淺談微分方程起源與發(fā)展史

1、淺談微分方程的起源與發(fā)展史摘要:微分方程起源于17世紀(jì)，簡(jiǎn)單的微分方程分別是牛頓、萊布尼茨和伯努利從幾何和力學(xué)問題上解決的問題。這些早期發(fā)現(xiàn)開始于1690年，這逐漸導(dǎo)致一些特殊的微分方程的“特殊技能”的發(fā)展。雖然這些特殊的技術(shù)只適用于相對(duì)較少的情況下，但是他們可以解決許多微分方程在力學(xué)和幾何中的問題，所以，他們的研究具有非常重要的現(xiàn)實(shí)意義。這些特殊的方法和問題，將有助于我們解決很多問題。引言：很多的科學(xué)問題是需要人們根據(jù)事物的變化率來(lái)確定事物的特征。比如，我們可以試著用已知的速度或加速度來(lái)計(jì)算粒子的位置，又比如，一些放射性物質(zhì)可能是已知的衰變率，這就要求我們?cè)谝粋€(gè)給定的時(shí)間內(nèi)確定材料的總量。通

2、過(guò)這些例子，我們可以發(fā)現(xiàn)，如果知道自變量、未知函數(shù)以及函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或者微分）組成的關(guān)系式，得到的就是微分方程。最后再通過(guò)微分方程求出未知函數(shù)。關(guān)鍵字：微分方程 起源 發(fā)展史 一、微分方程的思想萌芽 微分方程就是聯(lián)系著自變量，未知函數(shù)以及其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式。微分方程理論的發(fā)展是跟隨著微積分理論的建立發(fā)展起來(lái)的，一般地，客觀世界的時(shí)間要服從一定的客觀規(guī)律，這種連接，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)，即是抽象為微分方程，一旦獲得或研究的解決方案是明確的空氣動(dòng)力學(xué)行為，變量之間的規(guī)律是一目了然的。例如在物體運(yùn)動(dòng)中，唯一的計(jì)算就與瞬間速度之間有著緊密的聯(lián)系，其結(jié)果往往形成一個(gè)微分方程，一旦求出解或研究清楚氣動(dòng)力學(xué)行為，就明確

3、的掌握了物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。 1.1微分方程的起源：微分方程起源于17世紀(jì)，簡(jiǎn)單的微分方程分別是牛頓、萊布尼茨和伯努利從幾何和力學(xué)問題上解決的問題。這些早期發(fā)現(xiàn)開始于1690年，這逐漸導(dǎo)致一些特殊的微分方程的“特殊技能”的發(fā)展。1.2微分方程在實(shí)際問題中的應(yīng)用：運(yùn)用微分方程理論解決一些實(shí)際問題，即根據(jù)生物學(xué)，物理學(xué)，化學(xué)，幾何學(xué)等學(xué)科的實(shí)際問題及相關(guān)知識(shí)建立微分方程，討論該方程解的性質(zhì)，并由所得的解或解的性質(zhì)反過(guò)來(lái)解釋該實(shí)際過(guò)程。物質(zhì)運(yùn)動(dòng)和它的變化規(guī)律在數(shù)學(xué)上是用函數(shù)關(guān)系描述的,但是在實(shí)際問題中往往不能直接寫出反映運(yùn)動(dòng)規(guī)律的函數(shù),卻比較容易建立這些變量與他們的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系式,即微分方程。只有一個(gè)

