數(shù)學(xué)分析教案-(華東師大版)第六章-微分中值定理及其應(yīng)用(共25頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第六章 微分中值定理及其應(yīng)用   教學(xué)目的： 1.掌握微分學(xué)中值定理，領(lǐng)會(huì)其實(shí)質(zhì)，為微分學(xué)的應(yīng)用打好堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)；2.熟練掌握洛比塔法則，會(huì)正確應(yīng)用它求某些不定式的極限；3.掌握泰勒公式，并能應(yīng)用它解決一些有關(guān)的問(wèn)題；4.使學(xué)生掌握運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在區(qū)間上整體性態(tài)的理論依據(jù)和方法，能根據(jù)函數(shù)的整體性態(tài)較為準(zhǔn)確地描繪函數(shù)的圖象；5.會(huì)求函數(shù)的最大值、最小值，了解牛頓切線法。教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：本章的重點(diǎn)是中值定理和泰勒公式，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、極值與凸性；難點(diǎn)是用輔助函數(shù)解決問(wèn)題的方法。教學(xué)時(shí)數(shù)：14學(xué)時(shí)  § 1 中值定理（4學(xué)時(shí)） 教

2、學(xué)目的：掌握微分學(xué)中值定理，領(lǐng)會(huì)其實(shí)質(zhì)，為微分學(xué)的應(yīng)用打下堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)。教學(xué)要求：深刻理解中值定理及其分析意義與幾何意義，掌握三個(gè)定理的證明方法，知道三者之間的包含關(guān)系。教學(xué)重點(diǎn)：中值定理。教學(xué)難點(diǎn)：定理的證明。教學(xué)難點(diǎn)： 系統(tǒng)講解法。一、引入新課： 通過(guò)復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)中的“導(dǎo)數(shù)”與物理上的“速度”、幾何上的“切線”之聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生從直覺(jué)上感到導(dǎo)數(shù)是一個(gè)非常重要而有用的數(shù)學(xué)概念。在學(xué)生掌握了“如何求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)”的前提下，自然提出另外一個(gè)基本問(wèn)題：導(dǎo)數(shù)有什么用？俗話說(shuō)得好：工欲善其事，必先利其器。因此，我們首先要磨鋒利導(dǎo)數(shù)的刀刃。我們要問(wèn)：若函數(shù)可導(dǎo)，則它應(yīng)該有什么特性？由此引入新課第六章 微分中值

3、定理及其應(yīng)用 §1 拉格朗日定理和函數(shù)的單調(diào)性（板書課題）二、講授新課： （一）極值概念：   1極值： 圖解，定義 ( 區(qū)分一般極值和嚴(yán)格極值. )  2.  可微極值點(diǎn)的必要條件:   Th ( Fermat ) ( 證 )  函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn), 穩(wěn)定點(diǎn)的求法.  （二） 微分中值定理:   1. Rolle中值定理: 敘述為Th1.( 證 )定理?xiàng)l件的充分但不必要性.  2.  Lagrange中值定理: 敘述為Th2. ( 證 ) 圖解 .  用分析方法引進(jìn)輔助

4、函數(shù), 證明定理.用幾何直觀引進(jìn)輔助函數(shù)的方法參閱1P157.  Lagrange中值定理的各種形式. 關(guān)于中值點(diǎn)的位置.  推論1 函數(shù)在區(qū)間I上可導(dǎo)且為I上的常值函數(shù). (證)推論2 函數(shù)和在區(qū)間I上可導(dǎo)且推論3 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某右鄰域上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo). 若存在,則右導(dǎo)數(shù)也存在,且有(證) 但是, 不存在時(shí), 卻未必有 不存在. 例如對(duì)函數(shù) 雖然不存在,但卻在點(diǎn)可導(dǎo)(可用定義求得). Th ( 導(dǎo)數(shù)極限定理 ) 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo). 若極限存在, 則也存在, 且( 證 ) 由該定理可見(jiàn),若函數(shù)在區(qū)間I上可導(dǎo),則區(qū)間I上的每一點(diǎn),要么是導(dǎo)函數(shù)的連續(xù)點(diǎn),要么是

