高考直線與圓的方程綜合題典型題

1、直線與圓的方程綜合題、典型題、高考題主講：曹老師 2012年4月301、已知，直線：和圓：（1）求直線斜率的取值范圍；（2）直線能否將圓分割成弧長的比值為的兩段圓??？為什么？解析：（1）直線的方程可化為，直線的斜率，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立所以，斜率的取值范圍是 （2）不能由（1）知的方程為，其中圓的圓心為，半徑圓心到直線的距離 由，得，即從而，若與圓相交，則圓截直線所得的弦所對(duì)的圓心角小于所以不能將圓分割成弧長的比值為的兩段弧2、已知圓C：，是否存在斜率為1的直線l，使l被圓C截得的弦AB為直徑的圓過原點(diǎn)，若存在求出直線l的方程，若不存在說明理由。解析：圓C化成標(biāo)準(zhǔn)方程為假設(shè)存在以AB

2、為直徑的圓M，圓心M的坐標(biāo)為（a，b）由于CMl，kCMkl= 1 kCM=，即a+b+1=0，得b= a1 直線l的方程為yb=xa，即xy+ba=0CM=以AB為直徑的圓M過原點(diǎn)，把代入得，當(dāng)此時(shí)直線l的方程為xy4=0；當(dāng)此時(shí)直線l的方程為xy+1=0故這樣的直線l是存在的，方程為xy4=0 或xy+1=0評(píng)析：此題用,聯(lián)立方程組，根與系數(shù)關(guān)系代入得到關(guān)于b的方程比較簡單3、已知點(diǎn)A(2，1)和B(2，3)，圓C：x2y2 = m2，當(dāng)圓C與線段AB沒有公共點(diǎn)時(shí)，求m的取值范圍. 解：過點(diǎn)A、B的直線方程為在l：xy1 = 0, 作OP垂直AB于點(diǎn)P，連結(jié)OB.由圖象得：|m|OP或|m

3、|OB時(shí)，線段AB與圓x2y2 = m2無交點(diǎn). （I）當(dāng)|m|OP時(shí)，由點(diǎn)到直線的距離公式得：，即. （II）當(dāng)OB時(shí), ,即. 當(dāng)和時(shí)，圓x2y2 = m2與線段AB無交點(diǎn).4、已知?jiǎng)訄A與軸相切，且過點(diǎn).求動(dòng)圓圓心的軌跡方程；設(shè)、為曲線上兩點(diǎn)，求點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍.解： 設(shè)為軌跡上任一點(diǎn)，則 （4分） 化簡得： 為求。 （6分）設(shè)， （8分） 或 為求 （12分）5、將圓按向量平移得到圓，直線與圓相交于、兩點(diǎn)，若在圓上存在點(diǎn)，使求直線的方程.解：由已知圓的方程為，按平移得到.即.又，且，. 設(shè)， 的中點(diǎn)為D.由，則，又.到的距離等于.即，.直線的方程為：或.6、已知平面直角坐標(biāo)系中O是坐標(biāo)

4、原點(diǎn)，圓是的外接圓，過點(diǎn)（2，6）的直線被圓所截得的弦長為（1）求圓的方程及直線的方程；（2）設(shè)圓的方程，過圓上任意一點(diǎn) 作圓的兩條切線，切點(diǎn)為，求的最大值.解：因?yàn)?，所以為以為斜邊的直角三角形，所以圓：（2）1）斜率不存在時(shí)，：被圓截得弦長為，所以：適合 2）斜率存在時(shí)，設(shè)： 即因?yàn)楸粓A截得弦長為，所以圓心到直線距離為2所以綜上，：或（3）設(shè)，則在中，由圓的幾何性質(zhì)得， 所以，由此可得 則的最大值為.7、已知圓，直線過定點(diǎn)。（1）若與圓相切，求的方程；（2）若與圓相交于丙點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，又與的交點(diǎn)為，判斷是否為定值，若是，則求出定值；若不是，請(qǐng)說明理由。解：（1）若直線的斜率不存在，即直線

5、是，符合題意。 2分若直線斜率存在，設(shè)直線為，即。由題意知，圓心以已知直線的距離等于半徑2，即：，解之得5分所求直線方程是，6分（2）解法一：直線與圓相交，斜率必定存在，且不為0，可設(shè)直線方程為由得8分又直線與垂直，由得11分13分為定值。 故是定值，且為6。 15分8、已知過點(diǎn),且與:關(guān)于直線對(duì)稱.()求的方程；()設(shè)為上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求的最小值；()過點(diǎn)作兩條相異直線分別與相交于,且直線和直線的傾斜角互補(bǔ),為坐標(biāo)原點(diǎn),試判斷直線和是否平行?請(qǐng)說明理由. 解:()設(shè)圓心,則,解得(3分)則圓的方程為,將點(diǎn)的坐標(biāo)代入得,故圓的方程為(5分)()設(shè),則,且=,(7分)所以的最小值為(可由線性規(guī)劃或