4、自變量的微分方程稱為常微分方程,簡(jiǎn)稱微分方程。例1 傳染病模型傳染?。ㄎ烈撸┙?jīng)常在全世界各地流行，假設(shè)傳染病傳播期間其他地區(qū)的總?cè)藬?shù)不變，為常數(shù)，最開始的染病人數(shù)為，在時(shí)的健康人數(shù)為，染病人數(shù)為。因?yàn)?總?cè)藬?shù)為常數(shù)所以可得到式子 假設(shè)單位時(shí)間內(nèi)一個(gè)病人能傳染的人數(shù)與當(dāng)時(shí)的健康人數(shù)成正比，且比例常數(shù)為，稱為傳染系數(shù)，于是即可得到式子 由和可得 這個(gè)模型就是SI模型，即易感染者模型和已感染者模型。對(duì)于無(wú)免疫的傳染性疾病如痢疾、傷風(fēng)等等，病人在治愈以后還會(huì)有再次被感染的危險(xiǎn)。所以我們可以假設(shè)單位時(shí)間內(nèi)的治愈率為，那么方程就應(yīng)該修改為 由和可得 ， 這個(gè)模型稱為SIS模型，就是這個(gè)傳染病的平均傳染期，

5、為整個(gè)傳染期內(nèi)每個(gè)病人有下接觸的平均人數(shù)（平均接觸數(shù)）。對(duì)于很強(qiáng)免疫性的傳染性疾病例如天花、流感等等，病人治愈以后不會(huì)有再被傳染的機(jī)會(huì)。我們就可以假設(shè)在時(shí)刻的治愈后的免疫人數(shù)為，稱為移出者，且治愈率為常數(shù)，所以可得 根據(jù)、和可得 這個(gè)模型稱為SIR模型，綜上所述三個(gè)類型的傳染病模型、和均為微分方程微分方程就是根據(jù)此種生物類型的實(shí)際問題和其他的物理、幾何、化學(xué)等的實(shí)際問題所受到的啟發(fā)。2、 微分方程的推導(dǎo) 1.1術(shù)語(yǔ)和記號(hào) 當(dāng)我們用微分方程處理問題時(shí)，習(xí)慣性地用替代，用替代，更高階的導(dǎo)數(shù)可以記為、等。當(dāng)然其他字母，如,等等都可以用來(lái)代替.微分方程的階，意思是出現(xiàn)在其中的導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)。

6、例如，是一階，微分方程就是一個(gè)二階方程。 1.2 微分方程的推導(dǎo) 三、微分方程有哪些類型微分方程的類型：常微分方程（自變量的個(gè)數(shù) 1個(gè)）；偏微分方程（自變量的個(gè)數(shù)2或2個(gè)以上） 1.1 常微分方程（自變量的個(gè)數(shù)只有1個(gè)）： 上述兩個(gè)常微分方程（自變量： 未知函數(shù)：） 常微分方程的發(fā)展階段： 發(fā)展初期就是對(duì)具體的常微分方程希望能用初等函數(shù)或超越函數(shù)表示其解，屬于“求通解”時(shí)代。萊布尼茨（Leibniz）曾經(jīng)專門有研究利用變量變換解決一階微分方程的求解問題。 早期的常微分方程的求解熱潮被劉維爾（Liouville）于1841年證明里卡帝方程不存在一般的初等解而中斷。再加上柯西（Cauchy）初值問

7、題的提出，常微分方程從“求通解”轉(zhuǎn)向了“求定解”時(shí)代。首先是對(duì)常微分方程定解問題包括初值和邊值問題的解的存在性、唯一性等解的性質(zhì)的研究；其次，是針對(duì)線性微分方程，特別是二階線性微分方程，通過(guò)專門定義一些特殊函數(shù)以求解特殊方程，比如貝塞爾（Bessel）函數(shù)、勒讓德（Legendre）多項(xiàng)式等，這就促成了微分方程與復(fù)變函數(shù)論結(jié)合產(chǎn)生微分方程解析理論。最后，因?yàn)樘煳挠?jì)算的需要促進(jìn)了常微分方程攝動(dòng)理論以及小參數(shù)、冪級(jí)數(shù)等近視方法的研究。 19世紀(jì)末，天體力學(xué)中的太陽(yáng)系穩(wěn)定性問題需要研究常微分方程解的大范圍形態(tài)，從而使常微分方程的研究從“求定解問題”轉(zhuǎn)為“求所有解”的新時(shí)代。 首先，龐加萊創(chuàng)立了定性理

