分層抽樣與系統(tǒng)抽樣

1、分層抽樣與系統(tǒng)抽樣讀教材填要點1. 分層抽樣的概念將總體按其屬性特征分成若干類型 （有時稱作層），然后在每個類型中按照所占比例隨也 抽取一定的樣本這種抽樣方法通常叫作分層抽樣，有時也稱為類型抽樣.2. 系統(tǒng)抽樣的概念系統(tǒng)抽樣是將總體的個體進(jìn)行編號，按照簡單隨機(jī)抽樣抽取第一個樣本，然后按相同的間隔（稱為抽樣距）抽取其他樣本.系統(tǒng)抽樣又叫等距抽樣或機(jī)小問題大思維1. 分層抽樣時為什么要將總體分成互不重疊的層？提示：在總體中由于個體之間存在著明顯的差異，為了使抽取的樣本更合理， 更具有代表性，所以將總體分成互不重疊的層，而后獨(dú)立地抽取一定數(shù)量的個體.2. 系統(tǒng)抽樣的第二步中，當(dāng) 錯誤！不是整數(shù)時，從

2、總體中剔除一些個體采用的方法是什 么？影響系統(tǒng)抽樣的公平性嗎？考點一提示：剔除一些個體可以用簡單隨機(jī)抽樣抽取，不影響系統(tǒng)抽樣的公平性.分層抽樣3 : 5 : 2。若從所中、老年職工應(yīng)分,所以采用分層抽樣例1 :某企業(yè)共有3 200名職工，其中青、中、老年職工的比例為別抽取多少人？每人被抽到的可能性相同嗎有職工中抽取一個容量為400的樣本，則采用哪種抽樣方法更合理？青、自主解答因為總體由差異明顯的三部分（青、中、老年）組成的方法更合理.因為青、中、老年職工的比例是3 : 5 : 2，所以應(yīng)分別抽取：青年職工400 X錯誤！ = 120 （人）；中年職工400 X錯誤！ = 200（人）; 老年職

3、工400 X錯誤！ = 80（人）.由樣本容量為400,總體容量為3 200可知，抽樣比是錯誤！=錯誤！，所以每人被抽到的 可能性相同，均為 錯誤！。悟一法分層抽樣的步驟（1）根據(jù)已經(jīng)掌握的信息，將總體分成互不重疊的層;（2）根據(jù)總體中的個體數(shù)N和樣本容量n計算抽樣比k=錯誤！;（3）確定第i層應(yīng)該抽取的個體數(shù)目ni = NiX k（Ni為第i層所包含的個體數(shù)），使得各ni 之和為n;（4）在各層中，按步驟（3）中確定的數(shù)目在各層中隨機(jī)地抽取個體，合在一起得到容量 為n的樣本.1. 某城市有210家百貨商店，其中大型商店20家，中型商店40家，小型商店150家.為 了掌握各商店的營業(yè)情況，計劃

4、抽取一個容量為21的樣本,按照分層抽樣方法抽取時，各種百貨商店分別要抽取多少家？寫出抽樣過程.解：第一步：樣本容量與總體容量的比為 錯誤！=錯誤??；第二步：確定各種商店要抽取 的數(shù)目：大型商店：20 X錯誤！ = 2（家），中型商店：40X錯誤！= 4（家），小型商店:150 X錯誤! =15 （家）；第三步：采用簡單隨機(jī)抽樣在各層中分別抽取大型商店2家，中型商店4家，小型商店15家，綜合每層抽樣即得樣本.侶點二系統(tǒng)抽樣例2相關(guān)部門對某食品廠生產(chǎn)的303盒月餅進(jìn)行質(zhì)量檢驗， 需要從中抽取10盒，請用系統(tǒng)抽樣法完成對此樣本的抽取.自主解答第一步 將303盒月餅用隨機(jī)的方式編號.第二步 從總體中剔

5、除3盒月餅，將剩下的300盒月餅重新編號（分別為000,001，299）,并分成10段.第三步在第一段中用簡單隨機(jī)抽樣抽取起始號碼I。第四步 將編號為I, I + 30, I + 2X 30,1+ 9X 30的個體取出，組成樣本.悟一法1. 當(dāng)總體容量能被樣本容量整除時， 分段間隔k =錯誤！；當(dāng)用系統(tǒng)抽樣抽取樣本時， 通 常是將起始數(shù)s加上間隔k得到第2個個體編號（s+ k）,再加k得到第3個個體編號（s+ 2k）, 依次進(jìn)行下去，直到獲得整個樣本.2當(dāng)總體容量不能被樣本容量整除時，可以先從總體中隨機(jī)剔除幾個個體，但要注意 的是剔除過程必須是隨機(jī)的，也就是總體中的每個個體被剔除的機(jī)會均等，剔