6、三角代換求得)(10分)()由題意知, 直線和直線的斜率存在,且互為相反數(shù),故可設(shè),由,得(11分) 因?yàn)辄c(diǎn)的橫坐標(biāo)一定是該方程的解,故可得 同理,所以=所以,直線和一定平行(15分)9、NCMQPOAxylml第17題已知過點(diǎn)的動(dòng)直線與圓：相交于、兩點(diǎn)，是中點(diǎn)，與直線：相交于.（）求證：當(dāng)與垂直時(shí)，必過圓心；（）當(dāng)時(shí)，求直線的方程；（）探索是否與直線的傾斜角有關(guān)，若無關(guān)，請(qǐng)求出其值；若有關(guān)，請(qǐng)說明理由.NCMQPOAxylml第17題解析：（）與垂直，且，故直線方程為，即2分圓心坐標(biāo)（0，3）滿足直線方程，當(dāng)與垂直時(shí)，必過圓心4分（）當(dāng)直線與軸垂直時(shí),易知符合題意6分當(dāng)直線與軸不垂直時(shí), 設(shè)

7、直線的方程為，即，8分則由，得,直線：.故直線的方程為或10分（）,12分 當(dāng)與軸垂直時(shí)，易得，則,又,14分當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí)，設(shè)直線的方程為，則由，得（）,則=綜上所述，與直線的斜率無關(guān)，且.16分10、已知圓O的方程為且與圓O相切。（1） 求直線的方程；（2） 設(shè)圓O與x軸交與P,Q兩點(diǎn)，M是圓O上異于P,Q的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)A且與x軸垂直的直線為，直線PM交直線于點(diǎn)，直線QM交直線于點(diǎn)。求證：以為直徑的圓C總過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)。解析：（1）直線過點(diǎn)，且與圓：相切，設(shè)直線的方程為，即，2分則圓心到直線的距離為，解得，直線的方程為，即 4分（2）對(duì)于圓方程,令，得,即又直線過點(diǎn)且與軸垂直，直

8、線方程為，設(shè)，則直線方程為解方程組,得同理可得, 10分以為直徑的圓的方程為， 又，整理得， 12分若圓經(jīng)過定點(diǎn)，只需令，從而有，解得，圓總經(jīng)過定點(diǎn)坐標(biāo)為 14分11、已知以點(diǎn)為圓心的圓經(jīng)過點(diǎn)和，線段的垂直平分線交圓于點(diǎn)和，且.(1)求直線的方程；求圓的方程；設(shè)點(diǎn)在圓上，試問使的面積等于8的點(diǎn)共有幾個(gè)？證明你的結(jié)論.解：直線的斜率 ，中點(diǎn)坐標(biāo)為 ，直線方程為 （4分）設(shè)圓心，則由在上得：又直徑,又（7分）由解得或圓心 或圓的方程為 或 （9分） ， 當(dāng)面積為時(shí) ，點(diǎn)到直線的距離為 。 又圓心到直線的距離為，圓的半徑 且 圓上共有兩個(gè)點(diǎn)使 的面積為 . （14分）12、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，

9、平行于x軸且過點(diǎn)A的入射光線l1被直線l：反射，反射光線l2交y軸于B點(diǎn)圓C過點(diǎn)A且與l1、l2相切（1）求l2所在的直線的方程和圓C的方程；xyOABl2l1l（2）設(shè)P、Q分別是直線l和圓C上的動(dòng)點(diǎn)，求PB+PQ的最小值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)解析（）直線設(shè)的傾斜角為，2分反射光線所在的直線方程為 即4分已知圓C與圓心C在過點(diǎn)D且與垂直的直線上，6分又圓心C在過點(diǎn)A且與垂直的直線上，由得，圓C的半徑r=3故所求圓C的方程為 10分（）設(shè)點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，則12分得固定點(diǎn)Q可發(fā)現(xiàn)，當(dāng)共線時(shí)，最小，故的最小值為為 14分，得最小值 16分13、設(shè)圓的方程為，直線的方程為（1）求關(guān)于對(duì)稱的圓的方程；（2）

10、當(dāng)變化且時(shí)，求證：的圓心在一條定直線上，并求所表示的一系列圓的公切線方程解：（1）圓C1的圓心為C1（2，3m+2），設(shè)C1關(guān)于直線l對(duì)稱點(diǎn)為C2（a，b）則解得：圓C2的方程為（2）由消去m得a2b+1=0即圓C2的圓心在定直線x2y+1=0上。設(shè)直線y=kx+b與圓系中的所有圓都相切，則即直線y=kx+b與圓系中的所有圓都相切，所以上述方程對(duì)所有的m值都成立，所以有：解之得：所以所表示的一系列圓的公切線方程為：14、已知過點(diǎn)A（0，1），且方向向量為，相交于M、N兩點(diǎn).（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）求證：；（3）若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且.解：（1）2分由5分9分11分1214分15、如圖，在平面