8、論和方法研究常微分方程解的大范圍性態(tài)。因?yàn)橄柌兀℉ilbert）提出20世紀(jì)23個(gè)數(shù)學(xué)問題中關(guān)于極限環(huán)個(gè)數(shù)的第16問題，大大促進(jìn)了定性理論的發(fā)展。 然后，就是李雅普諾夫（Lyapunov）提出的運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性理論，用于解決方程解的初值擾動(dòng)不影響原方程解得趨勢(shì)問題，在工程技術(shù)、天文、以及物理中得到廣泛應(yīng)用，先后在前蘇聯(lián)，美國(guó)都受到了很大的重視。 最后，20世紀(jì)初，伯克霍夫（Birkhoff）在動(dòng)力系統(tǒng)方面開創(chuàng)了一個(gè)新的領(lǐng)域，因?yàn)橥負(fù)浞椒ǖ臐B入，20世紀(jì)50年代后經(jīng)阿諾的（Arnold）、斯梅爾（Smale）等數(shù)學(xué)界的加入和參與，從而得到了蓬勃發(fā)展。 20世紀(jì)六七十年代以后，常微分方程由于計(jì)算機(jī)技

9、術(shù)的發(fā)展從而迎來(lái)了一個(gè)新的時(shí)期，從“求所有解”轉(zhuǎn)化為“求特殊解”的一個(gè)時(shí)代，還發(fā)現(xiàn)了具有新性質(zhì)的特殊的解和方程。在20世紀(jì)60年代洛倫茲發(fā)現(xiàn)了成為L(zhǎng)orenz方程的常微分方程，對(duì)初值敏感的特性導(dǎo)致了混沌現(xiàn)象發(fā)現(xiàn)引起了科學(xué)界的巨大震動(dòng)，斯梅爾稱之為“利用牛頓的定律推翻了牛頓決定論”。 常微分方程的研究還跟其他領(lǐng)域和學(xué)科相結(jié)合，從而出現(xiàn)各種新的研究分支，比如說(shuō)時(shí)標(biāo)微分方程、脈動(dòng)微分方程、分支理論、控制論、泛函微分方程、種群生態(tài)學(xué)、廣義微分方程等。例2 化學(xué)動(dòng)力模型 1972年，化學(xué)家Schlogt提出了分子反省的化學(xué)動(dòng)力學(xué)模型。設(shè)想一個(gè)化學(xué)反應(yīng)體系內(nèi)部包含三種化學(xué)成分、和，、是反應(yīng)物，為中間產(chǎn)物，

10、進(jìn)行這樣一組化學(xué)反應(yīng)： , 即類的一個(gè)分子反應(yīng)后變?yōu)轭惖囊粋€(gè)分子；類得一個(gè)分子與類的兩個(gè)分子反應(yīng)后變成3個(gè)類分子，相應(yīng)的反應(yīng)率分別為和；同時(shí)假定反應(yīng)是可逆的，相應(yīng)的反應(yīng)率分別為和，此處、均為正常數(shù)；、分別代表類、類和類的分子數(shù)。 既定反應(yīng)過(guò)程不涉及任何熱效應(yīng)，所有成分組成一個(gè)理想溶液，反應(yīng)動(dòng)力學(xué)滿足質(zhì)量作用定律，于是有反應(yīng)引起的各組成成分濃度的變化速率為 當(dāng)反映的條件是固定時(shí)，所有速率系數(shù)都是恒定的，設(shè)除了由于化學(xué)反應(yīng)以外各成分的濃度還是可以通過(guò)和外界環(huán)境的交換而變化，其中成分與外界的交換速率為，于是各成分濃度的變化方程為 如果只有成分和成分可以和外界交換，并通過(guò)交換而維持它們?cè)隗w系中的濃度恒

