高等數(shù)學(xué)課件：7-2 可分離變量的微分方程

1、轉(zhuǎn)化 可分離變量的微分方程 第二節(jié)解分離變量方程解分離變量方程 xxfyygd)(d)(可分離變量方程可分離變量方程 )()(dd21yfxfxy0 )(d )(11xNxxMyyNyMd)( )(22 第七章 分離變量方程的解法分離變量方程的解法:xxfyygd)(d)(設(shè) y (x) 是方程的解, xxfxxxgd)(d)()(兩邊積分, 得 yygd)(xxfd)(CxFyG)()(則有恒等式 )(yG)(xF當(dāng)G(y) 與F(x) 可微且 G(y) g(y)0 時(shí), 說明由確定的隱函數(shù) y(x) 是的解. 則有稱為方程的隱式通解（或通積分）.同樣,當(dāng)F(x)= f (x)0 時(shí),上述過

2、程可逆,由確定的隱函數(shù) x(y) 也是的解. 例例1. 求微分方程yxxy23dd的通解.解解: 分離變量得xxyyd3d2兩邊積分xxyyd3d2得13lnCxyCxylnln3即13Cxey31xCee3xeCy 1CeC令( C 為任意常數(shù) )或說明說明: 在求解過程中每一步不一定是同解變形,因此可能增、減解.( 此式含分離變量時(shí)丟失的解 y = 0 )例例2. 解初值問題0d)1(d2yxxyx解解: 分離變量得xxxyyd1d2兩邊積分得Cxyln11lnln2即Cxy12由初始條件得 C = 1,112xy(其中 C 為任意常數(shù) )故所求特解為 1)0(y例例3*. 求下述微分方程

3、的通解:) 1(sin2yxy解解: 令 , 1yxu則yu1故有uu2sin1即xuuddsec2Cxutan解得Cxyx) 1tan( C 為任意常數(shù) )所求通解:練習(xí)練習(xí):.dd的通解求方程yxexy解法解法 1 分離變量xeyexyddCeexy即01)(yxeCe( C 0 )解法解法 2*, yxu令yu1則故有ueu1積分Cxeuu1dCxeuu)1 (ln( C 為任意常數(shù) )所求通解:Cyeyx)1(ln(1)d1uuueeue機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例4*. 子的含量 M 成正比,0M求在衰變過程中鈾含量 M(t) 隨時(shí)間 t 的變化規(guī)律. 解解: 根據(jù)題意,

4、 有)0(ddMtM00MMt(初始條件)對(duì)方程分離變量, MMd,lnlnCtM得即teCM利用初始條件, 得0MC 故所求鈾的變化規(guī)律為.0teMMM0Mto然后積分:td)(已知 t = 0 時(shí)鈾的含量為已知放射性元素鈾的衰變速度與當(dāng)時(shí)未衰變?cè)瓩C(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例5*.成正比,求解解: 根據(jù)牛頓第二定律列方程tvmdd00tv初始條件為對(duì)方程分離變量,mtvkmgvdd然后積分 :得Cmtvkgmk)(ln1)0( vkgm此處利用初始條件, 得)(ln1gmkC代入上式后化簡(jiǎn), 得特解并設(shè)降落傘離開跳傘塔時(shí)( t = 0 ) 速度為0,)1 (tmkekgmvmgv

5、k設(shè)降落傘從跳傘塔下落后所受空氣阻力與速度 降落傘下落速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系. kmgv t 足夠大時(shí)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 cm100例例6*. 有高 1m 的半球形容器, 水從它的底部小孔流出,.cm12S開始時(shí)容器內(nèi)盛滿了水,從小孔流出過程中, 容器里水面的高度 h 隨時(shí)間 t 的變r(jià)解解: 由水力學(xué)知, 水從孔口流出的流量為tVQddhgS262. 0即thgVd262. 0d求水小孔橫截面積化規(guī)律.流量系數(shù)孔口截面面積重力加速度設(shè)在d,ttt內(nèi)水面高度由 h 降到 ),0d(dhhhhhdhho機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 cm100rhhdhho對(duì)應(yīng)下降體積hrVd

6、d222)100(100hr2200hhhhhVd)200(d2因此得微分方程定解問題:hhhthgd)200(d262. 021000th將方程分離變量:hhhgtd)200(262. 0d2321機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 gt262. 0兩端積分, 得g262. 0hhhd)200(2321233400(h)5225hC利用初始條件, 得5101514262. 0gC因此容器內(nèi)水面高度 h 與時(shí)間 t 有下列關(guān)系:)310107(265. 4252335hhgt1000thcm100rhhdhho機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 微分方程的概念微分方程;定

7、解條件;2. 可分離變量方程的求解方法:說明說明: 通解不一定是方程的全部解 .0)(yyx有解后者是通解 , 但不包含前一個(gè)解 .例如, 方程分離變量后積分; 根據(jù)定解條件定常數(shù) .解; 階;通解; 特解 y = x 及 y = C 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (1) 找出事物的共性及可貫穿于全過程的規(guī)律列方程.常用的方法常用的方法:1) 根據(jù)幾何關(guān)系列方程2) 根據(jù)物理規(guī)律列方程3) 根據(jù)微量分析平衡關(guān)系列方程(2) 利用反映事物個(gè)性的特殊狀態(tài)確定定解條件.(3) 求通解, 并根據(jù)定解條件確定特解. 3*. 解微分方程應(yīng)用題的方法和步驟機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考與練習(xí)思考與練習(xí) 求下列方程的通解 :0d