11、直角坐標(biāo)系中，設(shè)的外接圓圓心為E（1）若E與直線CD相切，求實(shí)數(shù)a的值；（第16題） ABCDExyO（2）設(shè)點(diǎn)在圓上，使的面積等于12的點(diǎn)有且只有三個(gè)，試問這樣的E是否存在，若存在，求出E的標(biāo)準(zhǔn)方程；若不存在，說明理由.解：（1）直線方程為，圓心，半徑.由題意得，解得.6分（2），當(dāng)面積為時(shí)，點(diǎn)到直線的距離為，又圓心E到直線CD距離為(定值)，要使的面積等于12的點(diǎn)有且只有三個(gè)，只須圓E半徑，解得，此時(shí)，E的標(biāo)準(zhǔn)方程為14分16、已知：和定點(diǎn)，由外一點(diǎn)向引切線，切點(diǎn)為，且滿足(1) 求實(shí)數(shù)間滿足的等量關(guān)系；(2) 求線段長的最小值；(3) 若以為圓心所作的與有公共點(diǎn)，試求半徑取最小值時(shí)的方程

12、解：（1）連為切點(diǎn)，由勾股定理有又由已知，故.即：.化簡得實(shí)數(shù)a、b間滿足的等量關(guān)系為：. （3分） （2）由，得. =.故當(dāng)時(shí)，即線段PQ長的最小值為 （7分）（3）設(shè)P 的半徑為，P與O有公共點(diǎn)，O的半徑為1，即且.而，故當(dāng)時(shí)，此時(shí), ，.得半徑取最小值時(shí)P的方程為 （12分）P0l解法2：P與O有公共點(diǎn)，P半徑最小時(shí)為與O外切（取小者）的情形，而這些半徑的最小值為圓心O到直線l的距離減去1，圓心P為過原點(diǎn)與l垂直的直線l 與l的交點(diǎn)P0.r = 1 = 1.又l：x2y = 0,解方程組，得.即P0( ,).所求圓方程為. （12分）17、已知以點(diǎn)為圓心的圓與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)、，其中

13、為原點(diǎn)。（1） 求證：的面積為定值；（）設(shè)直線與圓交于點(diǎn)，若，求圓的方程。.解 （1）， 設(shè)圓的方程是 令，得；令，得，即：的面積為定值 （2）垂直平分線段，直線的方程是，解得： 當(dāng)時(shí)，圓心的坐標(biāo)為， 此時(shí)到直線的距離，圓與直線相交于兩點(diǎn)當(dāng)時(shí)，圓心的坐標(biāo)為，此時(shí)到直線的距離圓與直線不相交，不符合題意舍去圓的方程為18、已知圓，點(diǎn)，直線.求與圓相切，且與直線垂直的直線方程；在直線上（為坐標(biāo)原點(diǎn)），存在定點(diǎn)（不同于點(diǎn)），滿足：對(duì)于圓上任一點(diǎn)，都有為一常數(shù)，試求所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo).解：設(shè)所求直線方程為，即，直線與圓相切，得，所求直線方程為 -5分方法1：假設(shè)存在這樣的點(diǎn)，當(dāng)為圓與軸左交點(diǎn)時(shí)，；當(dāng)

14、為圓與軸右交點(diǎn)時(shí)，依題意，解得，（舍去），或。 -8分下面證明 點(diǎn)對(duì)于圓上任一點(diǎn)，都有為一常數(shù)。設(shè)，則， ，從而為常數(shù)。 -15分方法2：假設(shè)存在這樣的點(diǎn)，使得為常數(shù)，則，將代入得，即對(duì)恒成立， -8分，解得或（舍去），所以存在點(diǎn)對(duì)于圓上任一點(diǎn)，都有為常數(shù)。 -15分19、已知圓通過不同的三點(diǎn)，且圓C在點(diǎn)P處的切線的斜率為1.（1）試求圓的方程；（2）若點(diǎn)A、B是圓C上不同的兩點(diǎn)，且滿足，試求直線AB的斜率；若原點(diǎn)O在以AB為直徑的圓的內(nèi)部，試求直線AB在軸上的截距的范圍。x解析.（1）設(shè)圓方程為，CQPOy第 18 題R則圓心，且PC的斜率為-12分所以6分解得，所以圓方程為8分（2），所以