11、定，成分并不能和外界交換，它的濃度完全決定與體系內(nèi)部的動(dòng)力學(xué)，所以就有方程 在這種情況下體系的狀態(tài)僅有單個(gè)變量來(lái)表征，并且有 這就是Schlogt單分子化學(xué)動(dòng)力學(xué)模型。 考慮有兩個(gè)中間變量的化學(xué)反應(yīng)體系 但這些發(fā)行步驟的總結(jié)果是 其中和是反應(yīng)物和產(chǎn)物，假定他們的濃度可由外界控制為恒定，和是兩種反應(yīng)中的中間產(chǎn)物，他們的濃度可以自由發(fā)展，逆反應(yīng)過(guò)程可以完全忽略（自催化），則有反應(yīng)方程 這是一類雙分子化學(xué)動(dòng)力學(xué)模型。 現(xiàn)設(shè)一開放的體系中進(jìn)行著下面一系列化學(xué)反應(yīng) 假定反應(yīng)過(guò)程是恒定和均勻的，產(chǎn)物，一經(jīng)產(chǎn)生即可除去，反應(yīng)物濃度很高，無(wú)擴(kuò)散，此時(shí)對(duì)和的反應(yīng)動(dòng)力學(xué)方程為 化簡(jiǎn)上述式子可得： 此式子是3分子化

12、學(xué)動(dòng)力學(xué)模型。 終上所述、和分子的化學(xué)反應(yīng)模型均為常微分方程。 1.2偏微分方程：偏微分方程是微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)只含一個(gè)自變量，如果一個(gè)微分方程中出現(xiàn)多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，或者說(shuō)如果未知函數(shù)和幾個(gè)變量有關(guān)，而且方程中出現(xiàn)未知函數(shù)對(duì)應(yīng)幾個(gè)變量的導(dǎo)數(shù)，那么這種微分方程就是偏微分方程（自變量的個(gè)數(shù)為2個(gè)或2個(gè)以上）。 上述微分方程的自變量：、 未知函數(shù)： 因?yàn)樯鲜鑫⒎址匠痰淖宰兞總€(gè)數(shù)為3，所以該微分方程為偏微分方程。 此微分方程的自變量：、 未知函數(shù)：因?yàn)榇宋⒎址匠痰淖宰兞總€(gè)數(shù)為2，所以該微分方程為偏微分方程。1.2.1 偏微分方程為題的來(lái)源 偏微分方程是由最初研究直接來(lái)源于幾何和物理的問題最后發(fā)

13、展到一個(gè)獨(dú)立的數(shù)學(xué)分支，它的內(nèi)容比較龐大復(fù)雜，方法多種多樣。偏微分方程所討論的問題也不僅僅是來(lái)源于幾何、化學(xué)、物理、生物、力學(xué)等學(xué)科的問題，而且再解答這些問題是運(yùn)用到了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的許多工具。近幾十年來(lái)，在這個(gè)領(lǐng)域研究的工作，特別是對(duì)非線性方程的理論、運(yùn)用以及計(jì)算方法的研究都能起到了極大的推動(dòng)作用，十分活躍。 自然界中的各種運(yùn)輸現(xiàn)象，比如分子擴(kuò)散過(guò)程和熱傳導(dǎo)過(guò)程等等，都是可以用票無(wú)形偏微分方程的。自然界中各種穩(wěn)定的物理現(xiàn)象，比如濃度分布、穩(wěn)定的溫度分布、無(wú)旋穩(wěn)定恒電流場(chǎng)、靜電場(chǎng)等與時(shí)間無(wú)關(guān)的自然現(xiàn)象，那么這就可以建立位勢(shì)方程這樣的數(shù)學(xué)模型了，這就是純正的數(shù)學(xué)中橢圓型微分方程進(jìn)入穩(wěn)定的物理現(xiàn)象的中間

