兩直線的位置關(guān)系

1、兩直線的位置關(guān)系已知點M(2,2),N(,5,-2),點P在軸上,分別求滿足下列條件的P點坐標(biāo):(O是坐標(biāo)原點);(2)是直角.已知直線經(jīng)過點，且被兩平行直線和截得的線段之長為5，求直線的方程已知的一個定點是，、的平分線分別是，求直線的方程求經(jīng)過兩條直線和的交點，并且垂直于直線的直線的方程已知實數(shù)，滿足，求證：直線，求關(guān)于直線對稱的直線的方程已知直線，試求：(1)點關(guān)于直線的對稱點坐標(biāo)；(2)直線關(guān)于直線對稱的直線的方程；(3)直線關(guān)于點的對稱直線方程已知直線和兩點、(1)在上求一點，使最??；(2)在上求一點，使最大已知點，和直線，求一點使，且點到的距離等于2在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC，

2、O(0,0)，A(2,0)，C(0,1)，將矩形折疊，使O點落在線段BC上，設(shè)折痕所在直線的斜率為k，則k的取值范圍為如果點(5，a)在兩條平行直線6x8y10和3x4y50之間，則整數(shù)a的值如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，平行于x軸且過點A(3，2)的入射光線l1被直線l：yx反射，反射光線l2交y軸于B點，圓C過點A且與l1、l2都相切，求l2所在直線的方程和圓C的方程若動點A（x1,y1），B（x2,y2）分別在直線l1：x+y7=0和l2：x+y5=0上移動，則AB中點M到原點距離的最小值為若一直線被直線和截得的線段的中點恰好在坐標(biāo)原點，則這條直線的方程為 。直線經(jīng)過兩條直線：和的交點

3、，且分這兩條直線與軸圍成的面積為兩部分，求直線一般式方程。在ABC中，BC邊上的高所在直線方程為：x2y+1=0，A的平分線所在直線方程為：y=0，若點B的坐標(biāo)為（1，2），求點A和C的坐標(biāo).已知等腰直角三角形的斜邊所在直線方程是：3xy+2=0，直角頂點C（）,求兩條直角邊所在的直線方程和此三角形面積.題型二：直線方程的求法例4、一直線過點且夾在兩坐標(biāo)軸的有向線段被點內(nèi)分為，求這條直線的方程。過點作直線交軸，軸的正向于、，兩點，求的最小時的直線方程（變式：當(dāng)面積最小時的直線方程）一直線被兩直線截得的線段的中點恰好是坐標(biāo)原點，求這條直線的方程。已知等腰直角三角形斜過所在直線方程為，直角頂點坐標(biāo)

4、是（3，4），求兩直角過所在直線的方程。求經(jīng)過點且被兩條平行線和截得的線段長為的直線方程。已知點過作一條直線，使它包含在兩已知直線和間的線段被點平分，求這條直線方程。已知點和直線（1）求點關(guān)于直線的對稱點（2）若一束光線由點射到上，反射后經(jīng)過點，求入射光線和反射光線的方程。例5、已知，則直線一定不經(jīng)過（ ） A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限直線的交點在第一象限，則實數(shù)的取值范圍是（ ） A、（0，1） B、 C、 D、以上都不對題型三：直線系方程例6、已知直線，求平行直線，且與軸，軸相交在第一象限所成三角形面積為24的直線線方程。直線經(jīng)過的交點，與兩點的距離相等，求直線的

5、方程。已知直線，求證：不論為何實數(shù)直線經(jīng)過定點。已知直線求經(jīng)過、的交點且與已知直線平行的直線的方程。已知兩直線，相交于點，求過且垂直于直線的直線方程。小結(jié)歸納：1、過定點的直線系 恒過點過定點的直線系2、斜率為定值的直線系 斜率為若已知直線與平行的直線系為若已知直線與垂直的直線系為3、經(jīng)過兩條直線交點的在象限 過交點的直線系方程：題型四：直線恒過定點問題例7、不論為何實數(shù)，直線恒過定點 。直線在軸上截距的倒數(shù)和為常數(shù)，則直線過定點 。題型五：直線的對稱問題1、直線關(guān)于點的對稱直線問題2、點關(guān)于直線的對稱點問題關(guān)于軸的對稱點為 ；關(guān)于軸的對稱點為 ；關(guān)于直線=軸的對稱點為 ；關(guān)于直線=-軸的對稱