6、除幾個個體后使總體中剩余的個體能被樣本容量整除，然后再按系統(tǒng)抽樣方法抽取樣本.2. 為了了解某地區(qū)今年高一學(xué)生期末考試數(shù)學(xué)學(xué)科的成績，擬從參加考試的15 000名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績中抽取容量為150的樣本請用系統(tǒng)抽樣寫出抽取過程.解析：（1）對全體學(xué)生的數(shù)學(xué)成績進(jìn)行編號：1,2,3,，15 000.（2） 分段：由于樣本容量與總體容量的比是1 : 100,所以我們將總體平均分為150個部分，其中每一部分包含 100個個體.（3）在第一部分即1號到100號用簡單隨機(jī)抽樣抽取一個號碼，比如是 56。（4） 以56作為起始數(shù)，然后依次抽取156,256, 356，14 956,這樣就得到容量為 150的

7、一個樣本?？键c三三種抽樣方法的靈活應(yīng)用例3選擇恰當(dāng)?shù)某闃臃椒?，并寫出抽樣過程.(1) 有30個籃球，其中，甲廠生產(chǎn)的有21個，乙廠生產(chǎn)的有 9個,現(xiàn)抽取10個作樣 品；(2) 有甲廠生產(chǎn)的30個籃球，其中一箱 21個，另一箱9個現(xiàn)取出3個作樣品；(3) 有甲廠生產(chǎn)的300個籃球，抽取10個作樣品；有甲廠生產(chǎn)的300個籃球，從中抽取 30個作樣品.自主解答(1)因總體是由差異明顯的幾部分構(gòu)成，可采用分層抽樣的方法抽取.10第一步 確定抽取個數(shù)因為錯誤！，所以甲廠生產(chǎn)的應(yīng)抽取21 X錯誤！ = 7 (個),乙廠生產(chǎn)的應(yīng)抽取 9X錯誤！ = 3 (個)；第二步 用抽簽法分別抽取甲廠生產(chǎn)的籃球 7個，

8、乙廠生產(chǎn)的籃球3個.這些籃球便組 成了我們要抽取的樣本.(2)總體容量較小，用抽簽法.第一步 將30個籃球編號，編號為 00, 01,29;第二步 將以上30個編號分別寫在一張小紙條上，揉成小球，制成號簽；第三步 把號簽放入一個不透明的袋子中，充分?jǐn)噭?；第四?從袋子中逐個抽取 3個號簽，并記錄上面的號碼；第五步找出與所得號碼對應(yīng)的籃球.(3)總體容量較大，樣本容量較小，適宜用隨機(jī)數(shù)法.第一步 將300個籃球用隨機(jī)方式編號，編號為 001,002,，300 ；第二步 在隨機(jī)數(shù)表中隨機(jī)的確定一個數(shù)作為開始，如第3行第5列的數(shù)3”開始任選一個方向作為讀數(shù)方向，比如向右讀；第三步 從數(shù)3”開始向右讀

9、，每次讀三位，凡不在001300中的數(shù)跳過去不讀，遇到已 經(jīng)讀過的數(shù)也跳過去不讀，便可依次得到241, 242, 232,283 , 039, 101 , 158,272 , 266,166這10個號碼，這就是所要抽取的 10個樣本個體的號碼.(4) 總體容量較大，樣本容量也較大，適宜用系統(tǒng)抽樣法.第一步 將300個籃球用隨機(jī)方式編號，編號為 000, 001,002,，299,并分成30 段；第二步 在第一段000,001,002，,009這十個編號中用簡單隨機(jī)抽樣抽出一個(如002)作為起始號碼；第三步 將編號為002,012, 022,，292的個體抽出，組成樣本.1.三種抽樣的適用范圍