14、橋梁。自然界是一個(gè)特別大的系統(tǒng)，所以必然現(xiàn)象不過(guò)只是他其中的一個(gè)子系統(tǒng)。然而波動(dòng)系統(tǒng)、運(yùn)輸現(xiàn)象和穩(wěn)定的物理現(xiàn)象又是必然現(xiàn)象的下一層次的三個(gè)子系統(tǒng)。與之相對(duì)應(yīng)的用來(lái)描述必然現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型的經(jīng)典數(shù)學(xué)，它們分別是雙曲型、拋物型以及橢圓型偏微分方程這三個(gè)字系統(tǒng)。所以，同樣是自然界中的必然現(xiàn)象，但還是存在著層次上的差別。我們最后在建立數(shù)學(xué)模型的時(shí)候，應(yīng)該建立那種模型，這就需要我們具體問題具體分析了。1.2.2偏微分方程的發(fā)展過(guò)程 在十八世紀(jì)，歐拉在他的著作中最早的提出了弦振動(dòng)的而解方程而后不就，法國(guó)數(shù)學(xué)家達(dá)朗貝爾也在他的著作論動(dòng)力學(xué)中提出了特殊的偏微分方程。在1747年的時(shí)候，達(dá)朗貝爾又在他的論文張緊的

15、弦振動(dòng)時(shí)形成的曲線的研究中有明確的說(shuō)出弦的震動(dòng)所滿足的偏微分方程，并且還給出了其通解。而且還提議說(shuō)證明無(wú)窮多種和正弦曲線不同的曲線是振動(dòng)的模式。就這樣由對(duì)弦振動(dòng)的研究開創(chuàng)了偏微分方程這門學(xué)科。所以說(shuō)，達(dá)朗貝爾那次所發(fā)表的論文張緊的弦振動(dòng)時(shí)形成的曲線的研究就被看作為偏微分方程論的開端。不僅如此，丹尼爾·貝努利也有研究數(shù)學(xué)物理方面的問題，并且還提出了了解彈性系振動(dòng)問題的一般方法，這對(duì)偏微分方程的發(fā)展也起了比較大的作用。還有拉格朗日也有討論一階偏微分方程，更加豐富了這門學(xué)科的內(nèi)容。 偏微分方程是在十九世紀(jì)得到了迅速的發(fā)展，因?yàn)槟菚r(shí)候有許多的數(shù)學(xué)物理問題的研究都多了起來(lái)，而且也有許多的數(shù)學(xué)家

16、對(duì)那些問題的解決都做出了貢獻(xiàn)?，F(xiàn)在我們就談一談這其中的一位，他就是法國(guó)的數(shù)學(xué)家傅里葉，在他年輕的時(shí)候，他就是一個(gè)很出色的數(shù)學(xué)學(xué)者。他在對(duì)熱流動(dòng)的研究中，寫出了熱的解析理論，并且他在文章中提出了三維空間的熱方程，而且他還解決它特殊條件下的熱傳導(dǎo)問題，也就是滿足邊界條件和初始條件的偏微分方程的求解。這種熱方程就是一種偏微分方程。他的研究對(duì)于偏微分方程的發(fā)展有著非常大的影響。1.2.3 偏微分方程的發(fā)展趨勢(shì) 隨著物理學(xué)研究現(xiàn)象的廣度和深度的拓展，偏微分方程的運(yùn)用范圍就更加的廣泛。我們從數(shù)學(xué)自身的角度看，可以發(fā)現(xiàn)偏微分方程的求解促使著數(shù)學(xué)在函數(shù)論、常微分方程、微分幾何、變分法、代數(shù)、級(jí)數(shù)展開的方面進(jìn)行

17、發(fā)展。由此可見，偏微分方程就變成了數(shù)學(xué)的中心。 20世紀(jì)很多數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家在關(guān)于數(shù)學(xué)物理方程的研究有著前所未有的發(fā)展，這些發(fā)展有著如下的特點(diǎn)以及趨勢(shì)： 1.在很多大自然科學(xué)以及工程技術(shù)中所提及的數(shù)學(xué)問題大多都是非線性偏微分方程，即使是有部分的線性偏微分方程的問題，但是由于最后研究的深入，我們還是要考慮非線性偏微分方程的問題，而且研究非線性偏微分方程難度很大，但是對(duì)線性偏微分方程的已有結(jié)論很有啟示。 2.實(shí)踐中的問題大多數(shù)都是由多種因素相互影響、相互作用的。所以有很多數(shù)學(xué)模型都是由非線性偏微分方程組成的。比如說(shuō)：電磁流體力學(xué)方程組、反應(yīng)擴(kuò)散方程組、輻射流體方程組、流體力學(xué)方程組等等，這在數(shù)學(xué)上