15、AB斜率為112分設(shè)直線AB方程為，代入圓C方程得設(shè)，則原點(diǎn)O在以AB為直徑的圓的內(nèi)部，即14分整理得，1620、如圖，在矩形中，以為圓心1為半徑的圓與交于（圓弧為圓在矩形內(nèi)的部分）（）在圓弧上確定點(diǎn)的位置，使過的切線平分矩形ABCD的面積；（）若動(dòng)圓與滿足題（）的切線及邊都相切，試確定的位置，使圓為矩形內(nèi)部面積最大的圓.解（）以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系設(shè)，圓弧的方程切線l的方程：（可以推導(dǎo)：設(shè)直線的斜率為，由直線與圓弧相切知：，所以，從而有直線的方程為，化簡即得）設(shè)與交于可求F（），G（），l平分矩形ABCD面積，又 解、得：（）由題（）可知：切線l的方程：，當(dāng)滿足

16、題意的圓面積最大時(shí)必與邊相切，設(shè)圓與直線、分別切于，則（為圓的半徑），由點(diǎn)坐標(biāo)為注意：直線與圓應(yīng)注意常見問題的處理方法，例如圓的切線、弦長等，同時(shí)應(yīng)注重結(jié)合圖形加以分析，尋找解題思路。21、已知圓的方程為，直線的方程為，點(diǎn)在直線上，過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為（1）若，試求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，過作直線與圓交于兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求直線的方程；（3）求證：經(jīng)過三點(diǎn)的圓必過定點(diǎn)，并求出所有定點(diǎn)的坐標(biāo).解：（1）設(shè)，由題可知，所以，解之得：故所求點(diǎn)的坐標(biāo)為或4分（2）設(shè)直線的方程為：，易知存在，由題知圓心到直線的距離為，所以，6分解得，或，故所求直線的方程為：或8分（3）設(shè)，的中點(diǎn)，因?yàn)槭菆A的切線所以經(jīng)

17、過三點(diǎn)的圓是以為圓心，以為半徑的圓，故其方程為：10分化簡得：，此式是關(guān)于的恒等式，故解得或所以經(jīng)過三點(diǎn)的圓必過定點(diǎn)或.14分22、已知圓：，設(shè)點(diǎn)是直線：上的兩點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)分別是，點(diǎn)在線段上，過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為（1）若，求直線的方程；（2）經(jīng)過三點(diǎn)的圓的圓心是，求線段長的最小值解：（1）設(shè)解得或（舍去）由題意知切線PA的斜率存在，設(shè)斜率為k所以直線PA的方程為，即直線PA與圓M相切，解得或直線PA的方程是或（2）設(shè)與圓M相切于點(diǎn)A，經(jīng)過三點(diǎn)的圓的圓心D是線段MP的中點(diǎn)的坐標(biāo)是設(shè)當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)，即時(shí)則23、（2009年江蘇卷）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C1：和圓C2：.（）

18、若直線l過點(diǎn)A(4, 0)，且被圓C1截得的弦長為，求直線l的方程；（）設(shè)P為平面上的點(diǎn)，滿足：存在過點(diǎn)P的無窮多對(duì)互相垂的直線l1和l2，它們分別與圓C1和圓C2相交，且直線l1被圓C1截得的弦長與直線l2被圓C2截得的弦長相等，試求所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo).解：（）由于直線x4與圓C1不相交，所以直線l的斜率存在, 設(shè)直線l的方程為, 圓心C1到直線l的距離為d , 因?yàn)橹本€l被圓C1截得的弦長為, 所以 , , k0或 所求直線l的方程為y0或7x24y280（）設(shè)點(diǎn)P(a, b) 直線l1：；l2： 因?yàn)閳AC1、圓C2的半徑相等，且分別被直線l1、l2截得的弦長相等，所以圓心C1到直線

19、l1的距離、圓心C2到直線l2的距離相等. , (a3)k(1b)(5b)k(4a)或(a3)k(1b)(5b)k(4a) k的取值有無窮多個(gè) 或 解得 或 或24. （2008年江蘇卷）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)二次函數(shù)f (x)x22xb（xR）的圖像與兩個(gè)坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)，經(jīng)過這三點(diǎn)的圓記為C. （）求實(shí)數(shù)b的取值范圍；（）求圓C的方程；（）問圓C是否經(jīng)過定點(diǎn)（其坐標(biāo)與b無關(guān)）？請(qǐng)證明你的結(jié)論.解一：（）若b0，則f(x)x22x 與坐標(biāo)軸只有兩個(gè)交點(diǎn)（0,0）和（2 ,0）,矛盾！b0 , 二次函數(shù)的圖象與y軸有一個(gè)非原點(diǎn)的交點(diǎn)(0 ,b）, 故它與x軸必有兩個(gè)交點(diǎn)，方程x22xb0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，0， 44b0 , b1且b0b的取值范圍是（,0）(0 ,1）. （）由方