y=x2 2x+ 5,y= 3x2 6x+ 1 等用配方法求解比較簡單。例題 2 某建筑物的窗戶如圖所示，它的上半部是半圓，下半部是矩形，制造窗框的材料總長(圖中所有黑線的長度和)為15m當半圓的半徑等于多少時，窗戶通過的光線最多？(結(jié)果精確到 0.01m此時，窗戶的面積是多少？(精確到0.01吊吊)解析：先將圖形分割成半圓和矩形，分別表示各部分的面積，建立函數(shù)關(guān)系式，再利用二次 函數(shù)的性質(zhì)求最值。本題

4、的突破口是找出圓的半徑與小矩形豎直邊長之間的關(guān)系。答案：設(shè)半圓的半徑為r m小矩形的豎直邊長為y m大矩形水平邊長為 2rm15 - 7 r - r則 4y+ 7r+nr= 15,.y=41115 _ 7 r_p r設(shè)窗戶的面積為 S,則 s=nr2+ 2ry=-nr2+ 2rx= 3.5r2+ 7.5r,224因為一 3.5v0，所以 S 有最大值。2t7.5丄(7.5 )2當r= 2x(3 5)心1.07(m時，s最大值=4x(3 5)心402(m)。即當半徑約為 1.07m時，窗戶通過的光線最多，此時窗戶的面積約為4.02吊吊。點撥：二次函數(shù)與幾何圖形相結(jié)合時，往往題目并未明確表示二次函

5、數(shù)的關(guān)系式，二次函數(shù)的 關(guān)系式可能隱藏在幾何圖形中，這時我們需要根據(jù)題中所給的信息設(shè)出自變量和函數(shù)，推導(dǎo)出函數(shù) 關(guān)系式，再求出相應(yīng)最值。建立三角形或四邊形的面積與邊長之間的二次函數(shù)關(guān)系時，關(guān)鍵是找出三角形或四邊形的高, 用面積公式建立二次函數(shù)關(guān)系，當所給幾何圖形的邊長與高之間的關(guān)系不明顯時，常常把幾何圖形分割成三角形或四邊形，或利用等積式將問題轉(zhuǎn)化，【拓展總結(jié)+提升讀】3滿分訓(xùn)練 某水渠的橫截面呈拋物線形，水面的寬度為AB (單位：米)，現(xiàn)以 AB 所在直線為x軸，以拋物線的對稱軸為y軸建立如圖所示的平面直角坐標系，設(shè)坐標原點為Q 已知 AB= 8 米,4設(shè)拋物線解析式為y=ax2 4。(1)

6、 求a的值；(2) 點 C ( 1 ,m是拋物線上一點，點 C 關(guān)于原點 0 的對稱點為點 D,連接 CD BC, BD 求厶 BCD 的面積。解：(1)TAB= 8，由拋物線的性質(zhì)可知 0B= 4,二 B ( 4, 0),把 B 點坐標代入解析式得：16a14= 0,解得：a=：;41121(2)過點 C 作 CE!AB 于 E,過點 D 作 DF 丄 AB 于 F,Ta=-,Ay=-x4,令x=1 ,二 m=-444分析：本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握用待定系數(shù)法函數(shù)解析式。解答這類問題時注意充分利用 圖象中的某些特殊點，如頂點、拋物線與x軸的交點等。理解線段的長度與點

7、的坐標之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵。、選擇題x(x 0),面積為y,則y與x的函數(shù)關(guān)系式是(2X(1)4=1515，二C ( 1， 4)，C關(guān)于原點的對稱點為DAD的坐標為(1,普),則15CE= DF=41SABCDSABODISABOC21115115DFI?OBCE=-X+ 2X4X 15 ,AA BCD 的面積為15 平方米。1.設(shè)等邊三角形的邊長為52.長方形的周長為 24cm其中一邊為x(其中x0),面積為ycn，則這樣的長方形中y與x的關(guān)系可以寫為()2 2A.y=xB.y=( 12-x)C.y=( 12-x)?xD.y= 2 (12-x)3.如圖，在平面直角坐標系中，點A 是拋物線y=

8、a(x- 3)2+k與y軸的交點，點 B 是這條拋物線上的另一點，且 AB/x軸，則以 AB 為邊的等邊三角形 ABC 的周長為( )A.9B.12C.18D. 2027-27 的圖象與X軸所圍成的封閉圖形染成紅色，則在此紅色區(qū)域內(nèi)部及其邊界上的整點的個數(shù)是B.y=卜22將二次函數(shù)y= x+ 6xA. 5B. 6C. 7D. 8*5.如圖，在AB=a, BC=b,b3 0),A長方形的另一邊長為12x,Ay=( 12-x)?X.故選 Co3. C 解析：由題意可知拋物線的對稱軸為x= 3,所以 AB= 6，所以等邊三角形 ABC 的周長為 18。亠 一39275*4. C 解析：拋物線與x軸兩

9、交點坐標分別為(， 0)、(2， 0)，當x= 2 時y= 4 + 124=才9所以紅色區(qū)域內(nèi)在直線x= 2 上的整點有(2, 0)和(2, 1);當x= 3 時y=,且拋物線的對稱軸4是x= 3，所以紅色區(qū)域內(nèi)在直線x= 3 上的整點有(3, 0 )、( 3, 1)、( 3, 2);由拋物線的對稱性可 知在紅色區(qū)域內(nèi)直線x=4 上的整點有兩個。所以滿足題意的整點共 7 個。本題可用數(shù)形結(jié)合法，畫出圖象，結(jié)果一目了然。*5. B 解析：設(shè) AE= AH CF= CG=x,貝UBE= DG=ax, BF= DHkbx，設(shè)四邊形 EFGH 的面積 為y,依題意，得y=abx2(ax)(bx),即卩

10、y=2x2+(a+b)x,v2v0，拋物線開20(a+b)12口向下，函數(shù)有最大值為=- (a+b)。故選 Bo4X( 2)8*6. B 解析：設(shè)矩形的長為x m半圓的半徑是r m中間的矩形區(qū)域面積是 Sm,根據(jù)題意知 2x+2nr= 400o所以 S= 2rx=r(400 2nr)= 2nr+ 400r，即 S 是r的二次函數(shù)，其圖象開口向下，當r= 400=100時，S 取得最大值。此時x=4002n= 100 (m，所以，應(yīng)2X(2n ) n2200設(shè)計矩形的長為 100m,寬約為 2r= 63.7m時，矩形面積最大，故選 B。n7.y=nx2+ 16n解析：半徑為 4 的圓的面積是 16n，半徑為x的圓的面積是nx2,所以函 數(shù)解析式為y=nx2+ 16n o12-8.y= ( 20 2t)解析：由題意可知重疊部分為等腰直角三角形，且AW 20 2t，所以重疊12部分的面積y= 2 (20 2t)2o9. 16cm解析：根據(jù)題意，點 P 沿 AB 方向以 2cms的速度向點 B 運動；同時點 Q 從點 A 出發(fā)，2沿 AC 方向以 1cmfs