18、稱之為雙曲-拋物線方程組。 3.偏微分方程現(xiàn)在不僅僅只是描述力學(xué)、物理等的數(shù)學(xué)模型，而且還能描述生物學(xué)、化學(xué)、農(nóng)業(yè)、醫(yī)學(xué)以及環(huán)保領(lǐng)域，甚至還在經(jīng)濟(jì)等社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域都能不斷的提出一些重要的偏微分方程。 4.隨著科技的不斷發(fā)展，偏微分方程也在不斷的發(fā)展、進(jìn)步和完善。 例3馬爾薩斯模型(偏微分方程在人口問題中的應(yīng)用)人口問題是大家都很感興趣的問題(這里所說(shuō)的人口是廣義的，并不一定限于人，可以是任何一個(gè)與人有類似性質(zhì)的生命群體)。對(duì)人口的發(fā)展進(jìn)行研究最先所采用的大多是常微分方程模型。設(shè)想表示時(shí)刻的人口總數(shù)，為初始時(shí)刻時(shí)人口總數(shù)，表示人口凈增長(zhǎng)率。馬爾薩斯模型只在群體總數(shù)不太大時(shí)才合理。因?yàn)楫?dāng)生物群體總數(shù)

19、增大時(shí)，生物群體的各成員之間由于有限的生存空間、有限的自然資源及食物等原因，就要進(jìn)行生存競(jìng)爭(zhēng)。而馬爾薩斯模型僅考慮了群體總數(shù)的自然線性增長(zhǎng)項(xiàng)，沒有考慮生存競(jìng)爭(zhēng)對(duì)群體總數(shù)增長(zhǎng)的抵消作用。因此在群體總數(shù)大了以后，馬爾薩斯模型就不再能預(yù)見群體發(fā)展趨勢(shì)，這時(shí)就要采用威爾霍斯特模型： 其中，稱為生命系數(shù)，而且比要小很多。就是考慮到生存競(jìng)爭(zhēng)而引入的競(jìng)爭(zhēng)項(xiàng)。當(dāng)群體總數(shù)不太大時(shí)，由于比小很多，則可以略去上面方程中右端的第二項(xiàng)而回到馬爾薩斯模型。但是當(dāng)群體總數(shù)增大到一定的程度時(shí)，上面方程中右端的第二項(xiàng)所產(chǎn)生的影響就不能忽略。 不論是馬爾薩斯模型還是維爾霍斯特模型，它們都是將生物群體中的每一個(gè)個(gè)體視為同等地位來(lái)對(duì)

20、待，這個(gè)則只適用于低等動(dòng)物。對(duì)于人類群體來(lái)說(shuō)，必須考慮不同個(gè)體之間的差別，特別是年齡因素的影響。人口的數(shù)量不僅和時(shí)間有關(guān)，還應(yīng)該和年齡有關(guān)，而且人口的出生、死亡等都和年齡有關(guān)。不考慮年齡因素就不能正確的把握人口的發(fā)展動(dòng)態(tài)。這時(shí)，就必須給出用偏微分方程描述的人口模型： 其中，表示任意時(shí)刻按年齡的人口分布密度，表示年齡為的人口死亡率，表示年齡為的人的生育率，表示可以生育的最低年齡，表示人的最大年齡。 對(duì)于上述偏微分方程模型成立如下結(jié)論：定理1：對(duì)偏微分方程的處置問題，如果下列條件成立：A. 在區(qū)間上，且適當(dāng)光滑；B. 在區(qū)間上，且適當(dāng)光滑，并且當(dāng)時(shí)，及；C. ；D. 。則該初邊值問題存在唯一的整體

