平面彎曲習題解答

1、第8-9章平面彎曲主要知識點：(1)平面彎曲的概念；(2)平面彎曲內(nèi)力剪力和彎矩;(3)剪力圖和彎矩圖；平面彎曲內(nèi)力剪力和彎矩1.計算下圖所示各梁1、2、3、4截面上的剪力和彎矩解：a) (1)考慮整體平衡，可解 A、D支座反力b)i 1n12MA(Fi) 0,1 3 12kN m 5 2kN m FD 3 0i 12Fd 3.83kN nFiy 0,FA 3 1kN 5kN FD 0FA 4.17kN(2)計算截面1處的剪力和彎矩假想截面在1處把梁截開，考慮左段梁，截面處的剪力和彎矩按正方向假設。nFiy0, Fa 3 1kNFq10得得得得得得得FQ1 1.17kNn12MA(Fi) 0,

2、1 3 12kN m FQ1 1 M10i 12M12.67kN m(3)計算截面2處的剪力和彎矩 假想截面2在處把梁截開，考慮左段梁，截面處的剪力和彎矩按正方向假設。nFiy0,Fa 3 1kN Fq2 0i 1Fq2 1.17kNn12MA(Fi) 0,- 3 12kN m FQ2 1 M2 0i 12-，M22.67kN m(4)計算截面3處的剪力和彎矩假想截面在3處把梁截開，考慮右段梁，截面處的剪力和彎矩按正方向假設。 nFiy 0,Fq3 5kN Fd 0i 1FQ3 1.17kNVQ 3nMc(Fi) 0, M3 Fd 1 0 i 1M. 3.83kN m3(5)計算截面4處的剪力

3、和彎矩 假想截面在4處把梁截開，考慮右段梁，截面處的剪力和彎矩按正方向假設。nFiy 0, Fq4 Fd 0 i 1FQ4 3.83kN Q nMC(Fi)0, M4 Fd 10i 1M 4 3.83kN m截回1234剪力(kN)1.171.171.17-3.83彎矩(kN m)2.672.673.833.83得將上述結(jié)果列表如下:b)得得(1)考慮整體平衡，可解 A、C支座反力 nMA(Fi) 0, 4kN m Fc 4 2 1 4.5kN m 0 i 1Fc 1.25kNnFiy 0, Fa Fc 2 1kN 0 i 1Fa 0.75kN(2)計算截面1處的剪力和彎矩假想截面在1處把梁截

4、開，考慮左段梁，截面處的剪力和彎矩按正方向假設。nFiy 0， Fa Fqi 0 i 1得Fq1 0.75kNnMa(F。0,Fq12M1 0i 1得M11.5kN m(3)計算截面2處的剪力和彎矩假想截面2在處把梁截開，考慮左段梁，截面處的剪力和彎矩按正方向假設。nFiy 0,Fa Fq2 0i 1得FQ2 0.75kNnMA(Fi) 0, FQ2 2 4kN m M2 0 i 1得M22.5kN m(4)計算截面3處的剪力和彎矩假想截面在3處把梁截開，考慮右段梁，截面處的剪力和彎矩按正方向假設。2 1kN 022 12kN mnFiy 0, Fq3 Fc i 1FQ30.75kNn1Mc(

5、Fi) 0, M3 1i 12Mq 1kN m3(5)計算截面4處的剪力和彎矩假想截面在4處把梁截開，考慮右段梁，截面處的剪力和彎矩按正方向假設。FQ42 1kN 0FQ42kN1 2 12kN m 02mM4nMc(Fi) 0,i 1截回1234剪力(kN)0.750.750.752彎矩(kN m)1.5-2.5-1-11kN剪力圖和彎矩圖得將上述結(jié)果列表如下:M42.建立圖示梁的剪力方程和彎矩方程，并畫剪力圖和彎矩圖。解：a) (1)求支座反力nMa(F) i 1Fb l MnMb(F。i 1Fb2m(b)10kNFA l M(2)求剪力方程和彎矩方程(分段建立方程)AC段Fq(x)(0

6、xa)CB段Fq(x)M (x)M (x)Fq(x)M (x)Fb (lx)(0(a xl)yi2(0MTxm(il 'x)l)(0(a(3)作剪力圖和彎矩圖 彎矩圖是兩斜直線，在：(l x) (aa)l)C截面處有突變，突變量為x a)Mob) (1)求支座反力 疝整體平衡方程(見圖 8-2b ):nMa(F。0, Fb 2 10 3kN m 0,Fb 15kNi 1nMB(Fi) 0,Fa 2 10 1kN m 0,Fa5kNi 1(2)求剪力方程和彎矩方程梁上任取一截面(見圖8-2b),到支座A的距離為x,由截面法得該截面的剪力方程和彎矩 方程AB 段：FQ (x)5kN ,M

