蘇科2011課標(biāo)版初中數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)第一章一元二次方程1一元二次方程教案

1、蘇科 2011 課標(biāo)版初中數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)第一章一元二次方程1.1 一元二次方程教案1 / 6“一元二次方程（第1課時(shí)）”教學(xué)設(shè)計(jì)及反思1教學(xué)內(nèi)容與學(xué)情本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容是蘇科版義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)第一章第1 節(jié)“一元二次方程（第 1 課時(shí)）”.在七、八年級(jí)先后學(xué)習(xí)了一元一次方程、二元一次方程組、一元一次不等式（組）和分式方程，學(xué)生對(duì)“元”、“次”、“方程”、“解（根）”、“解方程”等概念已比較清晰，并且知 道方程是刻畫現(xiàn)實(shí)生活中數(shù)量關(guān)系的有效模型；一元二次方程是揭示現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的又一個(gè)重要的數(shù)學(xué)模型，它既是方程本身內(nèi)容進(jìn)一步豐實(shí)的需要，也是后續(xù)學(xué)習(xí)二次函數(shù)以及 高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).2教學(xué)

2、目標(biāo)（1）了解一元二次方程的概念，理解一元二次方程的解和解一元二次方程的意義；（2）能根據(jù)已知的一元二次方程編寫相應(yīng)的生活情境， 也能根據(jù)實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān) 系列方程，從中感受一元二次方程是揭示現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的一個(gè)有效的數(shù)學(xué)模型；（3）經(jīng)歷一元二次方程概念的生成與邏輯建構(gòu)過程，體會(huì)由特殊到一般、分類和化歸 等數(shù)學(xué)思想方法，感受概念學(xué)習(xí)的基本方式，逐步形成數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)體系.3教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)：了解一元二次方程的概念，感受一元二次方程是揭示現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的一個(gè)重 要的數(shù)學(xué)模型；難點(diǎn)：經(jīng)歷具體現(xiàn)實(shí)原型與抽象數(shù)學(xué)模型之間的數(shù)學(xué)化過程，用一元二次方程描述簡單 問題中數(shù)量之間的相等關(guān)系.4教學(xué)過程設(shè)計(jì)4

3、. 1 概念形成（是什么？）概念形成一般經(jīng)歷 4 個(gè)階段：“感知認(rèn)識(shí)階段”、“分化本質(zhì)屬性階段”、“概括形成定義 階段”和“應(yīng)用與強(qiáng)化階段”.4.1 . 1 感知認(rèn)識(shí)本節(jié)課我們開始學(xué)習(xí)“一元二次方程”，你能寫出 1 個(gè)一元二次方程嗎？你能再寫出類型不同的一元二次方程嗎？【有效性分析】學(xué)生對(duì)“元”、“次”、“方程”的概念已比較清晰，類比地寫出幾個(gè)一元 二次方程，讓學(xué)生形成直觀感受；概念抽象需要典型實(shí)例，通過“類型不同”引發(fā)學(xué)生深度 參與，逐步向數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)屬性逼近4.1 . 2 分化本質(zhì)下列方程是不是一元二次方程？為什么？1y2=- 3；21蘇科 2011 課標(biāo)版初中數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)第一章一元二

4、次方程1.1 一元二次方程教案2 / 62X2+-+2=0;23x （ x 1） =x ；4ax2+3x+1=0.【有效性分析】利用正例和反例變換非本質(zhì)屬性特征，抽象共性特征，概括本質(zhì)特征.“大眾化”的方程沒有爭議，以無實(shí)根型、分式方程、化簡后不含x2型以及二次項(xiàng)系數(shù)不確定型等有“個(gè)性”的方程引發(fā)認(rèn)知沖突， 從而促成一種共同的認(rèn)知欲望： 必須明確“一元二次方 程”的定義，這既是一個(gè)思維實(shí)質(zhì)性參與過程，又是一個(gè)孕育概念生長點(diǎn)的過程.4.1 . 3 概括定義問題 1:你認(rèn)為什么叫做一元二次方程？文字定義：只含有 1 個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是 2 的方程叫做一元二次方程. 符號(hào)定義：形如 a

5、x2+bx+c=0 （a、b、c 是常數(shù)，a* 0）的方程叫做一元二次方程.我們把 ax2+bx+c=0 （a、b、c 是常數(shù)，a*0）叫做一元二次方程的一般形式，其中ax2叫做二次項(xiàng)、bx 叫做一次項(xiàng)、c 叫做常數(shù)項(xiàng)，a、b 分別叫做二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù).思考：如何理解“未知數(shù)的最高次數(shù)是2”這個(gè)條件？在一般形式中，如果b=0 或c=0,那么一元二次方程具有怎樣的形式？【有效性分析】有以前學(xué)習(xí)方程的經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)識(shí)基礎(chǔ)，學(xué)生具備由具體思維向形式化思維 轉(zhuǎn)變、歸納一元二次方程定義的能力.數(shù)學(xué)思想方法孕育于知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過程中，思考的 兩個(gè)問題是等價(jià)的，凸出了概念的內(nèi)涵和外延，一方面認(rèn)識(shí)到一元二次方