21、解并且滿足且。 該模型在經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化假設(shè)后，例如假設(shè)，就可以回到前面的常微分方程模型。但在偏微分方程模型中、均與年齡有關(guān)，這與現(xiàn)實(shí)情況相符。因此，片微分方程模型確實(shí)更進(jìn)一步、更能精確地描述人口分布的發(fā)展過(guò)程。四求微分方程的解1.1 基本概念 微分方程的解：代入微分方程能使其兩端成為恒等式的函數(shù)，稱為微分方程的解（這個(gè)函數(shù)的圖形，稱為該微分方程的積分曲線）。微分方程的通解：如果微分方程的解中含有獨(dú)立的任意常數(shù)，且任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同，則這樣的解稱為微分方程的通解。附注：所為函數(shù)含有個(gè)獨(dú)立常數(shù)、，是指存在（）的某個(gè)鄰域，使得行列式，其中表示對(duì)的階導(dǎo)數(shù)。微分方程的初始條件：確定微分方

22、程通解中任意常數(shù)所給出的條件，稱為定解條件. 如果這樣的定解條件是在同一時(shí)刻給出的，稱為微分方程的初始條件。 微分方程的特解：由初始條件定出通解中的任意常數(shù)后得到的解，稱為微分方程的特解. 附注：有的參考書上將微分方程的特解定義為：由初始條件定出通解中的任意常數(shù)后得到的解或不含任意常數(shù)的解，稱為微分方程的特解. 這個(gè)定義比教材上更廣泛些. 例如，對(duì)于微分方程，其通解為.易證函數(shù)也是該方程的解，但他不能由通解中去適當(dāng)?shù)某?shù)得到。按照教材的定義，他就不是特解。1.2 微分方程的類型及解法1.2.1一階微分方程 .可變量分離的微分方程。 形如 或 的微分方程，稱為可變量分離的微分方程。這里可假設(shè)，分

23、別是，的連續(xù)函數(shù)。 當(dāng)時(shí)，方程可寫成 兩端分別積分可以得到原方程的通解 如果存在使得，則也是該方程的解。附注：這種形式的解，有時(shí)可能包含在通解中（即可在通解中取適當(dāng)?shù)某?shù)得到），有時(shí)不包含在通解中（即在通解中取任意常數(shù)都得不到這種解）. 另一方面，若只求方程的通解，可不考慮這種形式的解。例4.求解方程解： 將變量分離，得到 兩邊同時(shí)積分，可得 因而，通解可得 這里為任意正常數(shù)。或者解出，寫出顯函數(shù)形式的解 例5.求解人口增長(zhǎng)的logistic模型 解：應(yīng)用變量方法并對(duì)分式分解化為 兩邊積分可得 其中為任意常數(shù)，化解方程可得 解得 其中將初值條件時(shí)，,代入得 最后得解 .齊次微分方程 如果一階微

24、分方程中的可以寫成的函數(shù)，即 則稱這方程為齊次微分方程。求解方法是作變量代換后將其化為可分離變量方程，然后求解。令，即，于是將此代入可得 ，即 ，兩邊同時(shí)積分，可得 ，求出積分后，再用代替便可以得到齊次微分方程的通解。例6.求解方程解： 這是齊次微分方程，以及代入，則原微分方程變?yōu)?即 將上式分離變量，既有 兩邊積分可得 這里是任意常數(shù)，化簡(jiǎn)方程可得 令，可得 此外方程還有解 即 如果在中允許，則也就包括在中，這就是說(shuō)，方程的通解為。 帶回原來(lái)的變量，得到原微分方程的通解為 例7.探照燈反射鏡面的形狀。 在制造探照燈的反射鏡面時(shí)，總是要求將點(diǎn)光源射出的光線平行地反射出去，以保證探照燈有良好的方