6、點為 ；關(guān)于直線軸的對稱點為 ；關(guān)于直線=軸的對稱點為 ；關(guān)于直線的對稱點的求法，令則3、直線關(guān)于直線的對稱直線問題關(guān)于軸，軸，對稱直線。直線關(guān)于直線的對稱直線的求法例8、求點關(guān)于直線的對稱點B的坐標(biāo)。例9、求直線關(guān)于（1，0）對稱的直線的方程。例10、求直線關(guān)于直線的對稱直線的方程。例11、已知點與點，試在軸上求一點；使得的值最小。 變式題：求函數(shù)的最小值。以點為頂點，在軸上找一點，另在直線上找一點C構(gòu)成，使其周長最小，并求出這個最小值。 直線系方程問題是高中數(shù)學(xué)中的一類重要問題，在解題中有著重要的應(yīng)用，本文將直線系在解題中的應(yīng)用作以介紹，供同學(xué)們學(xué)習(xí)時參考. 一、平行直線系方程在解題中的應(yīng)

7、用 與直線：（A,B不同時為0）平行的直線系方程為：（）. 例1已知直線：，直線：被，截得的線段長為，求直線的方程. 分析：本題是已知兩直線平行和其中一條直線方程求直線方程問題，可用平行直線系求解.解析：設(shè)：（），直線到直線所處的角為，直線、間的距離為，由題知，=1，=，由到角公式得，=，=，=，由平行線間距離公式得，=，解得=2或=4，直線方程為：或.點評：對于已知兩直線平行和其中一條直線方程求另一直線方程問題，常用平行直線系法，以簡化計算.本題也可以由兩直線平行斜率相等求出所求直線斜率，把所求直線方程設(shè)成點斜式，再利用點到直線的距離公式列出關(guān)系式求解.二、垂直直線系方程在解題中的應(yīng)用與直線

8、：（A,B不同時為0）垂直的直線系方程為：.例2已知直線是曲線的一條切線且與直線垂直，求直線的方程.分析：本題是已知兩直線垂直和其中一條直線方程求另一直線方程問題，可用垂直直線系法.解析：設(shè)：，由消去得，由與曲線相切得，=0，解得=0，：.點評：對已知兩直線垂直和其中一條直線方程求另一直線方程問題，常用垂直直線系法，可以簡化計算.本題設(shè)出切點坐標(biāo)，用導(dǎo)數(shù)求出切線斜率，利用切線與已知直線垂直，列出關(guān)于切點橫坐標(biāo)的關(guān)系式，求出切點橫坐標(biāo)，寫出直線方程.三、過定點直線系方程在解題中的應(yīng)用過定點（，）的直線系方程：（A,B不同時為0）.例 3 求過點圓的切線的方程分析：本題是過定點直線方程問題，可用定

9、點直線系法.解析：設(shè)所求直線的方程為（其中不全為零），則整理有，直線l與圓相切，圓心到直線l的距離等于半徑1，故，整理，得，即（這時），或故所求直線l的方程為或點評：對求過定點（，）的直線方程問題，常用過定點直線法，即設(shè)直線方程為: ，注意的此方程表示的是過點的所有直線（即直線系），應(yīng)用這種直線方程可以不受直線的斜率、截距等因素的限制，在實際解答問題時可以避免分類討論，有效地防止解題出現(xiàn)漏解或錯解的現(xiàn)象四、過兩直線交點的直線系方程在解題中的應(yīng)用過直線：（不同時為0）與：（不同時為0）交點的直線系方程為：（，為參數(shù)）.例4 求過直線：與直線：的交點且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程.分析：本題是過

10、兩直線交點的直線系問題，可用過交點直線系求解.解析：設(shè)所求直線方程為：，當(dāng)直線過原點時，則=0，則=1，此時所求直線方程為：；當(dāng)所求直線不過原點時，令=0，解得=，令=0，解得=，由題意得，=，解得，此時，所求直線方程為：.綜上所述，所求直線方程為：或.五、求直線系方程過定點問題例5 證明：直線(是參數(shù)且R)過定點，并求出定點坐標(biāo).分析：本題是證明直線系過定點問題，可用恒等式法和特殊直線法.解析：（恒等式法）直線方程化為:,R, ，解得，直線(是參數(shù)且R)過定點（1,1）.（特殊直線法）取=0，=1得，聯(lián)立解得，將（1,1）代入檢驗滿足方程，直線(是參數(shù)且R)過定點（1,1）.點評：對證明直線