6、程形式的多樣性， 另一方面也加深了對(duì)概念本質(zhì)的理解.4. 1 . 4 應(yīng)用強(qiáng)化例 1 已知關(guān)于 x 的方程（mi 4） x2+ （ 2） x m+2=Q當(dāng) m_時(shí)該方程為一元二次方程；若該方程為一元一次方程，則m=_ .【有效性分析】引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成從基本概念出發(fā)思考問題、解決問題的習(xí)慣，突出一元二 次方程基本概念所蘊(yùn)含的思想方法，在感受數(shù)學(xué)分類的必要性的同時(shí)，訓(xùn)練思維的縝密性.4. 2 建構(gòu)活動(dòng)（學(xué)什么？）問題 2 （先留空）：你認(rèn)為，這個(gè)問題應(yīng)該是什么？或者說，此刻我們應(yīng)該提出什么問題？【有效性分析】學(xué)生主動(dòng)提出問題也是需要引導(dǎo)的.這個(gè)留空問題的出現(xiàn)，激發(fā)學(xué)生思 考，我們已經(jīng)知道了一元二次方程

7、的定義（從哪里來），接下來當(dāng)然應(yīng)該研究一元二次方程的其它內(nèi)容（到哪里去），這是認(rèn)知的自然趨勢(shì)；學(xué)生應(yīng)該有這種自主建構(gòu)學(xué)習(xí)內(nèi)容體系的 學(xué)習(xí)傾向和主動(dòng)提出問題的意識(shí)，這種把主動(dòng)權(quán)還給學(xué)生的做法有益于促進(jìn)學(xué)習(xí)方式的改 變.通過回憶與重構(gòu)，“我們應(yīng)該如何學(xué)習(xí)一元二次方程？ ”或者“接下來我們應(yīng)該學(xué)習(xí)一 元二次方程的哪些內(nèi)容？”這類問題呼之欲出，“1.定義；2.解；3.解方程；4.列方程解決問題.”的認(rèn)知框架水到渠成.為了強(qiáng)化主動(dòng)提出問題的意識(shí)，積累提出問題的經(jīng)驗(yàn)，教師可以追問：“你是怎么想到蘇科 2011 課標(biāo)版初中數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)第一章一元二次方程1.1 一元二次方程教案3 / 6這樣提出問題的？”

8、“提這樣的問題合理嗎？”4. 3 數(shù)學(xué)探索（怎么學(xué)？）4. 3. 1 自主探索結(jié)合我們自己寫出來的方程，同學(xué)們先獨(dú)立思考：剛才我們所提出的幾個(gè)問題中，哪些 你能解決？哪些你可以嘗試解決？【有效性分析】一元二次方程的形式多樣、系數(shù)復(fù)雜，導(dǎo)致解方程的方法多樣性與復(fù)雜 性共存，這些需要學(xué)生自主認(rèn)識(shí)與感受；這里不在于是否解決了問題，而在于思維的層次與 實(shí)質(zhì)一一發(fā)現(xiàn)了懸而未決的問題，這既是突出核心概念的過程，也是突破難點(diǎn)的過程.4. 3. 2 合作交流一元二次方程的解的意義各組代表陳述（可以結(jié)合已寫出的方程，也可以重新寫），突出下列幾個(gè)問題：1什么叫“一元二次方程的解”？2如何驗(yàn)證一個(gè)值是否為一元二次方

9、程的解？你發(fā)現(xiàn)一元二次方程的解與我們以前學(xué) 過的方程的解有何異同？解一元二次方程的感受如何確定（或找到）一元二次方程解？學(xué)生對(duì)照自己寫出的方程說明.例如對(duì)9x2=4 型的可以通過開平方，對(duì)（x 1） （x+2） =0 或 x2 5x=0 型的可以通過因式分解，而 x2= 5 型 的沒有實(shí)數(shù)根；當(dāng)然，像 2x2 5x=1 等型的方程目前尚難解決，這正是我們本章要學(xué)習(xí)的內(nèi) 容，后面將有非常巧妙的解法等待著我們！反過來，如果已知解，你能編寫出一元二次方程嗎？能編出不同的一元二次方程嗎？1你能寫出一個(gè)以 1 和一 2 為根的一元二次方程嗎？許多學(xué)生會(huì)寫出（x 1） （x+2） =0 型的方程，老師可以