7、(x)5x,(0 x 2m)BC段：Fq(x)10kN ,M (x)10(3x),即 M (x) 10x30 , ( 2m x 3m)lOkNA 口 1 豆口口 口3 c圖 8-2b(3)作剪力圖和彎矩圖：AB、BC段剪力都為常數(shù)，剪力圖各為一水平直線。AB、BC段彎矩方程是x的一次函數(shù)，彎矩圖各為一斜直線。兩點可以確定一條直線，當 x 0 時，M (0) 0；當 x 2m 時，M (2) 10kNm；當 x 3m 時，M (3) 0,連A、B兩點可得AB段彎矩圖，連 B、C兩點可得BC段彎矩圖，如圖8-2b所示。3 .剪力和彎矩的正負號如何確定？梁在集中力、集中力偶及均布載荷作用下的剪 力圖

8、和彎矩圖有何特點？答：在計算內(nèi)力時，為了使考慮左段梁平衡與考慮右段梁平衡的結(jié)果一致，對剪力和彎矩的 正負號作以下規(guī)定：剪力：使截面繞其內(nèi)側(cè)任一點有順時針轉(zhuǎn)趨勢的剪力為正，反之為負。彎矩：使受彎桿件下側(cè)纖維受拉為正，使受彎桿件上側(cè)纖維受拉為負?；蛘呤故軓潡U件 向下凸時為正，反之為負。(1)當梁上有集中力作用時，剪力圖在集中力作用處有突變，突變量是集中力的大?。?彎矩圖在集中力作用處產(chǎn)生尖角。(2)當梁上有集中力偶作用時，剪力圖在集中力偶作用處不變；彎矩圖在集中力偶作用處有突變，突變量是集中力偶的大小。(3)梁的某一段內(nèi)有均布載荷作用，則剪力FQ(x)是x的一次函數(shù)，彎矩 M (x)是x的二次函數(shù)

9、。剪力圖為斜直線；若q(x)為正值，斜線向上傾斜；若 q(x)負值，斜線向下傾斜。彎矩圖為二次拋物線，當 q(x)為正值，彎矩圖為凹曲線；當q(x)為負值，彎矩圖為凸曲線。4 .什么是剪力、彎矩和載荷集度的微分關系？如何利用微分關系作梁的剪力圖和 彎矩圖？答：載荷集度q(x)、剪力FQ(x)和彎矩M(x)之間的微分關系如下：dFQ(x)丁 q(x)空 Fq(x) dxd2M (x)M q(x)利用微分關系作梁的剪力圖和彎矩圖: 1.無分布載荷作用的梁段(q=0)由于丁dx°,因此Fq(x)=常數(shù)即剪力圖為水平直線。而以詈Fq(x)為常數(shù),M (x)是x的一次函數(shù)，即彎矩圖為斜直線，其

10、斜率由FQ (x)值確定。(1)當梁上僅有集中力作用時，剪力圖在集中力作用處有突變，突變量是集中力的大?。粡澗貓D在集中力作用處產(chǎn)生尖角。(2)當梁上僅有集中力偶作用時，剪力圖在集中力偶作用處不變；彎矩圖在集中力偶作用處有突變，突變量是集中力偶的大小。2.均布載荷作用的梁段(q(x)為常數(shù))由于q(x) q ,因此dFQ(x)以剪力圖為斜直線，其斜率由dxqq,即FQ(x)是x的一次函數(shù)，M(x)是x的二次函數(shù)，所當分布載荷向上(即 q>0)確定；彎矩圖為二次拋物線。d2M (x)時，一q q>0,彎矩圖為凹曲線；反之，當分布載荷 d x,2q <0,彎矩圖為凸曲線。d M (

11、x)向下(即q<0)時，丁”d2x5.指出下圖所示各彎矩圖的錯誤，畫出正確的彎矩圖。waiuiwiib)a)解：a)彎矩圖的斜率、起點錯誤，圖 8-5a為正確的彎矩圖;b)彎矩圖應該是斜直線，圖 8-5b為正確的彎矩圖；0,125 切0.5如0.53。5的20.50加圖8-5k*C）解：c）彎矩圖中間一段不為 0,圖8-5c為正確的彎矩圖； d）彎矩圖在支撐處沒有突變，圖 8-5d為正確的彎矩圖（設6.利用剪力、彎矩與載荷集度的微分關系作圖示各梁的剪力圖和彎矩圖圖8-5解：a） （1）求支座反力由整體平衡方程（見圖 8-6a ）:Fiy 0, Fa qa qa 0,fa2qai 1Ma(

12、Q 0，M A qa a qa 2.5a0,2M A 3.5qani 1圖 8-6a(2)作剪力圖AC段剪力圖是水平線， 大小為2qa, CD段剪力圖也是水平線， 大小為qa, DB是斜直線, 確定兩個控制點Fqd qa, Fqb 0,作剪力圖如圖8-6a所示。(3)作彎矩圖AC段與CD段的彎矩圖是斜直線，求出以下控制截面的彎矩Ma3.5qa2 ,Me221.5qa , Md 0.5qa，可作這兩段斜直線。DB段由于有均布載荷作用，彎矩圖是一段拋物線，如圖 8-6a所示。b) (1)求支座反力疝整體平衡方程(見圖 8-6b ):n2Ma(F) 0, q 2a a qaFb 3a 0,Fiy 0,Fa q 2a Fb 0,得Fb得Faqa35qa3i 1 n圖 8-6b(2)作剪力圖CB段剪力圖是水平線，大小為 qa°AC段剪力圖是斜直線，確定兩個控制點Fqa 萼， 33Fqc野。