5、的第二類間斷點(diǎn).這就是說(shuō),當(dāng)函數(shù)在區(qū)間I上點(diǎn)點(diǎn)可導(dǎo)時(shí),導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間I上不可能有第二類間斷點(diǎn).推論4 ( 導(dǎo)函數(shù)的介值性 ) 若函數(shù) 在閉區(qū)間 上可導(dǎo), 且 ( 證 )Th ( Darboux ) 設(shè)函數(shù) 在區(qū)間 上可導(dǎo)且 . 若 為介于與 之間的任一實(shí)數(shù), 則 設(shè)對(duì)輔助函數(shù), 應(yīng)用系4的結(jié)果. ( 證 )3. Cauchy中值定理:   Th 3 設(shè)函數(shù) 和 在閉區(qū)間 上連續(xù), 在開(kāi)區(qū)間 內(nèi)可導(dǎo), 和 在內(nèi)不同時(shí)為零, 又 則在 內(nèi)至少存在一點(diǎn) 使 .  證 分析引出輔助函數(shù) . 驗(yàn)證 在 上滿足Rolle定理的條件,     必有 , 因?yàn)榉?/p>

6、則就有 .這與條件“ 和 在 內(nèi)不同時(shí)為零”矛盾.   Cauchy中值定理的幾何意義.  （三）中值定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用:   1. 證明中值點(diǎn)的存在性  例1 設(shè)函數(shù) 在區(qū)間 上連續(xù), 在 內(nèi)可導(dǎo), 則 , 使得 .  證 在Cauchy中值定理中取 .  例2  設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),且有 .試證明: .  2. 證明恒等式: 原理.  例3  證明: 對(duì) , 有 .例4  設(shè)函數(shù) 和 可導(dǎo)且 又 則.證明 . 例5  設(shè)對(duì) , 有 , 其中 是正常數(shù). 則

7、函數(shù) 是常值函數(shù). (證明 ).  3. 證明不等式: 例6  證明不等式: 時(shí), .例7  證明不等式: 對(duì) ，有 . 4. 證明方程根的存在性:   證明方程 在 內(nèi)有實(shí)根.  例8  證明方程 在 內(nèi)有實(shí)根.  § 2 柯西中值定理和不定式的極限（2學(xué)時(shí)）教學(xué)目的：1. 掌握討論函數(shù)單調(diào)性方法；2. 掌握LHospital法則，或正確運(yùn)用后求某些不定式的極限。教學(xué)要求：1. 熟練掌握LHospital法則，并能正確運(yùn)用后迅速正確地求某些不定式的極限；2. 深刻理解函數(shù)在一區(qū)間上單調(diào)以及嚴(yán)格單調(diào)的意義

8、和條件；熟練掌握運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間的方法；能利用函數(shù)的單調(diào)性證明某些不等式。教學(xué)重點(diǎn)：利用函數(shù)的單調(diào)性，LHospital法則教學(xué)難點(diǎn)：LHospital法則的使用技巧；用輔助函數(shù)解決問(wèn)題的方法；。教學(xué)方法：?jiǎn)栴}教學(xué)法，結(jié)合練習(xí)。 一. 型: Th 1 ( Hospital法則 ) ( 證 ) 應(yīng)用技巧.  例1 例2 .例3 . ( 作代換 或利用等價(jià)無(wú)窮小代換直接計(jì)算. )例4 . ( Hospital法則失效的例 )  二.  型:   Th 2 ( Hospital法則 ) ( 證略 )   例5  .例6

9、60; . 註: 關(guān)于 當(dāng) 時(shí)的階.  例7  . ( Hospital法則失效的例 )  三. 其他待定型: .前四個(gè)是冪指型的.   例8  例9  .例10 . 例11 . 例12 . 例13 . 例14 設(shè)且求解 . § 3 Taylor公式（2學(xué)時(shí)）   教學(xué)目的：掌握Taylor公式，并能應(yīng)用它解決一些有關(guān)的問(wèn)題。教學(xué)要求：1. 深刻理解Taylor定理，掌握Taylor公式，熟悉兩種不同余項(xiàng)的Taylor公式及其之間的差異；2. 掌握并熟記一些常用初等函數(shù)和Taylor展開(kāi)公式，并能加以應(yīng)用。3. 會(huì)