25、向性，試求反射鏡面的幾何形狀。解：取光源所在處為坐標(biāo)原點(diǎn)，而軸平行于光的反射方向，如圖（1），設(shè)所求曲面有曲線 繞軸旋轉(zhuǎn)而成，則求反射鏡面的問題歸結(jié)為求平面上的曲線的問題。過(guò)曲線上任一點(diǎn)做切線，則由光的反射定律：入射角等于反射角，可推出 從而 注意到 及，就得到函數(shù)所應(yīng)滿足的微分方程式為 這是齊次線性方程組。令可將它化為變量分離方程，以和代入，則原微分方程可變?yōu)?于是 經(jīng)化簡(jiǎn)后可得 其中為任意正常數(shù)。微分方程就是所求的平面曲線，它就是拋物線，所以反射鏡面的形狀為旋轉(zhuǎn)拋物面 .一階線性微分方程 形如 的方程，稱為一階線性微分方程。其中，在考慮的區(qū)間上是的連續(xù)函數(shù)。若，則式可變?yōu)?則式稱為一階齊次

26、線性微分方程。式是變量分離方程，并且它的通解為 這里的為任意常數(shù)。若，則式就稱為一階非齊次線性微分方程。不難看出，是的特殊情形，所以可以設(shè)想：在中，將常數(shù)變易為的待定函數(shù)。令 微分后可得 將和代入可得 即 積分后可得 這里的為任意的常數(shù)，將代入，得到方程的通解： 這種將常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法，我們通常稱為常數(shù)變易法。附注：與非線性方程不同，線性方程的通解包含了方程的所有解。求方程例8.求方程的通解，這里為常數(shù)。 解：將原方程改寫為 首先，求齊次線性微分方程 的通解，由，經(jīng)變量分離后得到此齊次線性微分方程的通解為 其次應(yīng)用常數(shù)易變法求非齊次線性微分方程的通解，為此，在上式中把看成為的待定函數(shù)，

27、即 微分后可得 把和代入可得 因此將所求的代入，即可得原方程的通解 這里為任意常數(shù)。.伯努利微分方程形如 的方程稱為伯努利微分方程，這里，為的連續(xù)函數(shù)，是常數(shù)。利用變量變化可將伯努利微分方程化為線性微分方程。事實(shí)上，對(duì)于，用乘以公式可得 引入變量變換 從而 將和代入可得 例9.求方程的通解。解：這是時(shí)的伯努利微分方程，令 算得 代入原微分方程可得 這是線性微分方程，求得它的通解為 或這就是原方程的通解。此外，方程還有解.恰當(dāng)微分方程形如 寫成微分的形式 或把，平等看待，寫成下面具有對(duì)稱形式的一階微分方程 這里假設(shè)，在某矩形域內(nèi)，的連續(xù)函數(shù)，且具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)。如果方程的左端恰好是某個(gè)二元函

28、數(shù)的全微分，即 則稱為恰當(dāng)微分方程。例10.求的通解。 解：令,，這時(shí) ，因此方程是恰當(dāng)微分方程。現(xiàn)在求，是它同時(shí)滿足如下兩個(gè)方程： 由對(duì)積分，得到 為了確定，將對(duì)求導(dǎo)數(shù)，并使它滿足，既得 于是 積分后可得 將代入，得到 因此，方程的通解為 這里是任意函數(shù)。5 定性理論和穩(wěn)定性理論.定性理論：幾何方法研究微分方程，在不求解的情況下，直接考察微分方程的系數(shù)和方程本身的結(jié)構(gòu)，從而研究解的性質(zhì)（比如曲線的形狀、結(jié)構(gòu)與趨勢(shì)等）。由法國(guó)數(shù)學(xué)家龐加萊(Poincaré,1854-1912)在19世紀(jì)80年代所創(chuàng)立.穩(wěn)定性理論：定性理論的延伸和發(fā)展。由俄國(guó)數(shù)學(xué)家李雅普羅夫(Liapunov,1857-1918)在同年代所創(chuàng)立，所以也稱為李雅普諾夫。讓我們從一個(gè)簡(jiǎn)單的方程談起，考慮一階非