10、不同，各自的特點也不同，但各種方法間又有密切聯(lián)系.在應(yīng)用時要根據(jù)實際情況選取合適的方法.2三種抽樣中每個個體被抽到的可能性都是相同的3某社區(qū)有 700 戶家庭，其中高收入家庭 225戶，中等收入家庭 400 戶,低收入家庭 75 戶為了調(diào)查社會購買力的某項指標(biāo)，要從中抽取一個容量為100戶的樣本，記作；某中學(xué)高二年級有12名籃球運(yùn)動員，要從中選出3人調(diào)查投籃命中率情況，記作；從某廠生產(chǎn)的 802輛轎車中抽取40輛測試某項性能，記作。為完成上述三項抽樣，則應(yīng)采取的抽樣方 法是 ( )A 簡單隨機(jī)抽樣，系統(tǒng)抽樣，分層抽樣B 分層抽樣，簡單隨機(jī)抽樣，系統(tǒng)抽樣 C 簡單隨機(jī)抽樣，分層抽樣，系統(tǒng)抽樣D

11、分層抽樣，系統(tǒng)抽樣，簡單隨機(jī)抽樣解析：對于，總體由高收入家庭、中等收入家庭和低收入家庭差異明顯的三部分組成， 而所調(diào)查的指標(biāo)與收入情況密切相關(guān)，所以應(yīng)采用分層抽樣；對于 ，總體中的個體數(shù)較少，而且所調(diào)查內(nèi)容對12名調(diào)查對象是平等的，應(yīng)采用簡單隨機(jī)抽樣；對于，總體中的個體 數(shù)較多，且個體之間差異不明顯，樣本中個體數(shù)也較多，應(yīng)采用系統(tǒng)抽樣.答案:B一個單位有職工 160 人，其中有業(yè)務(wù)人員 112人，管理人員 16人，后勤服務(wù)人員 32 人，為了了解職工的某種情況，要從中抽取一個容量為 20的樣本，試確定業(yè)務(wù)人員、管理 人員、后勤服務(wù)人員各抽取的人數(shù)是多少？解 法一：三部分所含個體數(shù)之比為112

12、: 16 : 32= 7 : 1 : 2,設(shè)三部分各抽個體數(shù)為 7x,x，2x，則由7x+ x+ 2x= 20得x= 2故業(yè)務(wù)人員、管理人員、后勤服務(wù)人員抽取的個體數(shù)分別為 14， 2 和 4.法二：由160+20= 8,所以可在各層人員中按8 : 1的比例抽取，又因為 112充=14,16七=2,32 8 = 4,所以業(yè)務(wù)人員14人，管理人員2人，后勤服務(wù)人員 4人.法三： 因為共有職工 160 人，所抽取的人數(shù)為 20,所以樣本容量與總體容量之比為 錯誤! = 錯誤 ! ,則業(yè)務(wù)人員應(yīng)抽取112X錯誤！ = 14人，管理人員應(yīng)抽16X錯誤！ = 2人，后勤服務(wù)人員 應(yīng)抽32 X錯誤！= 4

13、人.課堂訓(xùn)練：1 簡單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣之間的共同點是 ()A 都是從總體中逐個抽取B將總體分成幾部分，按事先確定的規(guī)則在各部分中抽取C抽樣過程中每個個體被抽取的機(jī)會相同D 將總體分成幾層，分層進(jìn)行抽取解析 :簡單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣的共同點是：在抽樣過程中每個個體被抽取 的概率是相同的.答案：C2 某市場想通過檢查發(fā)票及銷售記錄的2%來快速估計每月的銷量總額采取如下方法：從某本發(fā)票的存根中隨機(jī)抽一張，如15號，然后按順序往后將 65號，115號，165號，抽出，發(fā)票上的銷售額組成一個調(diào)查樣本這種抽取樣本的方法是()A 抽簽法B 隨機(jī)數(shù)法C.系統(tǒng)抽樣法D 其他的抽樣方法解析:

14、上述抽樣方法是將發(fā)票平均分成若干組，每組50 張從第一組中抽取 15號,以后各組抽取15+ 50n (n N *)號，符合系統(tǒng)抽樣的特點.答案：C3某校高三年級有男生 500人，女生400人為了解該年級學(xué)生的健康情況，從男生 中任意抽取 25 人,從女生中任意抽取 20人進(jìn)行調(diào)查，這種抽樣方法是 ()A .簡單隨機(jī)抽樣法B .抽簽法C.隨機(jī)數(shù)表法D .分層抽樣法解析 :樣本由差異明顯的幾部分組成 ,抽取的比例由每層個體占總體的比例確定，即為分層抽樣法.答案:D4. 將一個總體分為 A、B、C三層,其個體數(shù)之比為5 : 3： 2，若用分層抽樣方法抽取容 量為100的樣本，則應(yīng)從 C中抽取的個體數(shù)