10、用帶Taylor型余項(xiàng)的Taylor公式進(jìn)行近似計(jì)算并估計(jì)誤差；會(huì)用代Peanlo余項(xiàng)的Taylor公式求某些函數(shù)的極限。教學(xué)重點(diǎn)：Taylor公式教學(xué)難點(diǎn)：Taylor定理的證明及應(yīng)用。教學(xué)方法：系統(tǒng)講授法。一. 問(wèn)題和任務(wù):  用多項(xiàng)式逼近函數(shù)的可能性;對(duì)已知的函數(shù),希望找一個(gè)多項(xiàng)式逼近到要求的精度.  二. Taylor( 16851731 )多項(xiàng)式:   分析前述任務(wù)，引出用來(lái)逼近的多項(xiàng)式應(yīng)具有的形式  定義 Taylor 多項(xiàng)式 及Maclaurin多項(xiàng)式   例1 求函數(shù)在點(diǎn)的Taylor多項(xiàng)式. 1P174.( 留作閱讀 )

11、60; 三. Taylor公式和誤差估計(jì):   稱為余項(xiàng).稱給出的定量或定性描述的式  為函數(shù)的Taylor公式.  1. 誤差的定量刻畫( 整體性質(zhì) ) Taylor中值定理:   Th 1 設(shè)函數(shù) 滿足條件:  > 在閉區(qū)間 上有直到階連續(xù)導(dǎo)數(shù);  > 在開(kāi)區(qū)間內(nèi)有階導(dǎo)數(shù).則對(duì)使 . 證 1P175176.  稱這種形式的余項(xiàng) 為L(zhǎng)agrange型余項(xiàng). 并稱帶有這種形式余項(xiàng)的Taylor公式為具Lagrange型余項(xiàng)的Taylor公式. Lagrange型余項(xiàng)還可寫為   . 時(shí), 稱上述Tayl

12、or公式為Maclaurin公式, 此時(shí)余項(xiàng)常寫為  . 2.   誤差的定性描述( 局部性質(zhì) ) Peano型余項(xiàng):   Th 2 若函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)具有階導(dǎo)數(shù),且存在,則,. 證 設(shè) , . 應(yīng)用 Hospital法則 次,并注意到 存在, 就有 =  .  稱 為Taylor公式的Peano型余項(xiàng), 相應(yīng)的Maclaurin公式的Peano型余項(xiàng)為 . 并稱帶有這種形式余項(xiàng)的Taylor公式為具Peano型余項(xiàng)的Taylor公式( 或Maclaurin公式 ). 四. 函數(shù)的Taylor公式( 或Maclaurin公式 )展開(kāi)

13、: 1. 直接展開(kāi): 例2 求 的Maclaurin公式.解 . 例3 求 的Maclaurin公式.解 , .例4  求函數(shù) 的具Peano型余項(xiàng)的Maclaurin公式 .  解 . .例5  把函數(shù) 展開(kāi)成含 項(xiàng)的具Peano型余項(xiàng)的Maclaurin公式 .  ( 1P179 E5, 留為閱讀. )  2.間接展開(kāi):利用已知的展開(kāi)式,施行代數(shù)運(yùn)算或變量代換,求新的展開(kāi)式. 例6 把函數(shù) 展開(kāi)成含 項(xiàng)的具Peano型余項(xiàng)的Maclaurin公式 .  解 , .  例7 把函數(shù)展開(kāi)成含項(xiàng)的具Peano型余項(xiàng)的Macla

14、urin公式 .  解 ,  注意, . 例8 先把函數(shù) 展開(kāi)成具Peano型余項(xiàng)的Maclaurin公式 . 利用得到的展開(kāi)式, 把函數(shù) 在點(diǎn) 展開(kāi)成具Peano型余項(xiàng)的Taylor公式.解 .    = +   例9 把函數(shù) 展開(kāi)成具Peano型余項(xiàng)的Maclaurin公式 ，并與 的相應(yīng)展開(kāi)式進(jìn)行比較. 解 ; .而 . 五.Taylor公式應(yīng)用舉例: 1. 證明 是無(wú)理數(shù): 例10 證明 是無(wú)理數(shù).證 把 展開(kāi)成具Lagrange型余項(xiàng)的Maclaurin公式, 有 .反設(shè) 是有理數(shù), 即 和 為整數(shù)), 就有 整數(shù) + .對(duì) 也是整數(shù)