11、系過定點問題，常用方法有恒等式法和特殊直線法，恒等式法就是將直線方程化為關(guān)于參數(shù)的恒等式形式，利用參數(shù)屬于R，則恒等式個系數(shù)為0，列出關(guān)于的方程組，通過解方程組，求出定點坐標(biāo);特殊直線法，去兩個特殊參數(shù)值，得到兩條特殊直線，通過接著兩條特殊直線的交點坐標(biāo)，并代入原直線系方程檢驗，即得定點.直線系方程及其巧妙應(yīng)用1命題的給出命題：設(shè)點在直線（其中不全為零）上，則這條直線的方程可以寫成這一結(jié)論的證明比較簡單，但值得我們注意的是直線表示的是過點的所有直線（即直線系），應(yīng)用這種直線方程可以不受直線的斜率、截距等因素的限制，在實際解答問題時可以避免分類討論，有效地防止解題出現(xiàn)漏解或錯解的現(xiàn)象2命題的應(yīng)用

12、（1）斜率問題的應(yīng)用在求過圓外一點的圓的切線方程，或直線與圓錐曲線的位置關(guān)系及兩直線的位置關(guān)系時，一般要分直線有無斜率兩種情況進(jìn)行討論而應(yīng)用直線系方程，可以避免對斜率的討論，確保求解的完整性和正確性例過點作圓的切線l，求切線l的方程解：設(shè)所求直線l的方程為（其中不全為零），則整理有，直線l與圓相切，圓心到直線l的距離等于半徑1，故，整理，得，即（這時），或故所求直線l的方程為或（2）截距問題的應(yīng)用當(dāng)題目中出現(xiàn)直線在兩坐標(biāo)軸上的“截距相等”、“截距互為相反數(shù)”、“在一坐標(biāo)軸上的截距是另一坐標(biāo)軸上的截距的倍（）”等條件時，采用截距式就會漏掉“零截距”的情況，從而丟解而應(yīng)用直線系方程，可以避免對直線

13、的截距的分類討論，確保求解的完整性和正確性例2求過點，且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程解：設(shè)所求直線方程為（其中不全為零）顯然，當(dāng)或時，所得直線方程不滿足題意故均不為零當(dāng)時，；當(dāng)時，根據(jù)題意，直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則，令，則，整理，得， 解得，或，則，或，故所求直線方程為，或編者的話：利用過點的直線系方程（其中不全為零）確定直線方程，彌補了直線方程中幾種常見的特殊直線方程形式的限制條件的不足，避免了分類討論，解法具有通用性和簡潔性下面我們用這個方法來做兩道相關(guān)的題目練習(xí)：1求過原點且與直線成30°角的直線方程l2在過點的所有直線中，求到原點的距離最遠(yuǎn)的直線方程答案：1，或2 直

14、線系問題一、過定點的直線系設(shè)定點P(x0,y0)1、用斜率k作參數(shù)的直線系方程y-y0=k(x-x0)(不包括無斜率的直線)2、用A、B作參數(shù)的直線系方程A(x-x0)+B(y-y0)=0 (A、B不全為0) 例：求經(jīng)過P(1,2)的直線L,使點A(3,3)和B(5,2)到它的距離相等.思路一:設(shè)斜率k,用點斜式,再由點距公式列方程,求k出即可.思路二:分類討論設(shè)斜率k,用點斜式,當(dāng)LAB時,由斜率相等可得k;當(dāng)L過AB的中點時,把AB中點坐標(biāo)代入L方程,可解得k.二、平行線系1、斜率是k的直線系方程y=kx+b (b為參數(shù))2、平行于Ax+By+C=0的直線系方程為Ax+By+=0 (為參數(shù)

15、)3、垂直于Ax+By+C=0的直線系方程為Bx-Ay+=0 (為參數(shù))三、過兩直線交點的直線系設(shè)L1: A1x+B1y+C1=0L2: A2x+B2y+C2=0m(A1x+B1y+C1)+n(A2x+B2y+C2)=0(m、n是參數(shù))A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2)=0(是參數(shù)但不包括L2)例：已知3a+2b=1,求證：直線ax+by+2(x-y)-1=0過定點,并求該定點坐標(biāo).思路一：由3a+2b=1得:b=(1-3a)代入直線系方程ax+by+2(x-y)-1=0整理得(2x y-1)+a(x -y)=0由, 得交點(1, )直線過定點(1, ).思路二：賦值法令a=0得b

16、= 得L1: 2x - y-1=0令b=0得a= 得L2: x y=0由, 得交點(1, )把交點坐標(biāo)代入原直線方程左邊得:左邊=(3a+2b-1)3a+2b-1=0左邊=0這說明只要3a+2b-1=0原直線過定點(1, ).例:求證:無論為何值,直線(2+)x-(1+)y-2(3+2)=0與點P(-2,2)的距離d都小于4.證明：將直線方程按參數(shù)整理得(2x-y-6)+(x-y-4)=0故該直線系恒過二直線2x-y-6=0和x-y-4=0的交點M易解得M(2,-2)求得|PM|=4所以d4而過點M垂直PM的直線方程為x-y-4=0,又無論為何值,題設(shè)直線系方程都不可能表示直線x-y-4=0d