10、用“你是怎么想到這樣編寫的？” 初步形成編寫的經(jīng)驗(yàn).2你能寫出一個(gè)只以 3 為根的一元二次方程嗎？3你能寫出一個(gè)沒有實(shí)數(shù)根的一元二次方程嗎？4你能寫出一個(gè)有 3 個(gè)實(shí)數(shù)根的一元二次方程嗎？【有效性分析】學(xué)生經(jīng)歷編寫過程（逆向思維），或許可以打開解方程（找方程的解） 的渠道，讓數(shù)學(xué)活動(dòng)由方程的“解”向“解方程”自然過渡；在嘗試解方程的過程中感受化 歸求簡的思想方法.列一元二次方程解決問題的嘗試在我們所寫的一元二次方程中選擇1 個(gè)你喜歡的方程，舉 1 個(gè)相應(yīng)的生活問題，使得該方程可以描述其中數(shù)量之間的相等關(guān)系（能解決其中的問題）學(xué)生可能會(huì)選擇下列方程編寫生活問題： （ x 1）2=2，利用正方形面

11、積來編；已知一個(gè)正方形的邊長減小1,得到的新正方形蘇科 2011 課標(biāo)版初中數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)第一章一元二次方程1.1 一元二次方程教案4 / 6的面積為 2，那么這個(gè)一元二次方程就可以描述原正方形的邊長與新正方形面積之間的數(shù)量 關(guān)系；2x（x+1）= 6，禾 U 用長方形面積來編；已知長方形的長比寬多1cm,面積為 6cm2，如果設(shè)寬為 xcm,那么這個(gè)一元二次方程就可以描述長方形的寬與面積之間的數(shù)量關(guān)系.3x2+ （x- 1）2=25,利用勾股定理來編；已知一個(gè)直角三角形兩條直角邊的差為1cm,斜邊長為 5cm,那么這個(gè)一元二次方程就可以描述直角邊的長與斜邊長之間的數(shù)量關(guān)系.教學(xué)時(shí)，還可以補(bǔ)充

12、一些典型問題，例如：例 2 某種品牌電腦連續(xù)兩次降價(jià)（降價(jià)率相同），單價(jià)由原來的 6400 元降到 4900 元,求每次降價(jià)率.249獨(dú)立作答，然后由 1 名同學(xué)講述設(shè)每次降價(jià)率為乂，則（1 x）2虧，這是一元二次方程，同學(xué)們可以嘗試去解它.【有效性分析】這些問題源于生活，回歸教材；例2 通過一個(gè)相對(duì)完整的解決問題的過程，體現(xiàn)一元二次方程的實(shí)用價(jià)值，領(lǐng)悟到“為什么要學(xué)？”4. 4 教學(xué)小結(jié)問題 3:經(jīng)歷了一元二次方程的“第1 節(jié)課”，我們獲得了哪些學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)？【有效性分析】反思自己的學(xué)習(xí)過程， 積累學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，用經(jīng)驗(yàn)理解數(shù)學(xué)， 在理解中學(xué)會(huì)， 在學(xué)會(huì)中會(huì)學(xué).經(jīng)驗(yàn)提升：學(xué)習(xí)一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象，我們往往先對(duì)

13、它有一個(gè)結(jié)構(gòu)性的認(rèn)識(shí)，以下列方式展開，逐步揭示它的本質(zhì).4.5 目標(biāo)檢測(cè)（5 分鐘訓(xùn)練）見目標(biāo)檢測(cè).5教學(xué)設(shè)計(jì)說明與教后反思5.1 “第 1 節(jié)課”的任務(wù)作為本章“第 1 節(jié)課”，這節(jié)課的教學(xué)性質(zhì)是以問題趨動(dòng)的概念教學(xué)課，不是章頭導(dǎo)學(xué) 課，更不是單元教學(xué)課.“第 1 節(jié)課”的任務(wù)主要有三點(diǎn)：（1）胸中有“森林”，就是感知本章（或單元）的邏輯結(jié)構(gòu)和學(xué)習(xí)藍(lán)圖，讓學(xué)習(xí)始終保 持在“抬頭看路”的宏觀狀態(tài)；（2）眼前有“樹木”，就是了解一些自然生成的數(shù)學(xué)對(duì)象和基本概念；（3）腦海有“套路”，就是經(jīng)歷本章（或單元）框架的生成與構(gòu)建過程，整體把握知識(shí) 間的邏輯關(guān)系，體會(huì)概念學(xué)習(xí)的基本套路.5.2 問題情境的