15、. 于是, 整數(shù) = 整數(shù)整數(shù) = 整數(shù).但由因而當(dāng)時(shí)，不可能是整數(shù). 矛盾.2. 計(jì)算函數(shù)的近似值: 例11 求 精確到 的近似值.解 .注意到 有. 為使 ,只要取 . 現(xiàn)取 , 即得數(shù) 的精確到 的近似值為 . 3.利用Taylor公式求極限: 原理: 例12 求極限 .解 , ; .4.證明不等式： 原理. 例13 證明: 時(shí), 有不等式 . 3P130 E33. §4 函數(shù)的極值與最大（?。┲?（2學(xué)時(shí)） 教學(xué)目的：會(huì)求函數(shù)的極值和最值。教學(xué)要求：1. 會(huì)求函數(shù)的極值與最值；2. 弄清函數(shù)極值的概念，取得極值必要條件以及第一、第二充分條件；掌握求函數(shù)極值

16、的一般方法和步驟；能靈活運(yùn)用第一、第二充分條件判定函數(shù)的極值與最值；會(huì)利用函數(shù)的極值確定函數(shù)的最值，對(duì)于取得極值的第三充分條件，也應(yīng)用基本的了解。教學(xué)重點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求極值的方法教學(xué)難點(diǎn)：極值的判定教學(xué)方法： 講授法演示例題 一可微函數(shù)單調(diào)性判別法： 1單調(diào)性判法：   Th 1 設(shè)函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)可導(dǎo). 則在 內(nèi) (或) 在 內(nèi) ( 或 ).證 ) ) 證 . Th 2 設(shè)函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)可導(dǎo). 則在 內(nèi) ( 或) > 對(duì) 有 ( 或 ;> 在 內(nèi)任子區(qū)間上 2. 單調(diào)區(qū)間的分離:的升、降區(qū)間分別對(duì)應(yīng)的非負(fù)、非正值區(qū)間.例1  分離函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間.更

17、一般的例可參閱4P147148 E13，14.  二.可微極值點(diǎn)判別法:極值問(wèn)題:極值點(diǎn),極大值還是極小值,極值是多少.1. 可微極值點(diǎn)的必要條件: Fermat定理( 表述為Th3 ).  函數(shù)的駐點(diǎn)和(連續(xù)但)不可導(dǎo)點(diǎn)統(tǒng)稱為可疑點(diǎn), 可疑點(diǎn)的求法.  2.  極值點(diǎn)的充分條件:對(duì)每個(gè)可疑點(diǎn),用以下充分條件進(jìn)一步鑒別是否為極值點(diǎn).  Th 4 (充分條件) 設(shè)函數(shù) 在點(diǎn) 連續(xù), 在鄰域 和 內(nèi)可導(dǎo). 則 > 在 內(nèi) 在 內(nèi) 時(shí), 為 的一個(gè)極小值點(diǎn); > 在 內(nèi) 在 內(nèi) 時(shí), 為 的一個(gè)極大值點(diǎn); > 若

18、 在上述兩個(gè)區(qū)間內(nèi)同號(hào), 則 不是極值點(diǎn).Th 5 (充分條件“雨水法則”)設(shè)點(diǎn) 為函數(shù) 的駐點(diǎn)且 存在.則 > 當(dāng) 時(shí), 為 的一個(gè)極大值點(diǎn); > 當(dāng) 時(shí), 為 的一個(gè)極小值點(diǎn). 證法一 當(dāng) 時(shí), 在點(diǎn) 的某空心鄰域內(nèi) 與 異號(hào), 證法二 用Taylor公式展開(kāi)到二階, 帶Peano型余項(xiàng).   Th 6 (充分條件 ) 設(shè) ,而 .則 > 為奇數(shù)時(shí), 不是極值點(diǎn); > 為偶數(shù)時(shí),是極值點(diǎn).且對(duì)應(yīng)極小;對(duì)應(yīng)極大. 例2 求函數(shù) 的極值. 1P190 E3 例3 求函數(shù) 的極值. 1P190 E43. 函數(shù)的最值: 設(shè)函數(shù) 在閉區(qū)間 上連續(xù)且僅有有限