17、<4【注】此題若按常規(guī)思路,運用點距公式求解,則運算量很大,難算結(jié)果,運用直線系過定點巧妙獲解.例題：例、 （1）證明直線l過定點； （2）若直線l交x軸負(fù)半軸于A，交y軸正半軸于B，AOB的面積為S，求S的最小值，并求此時直線l的方程； （3）若直線不經(jīng)過第四象限，求k的取值范圍。 分析：（1）證直線系過定點，可用分離參數(shù)法。 （2）求AOB面積S的最小值，應(yīng)先求出目標(biāo)函數(shù)Sf(k)，再根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征選擇最小值的求法。 （3）直線不經(jīng)過第四象限的充要條件是：直線在x軸上的截距小于或等于-2，在y軸上的截距大于或等于1?；蛴芍本€經(jīng)過定點（-2，1）知斜率大于或等于零。 解：（1）

18、直線l的方程是： 無論k取何值，直線總經(jīng)過定點（-2，1） （2）由l的方程，得： 解得：k0 解之得：k0 小結(jié)：本題證明直線系過定點問題所使用的“分離參數(shù)法”，也是證明曲線系過定點的一般方法。例、已知P（1，3），直線l：x4y10（1）求過P且平行于l的直線l1的方程；（2）求過P且垂直于l的直線l2的方程策略：由l1l的斜率關(guān)系可得，由l2l的斜率關(guān)系得4，再利用點斜式方程可求出直線l1，l2的方程由平行直線系與垂直直線系可以求出l1，l2的方程解法一：（1）直線l的斜率為且l1l，直線l1的斜率k1又l1過P（1，3），l1的方程為y3(x1)，即x4y110(2)kl且l2l，直線

19、l2的斜率為k24又l2過P(1，3)l2的方程為y34(x1)即4xy70解法二：（1）l1l且l方程為x4y10設(shè)l1的方程為x4yC0又P(1，3)在l1上14×3C0解得C11l1的方程為x4y110(2)l2l設(shè)l2的方程為4xyC0又l2過P（1，3）4×13C0解得C7l2的方程為4xy70評注：一般地，利用平行直線系和垂直直線系求直線方程會給計算帶來很大方便例、求證：不論m為何實數(shù)，直線l：(m1)x(2m1)ym5恒過一定點，并求出此定點坐標(biāo)策略：對于這類題目，只要找出兩條相交的直線，然后解出交點坐標(biāo)即可證法一：（特殊值法）當(dāng)m1時，直線l的方程為y4；當(dāng)

20、m時，直線l的方程為x9；兩直線的交點為（9，4），滿足直線l的方程(m1)x(2m1)ym5不論m為何實數(shù)，直線l：(m1)x(2m1)ym5恒過一定點（9，4）證法二：（直線系法）將方程(m1)x(2m1)ym5整理得m(x2y1)(xy5)0解方程組得不論m為何實數(shù)，定點(9，4)恒滿足方程(m1)x(2m1)ym5即不論m為何實數(shù)，直線l：(m1)x(2m1)ym5恒過一定點（9，4）評注：求某直線過定點的題目，常用的兩種方法特殊值法和直線系法例、求經(jīng)過兩直線l1：x2y40和l2：xy20的交點P，且與直線l3：3x4y50垂直的直線l的方程策略：可以先解方程組求出交點P，再利用ll

21、3求出斜率，用點斜式求l方程；求出P點后，用垂直直線系求l方程；先由過l1，l2的交點的直線系設(shè)出l方程，然后由l3l求系數(shù)解法一：解方程組得交點P（0，2）k3kl由點斜式得l：y2x即4x3y60解法二：設(shè)所求直線l：4x3yC0由解法一知：P(0，2）代入方程，得C6l：4x3y60解法三：設(shè)所求直線l：(x2y4)(xy2)0整理得(1)x(2)y240ll33(1)4(2)011l的方程為：(x2y4)11(xy2)0即4x3y60評注：解法一是常規(guī)解法，解法二用待定系數(shù)法，解法三應(yīng)用了經(jīng)過兩直線交點的直線系方程，省去了求兩直線交點的解方程組的運算利用直線系解題一、直線系的定義1、 共點直線系方程經(jīng)過兩直線的交點的直線系方程為2、 平行直線系方程與直線3、 垂直直線系方程與直線二、利用直線系解題例題：