14、價(jià)值蘇科 2011 課標(biāo)版初中數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)第一章一元二次方程1.1 一元二次方程教案5 / 6問題情境的價(jià)值不外乎為教學(xué)活動(dòng)提供三個(gè)方面的服務(wù)：獲得研究的對(duì)象、提出研究的問題、找到研究的方法數(shù)學(xué)對(duì)象有時(shí)是內(nèi)隱的，人們對(duì)它的認(rèn)識(shí)需要由具象（生活原型） 到表象（過渡雛形），再到抽象（數(shù)學(xué)模型）；數(shù)學(xué)對(duì)象不一定來自生活原型，有時(shí)來自學(xué)生 實(shí)際，來自學(xué)生的經(jīng)驗(yàn).下面回答兩個(gè)疑問： 本節(jié)課的問題情境是什么？一元一次方程、二元一次方程組、分式方程的學(xué)習(xí)都體現(xiàn)了“從問題到方程”的認(rèn)識(shí)觀,本節(jié)課跳過生活實(shí)例（預(yù)設(shè)的“相關(guān)”情境），直入課題，對(duì)“元”、“次”、“方程”、“解（根）”“解方程”等概念進(jìn)行回憶與遷

15、移，在列舉和辨別一元二次方程的過程中形成認(rèn)知沖突，一 元二次方程的定義成為迫切的需要.數(shù)學(xué)概念來源于兩方面：一是對(duì)生活問題的直接抽象；二是在已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)上的邏輯建構(gòu).本節(jié)課的問題情境就是學(xué)生已有的知識(shí)與認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，以及在自主建構(gòu)中所形成的認(rèn)知 沖突.這種情境迎合學(xué)生的學(xué)習(xí)內(nèi)趨，更能體現(xiàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì)，更能將注意力集結(jié)到主題上 來.一個(gè)徒具形式的“把學(xué)生塞進(jìn)汽車”的情境并不比開門見山值得肯定.對(duì)一元二次方程認(rèn)知的抽象邏輯建構(gòu)以及從問題情境出發(fā)突出方程模型思想的功能，哪個(gè)更有價(jià)值？對(duì)一個(gè)新的數(shù)學(xué)對(duì)象，我們一般經(jīng)歷從表面到本質(zhì)、從抽象到具體、從孤立到系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)過程.教學(xué)活動(dòng)要特別關(guān)注知識(shí)的“生長點(diǎn)”和“

16、歸結(jié)點(diǎn)”，學(xué)生以往學(xué)習(xí)方程的經(jīng)驗(yàn)有利于一元二次方程新認(rèn)知的同化，但一元二次方程對(duì)方程的認(rèn)知既有量的增加，又有質(zhì)的變 化，學(xué)生會(huì)產(chǎn)生新的疑問：為什么一元二次方程有多種解法？為什么要研究一元二次方程根 的判別式？等等，這些新的疑問促使學(xué)生對(duì)原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)進(jìn)行改造（新認(rèn)知的順應(yīng)）.讓學(xué)生在自主建構(gòu)過程中挖掘數(shù)學(xué)概念蘊(yùn)含的價(jià)值觀資源，提高解讀概念所反映的數(shù)學(xué)思想方法的能力，這是數(shù)學(xué)教育的價(jià)值所在.毋庸置疑，用方程刻畫問題成為學(xué)生的一種自覺的需要（方程模型思想），是方程教學(xué)的核心價(jià)值.為了力圖實(shí)現(xiàn)這一價(jià)值，本節(jié)課設(shè)計(jì)了兩個(gè)不同思維層次的“編寫”，先是編寫方程，但學(xué)生所編寫的方程未必從生活問題中來，不乏x2

17、+x=0 這些“裸方程”，后是根據(jù)方程編寫問題情境，這時(shí)學(xué)生必須回到生活問題中去，通過逆抽象體會(huì)問題情境的價(jià)值.5.3 堅(jiān)持為理解而教（1）理解數(shù)學(xué)發(fā)展的規(guī)律. 數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想的起源與發(fā)展都是自然的，一是知識(shí)的邏輯順序自然，二是學(xué)生的心理認(rèn)知自然.數(shù)學(xué)概念教學(xué)要讓學(xué)生了解概念的背 景和引入它的理由，知道它在建立、發(fā)展理論或解決問題中的作用，甚至要讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué) 家們發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的心路歷程，這一歷程閃耀著人類智慧的光芒，它對(duì)人類的貢獻(xiàn)不僅僅在 于數(shù)學(xué)結(jié)論，更重要的是孕育了一種精神品質(zhì)和這種精神品質(zhì)的教育功能.（2） 理解數(shù)學(xué)思維的方式. 數(shù)學(xué)教學(xué)是對(duì)特定數(shù)學(xué)對(duì)象形成序列概念性認(rèn)識(shí)的思維活動(dòng)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是數(shù)學(xué)思維方式的學(xué)習(xí).數(shù)學(xué)思維方式孕育于知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過程中，在教學(xué) 活動(dòng)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)角度看問題，善于主動(dòng)提出問題