19、個(gè)可疑點(diǎn). 則 = ; .  函數(shù)最值的幾個(gè)特例:   > 單調(diào)函數(shù)的最值:> 如果函數(shù) 在區(qū)間 上可導(dǎo)且僅有一個(gè)駐點(diǎn), 則當(dāng) 為極大值點(diǎn)時(shí), 亦為最大值點(diǎn); 當(dāng) 為極小值點(diǎn)時(shí), 亦為最小值點(diǎn). > 若函數(shù) 在 內(nèi)可導(dǎo)且僅有一個(gè)極大(或小)值點(diǎn), 則該點(diǎn)亦為最大(或小)值點(diǎn).   > 對(duì)具有實(shí)際意義的函數(shù),常用實(shí)際判斷原則確定最大(或小)值點(diǎn).   三.  最值應(yīng)用問(wèn)題: 例4 、 兩村距輸電線（直線）分別為 和 （如圖）， 長(zhǎng) . 現(xiàn)兩村合用一臺(tái)變壓器供電. 問(wèn)變壓器設(shè)在何處,輸電線總長(zhǎng) 最小. 解 設(shè) 如圖

20、，并設(shè)輸電線總長(zhǎng)為 .則有 , , 解得 和 ( 捨去 ). 答：   四.  利用導(dǎo)數(shù)證明不等式:  我們?cè)谇懊婧?jiǎn)介過(guò)用中值定理或Taylor公式證明不等式的一些方法. 其實(shí), 利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的方法至少可以提出七種 ( 參閱3P112142 ). 本段僅介紹利用單調(diào)性或極值證明不等式的簡(jiǎn)單原理.  1.  利用單調(diào)性證明不等式:  原理: 若 , 則對(duì) , 有不等式 .  例5 證明: 對(duì)任意實(shí)數(shù) 和 , 成立不等式 證 取 在 內(nèi) . 于是, 由 , 就有 , 即 .   2.不等式原理: 4P

21、169171.   不等式原理: 設(shè)函數(shù) 在區(qū)間 上連續(xù),在區(qū)間 內(nèi)可導(dǎo),且 ; 又 則 時(shí), (不等式原理的其他形式.) 例6 證明: 時(shí), . 例7 證明: 時(shí), .2. 利用極值證明不等式: 例8 證明: 時(shí), .§ 5 函數(shù)的凸性與拐點(diǎn)（2學(xué)時(shí)）教學(xué)目的：掌握討論函數(shù)的凹凸性和方法。教學(xué)要求：弄清函數(shù)凸性的概念，掌握函數(shù)凸性的幾個(gè)等價(jià)論斷，會(huì)求曲線的拐點(diǎn)，能應(yīng)用函數(shù)的凸性證明某些有關(guān)的命題。教學(xué)重點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的凸性教學(xué)難點(diǎn)：利用凸性證明相關(guān)命題教學(xué)方法：系統(tǒng)講授法演示例題一凸性的定義及判定：   1凸性的定義：由直觀引入. 強(qiáng)調(diào)曲線彎曲方

22、向與上升方向的區(qū)別.  定義 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù). 若對(duì), 恒有 , 或 . 則稱曲線 在區(qū)間 上是凹(或凸)的. 若在上式中, 當(dāng) 時(shí), 有嚴(yán)格不等號(hào)成立, 則稱曲線 在區(qū)間 上是嚴(yán)格凹(或嚴(yán)格凸)的. 凹和凸也分別稱為上凸和下凸.  凸性的幾何意義: 倘有切線, 與切線的位置關(guān)系; 與弦的位置關(guān)系; 曲線的彎曲方向.  2利用二階導(dǎo)數(shù)判斷曲線的凸向: Th 設(shè)函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)存在二階導(dǎo)數(shù), 則在 內(nèi) 在 內(nèi)嚴(yán)格上凸; 在 內(nèi)嚴(yán)格下凸.該判別法也俗稱為“雨水法則”.證法一 ( 用Taylor公式 ) 對(duì) 設(shè) , 把 在點(diǎn)展開(kāi)成具Lagrange型余項(xiàng)的Taylor公式, 有 .其中 和 在 與 之間. 注意到 , 就有 , 于是 若有上式中,即嚴(yán)格上凸. 若有上式中,即嚴(yán)格下凸.證法二 ( 利用Lagrange中值定理. ) 若 則有 , 不妨設(shè) ,并設(shè) ,分別在區(qū)間 和 上應(yīng)用Lagrange中值定理, 有, .有 又由 ， < , ， 即 ， 嚴(yán)格下凸.可類證 的情況.3凸區(qū)間的分離:的正、負(fù)值區(qū)間分別對(duì)應(yīng)函數(shù)的下凸和上凸區(qū)間