15、為 .解析:錯誤！ X 100 = 20.答案：205. 將參加數(shù)學(xué)夏令營的100名同學(xué)編號為001 , 002,，100?，F(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個容量為 25的樣本，且第一段中隨機(jī)抽得的號碼為 004，則在 046至 078號中，被 抽中的人數(shù)為 .解析:抽樣距為 4,第一個號碼為 004,故 001100中是 4的整數(shù)倍的數(shù)被抽出 ,在 046 至 078 號中有 048,052,056, 060,064, 068,072, 076,共 8 個. 答案： 86. 某中學(xué)有教職工 300人,分為教學(xué)人員、管理人員、后勤服務(wù)人員三部分,其組成比 例為 8: 1: 1?，F(xiàn)用分層抽樣從中抽取容量

16、為 20的樣本,請寫出抽樣的過程.解:抽樣過程如下：(1)確定抽樣比 錯誤！=錯誤！ ； (2)確定各層抽樣數(shù)目為 錯誤！ = 16, 錯誤！ = 2,錯誤！ = 2; ( 3)用系統(tǒng)抽樣法從教學(xué)人員中抽取16人，用簡單隨機(jī)抽樣法分別從管理人員和后勤服務(wù)人員中各抽取 2 人;(4)將上述各層所抽的個體合在一起即為所 要抽取的樣本.形成性測試：一、選擇題1.某牛奶生產(chǎn)線上每隔30分鐘抽取一袋進(jìn)行檢驗，該抽樣方法記為；從某中學(xué)的30名數(shù)學(xué)愛好者中抽取 3人了解學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)情況，該抽樣方法記為。那么()A. 是系統(tǒng)抽樣, 是簡單隨機(jī)抽樣C.是簡單隨機(jī)抽樣，是系統(tǒng)抽樣解析： 對于 ,因為每隔 30分鐘抽取

17、一袋體數(shù)量少，樣本容量也小，故為簡單隨機(jī)抽樣.B. 是簡單隨機(jī)抽樣, 是簡單隨機(jī)抽樣D. 是系統(tǒng)抽樣, 是系統(tǒng)抽樣，是等間距抽樣，故為系統(tǒng)抽樣；對于，總答案： A2. (2012四川高考)交通管理部門為了解機(jī)動車駕駛員(簡稱駕駛員)對某新法規(guī)的知曉情況，對甲、乙、丙、丁四個社區(qū)做分層抽樣調(diào)查.假設(shè)四個社區(qū)駕駛員的總?cè)藬?shù)為N,其中甲社區(qū)有駕駛員 96人.若在甲、 乙、 丙、丁四個社區(qū)抽取駕駛員的人數(shù)分別為 12，21, 25，43， 則這四個社區(qū)駕駛員的總?cè)藬?shù) N 為( )A101B808C1 212D2 012解析：依題意得知，甲社區(qū)駕駛員的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的錯誤！=錯誤！，因此有 錯誤！=錯誤！

18、，解得N = 808.答案：B3一個單位有職工 800 人,其中具有高級職稱的 160 人，具有中級職稱的 320 人，具有 初級職稱的 200 人， 其余人員 120 人為了解職工收入情況， 決定采用分層抽樣的方法，從 中抽取容量為 40 的樣本則從上述各層中依次抽取的人數(shù)分別是()A12， 24,15， 9B 9,12 ， 12， 7C8， 15,12 ， 5D 8， 16， 10,6解析：由題意，各種職稱的人數(shù)比為160 : 320 : 200 : 120 = 4： 8 : 5 : 3,所以抽取的具有高、中、初級職稱的人數(shù)和其他人員的人數(shù)分別為40X錯誤！ = 8, 40X錯誤！ = 1

19、6, 40 X錯誤！ = 10,40 X錯誤！ = 6。答案:D4下列抽樣中不是系統(tǒng)抽樣的是()A 從標(biāo)有115號的15個球中，任選3個作為樣本.將15個球按從小號到大號排序， 隨機(jī)選i0號作為起始號碼，以后選i°+ 5,i°+ 10 (超過15則從1再數(shù)起)號入樣B 工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品， 在用傳送帶將產(chǎn)品送入包裝車間前,檢驗人員從傳送帶上每隔五分鐘抽取一件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗C. 進(jìn)行某一市場調(diào)查時，規(guī)定在商場門口隨機(jī)抽取一個人進(jìn)行詢問調(diào)查，直到調(diào)查到事先規(guī)定的調(diào)查人數(shù)為止D .在報告廳對與會聽眾進(jìn)行調(diào)查，通知每排(每排人數(shù)相等)座位號為14的聽眾留下來座談解析： 分析各選項中抽樣的

20、特點，與系統(tǒng)抽樣的概念、特點進(jìn)行比較.A、 D 顯然是系統(tǒng)抽樣. B 項中 ,傳送帶的速度是恒定的，實際上是將某一段時間內(nèi)生產(chǎn)的產(chǎn)品分成一組， 且可以認(rèn)為這些產(chǎn)品已經(jīng)排好，又總在某一位置抽取樣品,這正好符合系統(tǒng)抽樣的概念.選項 C 因事先不知道總體的個數(shù)，而且抽樣時不能保證每個個體等可能入樣,因此它不是系統(tǒng)抽樣. 答案： C5. 某學(xué)校有職工 140人，其中教師 91 人，教輔行政人員 28人，總務(wù)后勤人員 21 人.為 了了解職工的某種情況 ,要從中抽取一個容量為 20的樣本.以下的抽樣方法中 ,依次為簡單隨 機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣順序的是 ()方法 1：將140人從 1140編號,然后

21、制作出編號 1140的形狀、 大小相同的號簽， 并 將號簽放入同一箱子里均勻攪拌， 然后從中抽取 20個號簽， 編號與號簽相同的 20個人被選 出；方法 2：將 140 人分成 20組，每組 7 人，并將每組 7 人按 17 編號，在第一組采用抽 簽法抽出k號(1 < kw 7),其余各組k號也被抽出，20個人被選出；方法3:按20 : 140= 1 : 7的比例，從教師中抽出 13人，從教輔行政人員中抽出4人, 從總務(wù)后勤人員中抽出 3 人從各類人員中抽取所需人員時，均采用隨機(jī)數(shù)法，可抽到 20 人A .方法2,方法1方法3 B .方法2,方法3,方法1C.方法1，方法2,方法3 D

22、.方法3,方法1,方法2解析:結(jié)合簡單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣的定義判斷答案： C二、填空題6. （2012浙江高考）某個年級有男生560人，女生420人，用分層抽樣的方法從該年級全體學(xué)生中抽取一個容量為 280 的樣本,則此樣本中男生人數(shù)為 解析：由分層抽樣得，此樣本中男生人數(shù)為560X錯誤! = 160.答案：1607. （2013日照高一檢測）某學(xué)校高一、高二、高三三個年級共有學(xué)生3 500人，其中高三學(xué)生數(shù)是高一學(xué)生數(shù)的兩倍 ,高二學(xué)生數(shù)比高一學(xué)生數(shù)多 300 人,現(xiàn)在按錯誤!的抽樣比用 分層抽樣的方法抽取樣本 ,則應(yīng)抽取高一學(xué)生數(shù)為 .解析：若設(shè)高三學(xué)生數(shù)為 x，則高一學(xué)生數(shù)為

23、錯誤！，高二學(xué)生數(shù)為錯誤！ + 300,所以有x + 錯誤！ +錯誤！ + 300 = 3 500,解得x= 1 600。故高一學(xué)生數(shù)為 800,因此應(yīng)抽取高一學(xué)生數(shù)為 錯誤！ = 8答案：88. （2013中山高一檢測） 一個總體中有100個個體，隨機(jī)編號為 0、1、2、99 , 依編號順序平均分成 10個小組，組號依次為 1、2、3、10?，F(xiàn)用系統(tǒng)抽樣方法抽取一 個容量為10的樣本，規(guī)定如果在第 1組隨機(jī)抽取的號碼為 m,那么在第k組中抽取的號碼 個位數(shù)字與m+ k的個位數(shù)字相同.若 m= 6,則在第7組中抽取的號碼是 .解析:第 k組的號碼為（k 1） 10, （k 1）10 + 1,，（k 1） 10 + 9,當(dāng) m = 6、k= 7 時， 第k組抽取的號碼 m+ k的個位數(shù)字為3,所以（7 1） X 10 + 3= 63.答案：63三、解答題9. 為了調(diào)查某路口一個