數(shù)學模型-種群的相互依存

1、種群的相互依存課件題目：種群的相互依存模型專 業(yè)：數(shù)學與應用數(shù)學班級：2010 級02班學 號:2010031210學生姓名： 李瑞芳種群的相互依存摘要： 本文從種群的增長規(guī)律出發(fā)，對Logistic 模型進行修改，建立了可以獨立生存、共處時又能互相提供食物的兩種群的依存模型。并通過微分方程組描述了兩種群數(shù)量的變化規(guī)律，且對微分方程組穩(wěn)定點的分析, 得出了在共處的條件下兩種群不會同時都對對方有很大的促進作用的結(jié)論。關鍵詞：微分方程穩(wěn)定性 平衡點 Logsitic 模型 種群 matlab一、問題的提出(1) 在經(jīng)濟全球化的時代，各國的經(jīng)濟之間有什么關系呢？大家知道，美國科技發(fā)達，而中國相對于美

2、國而言，是一個盛產(chǎn)農(nóng)作物的國家，兩國之間須進行經(jīng)濟貿(mào)易往來才會使得兩國快速發(fā)展，因此， 兩國之間形成了一種在經(jīng)濟上的相互依存關系。(2) 汽車與汽油是什么關系呢？如果沒有生產(chǎn)汽車的廠家，那么生產(chǎn)出的汽油的銷量就相當小，反之， 如果某天生產(chǎn)汽油的廠家全部停產(chǎn)，那么汽車的市場可想而知. 只有當兩個廠家同時并存且正常營業(yè)時，才會快速的盈利。(3) 自然界中處于同一環(huán)境下兩個種群相互依存而共生的現(xiàn)象是很普遍的。植物可以獨立生存，昆蟲的授粉又可以提高植物的增長率，而以花粉為食物的昆蟲卻不能離開植物單獨存活。事實上， 人類與人工飼養(yǎng)的牲畜之間也有類似的關系。我們關心兩個相互依存的種群，它們之間有著類似于在

3、農(nóng)業(yè)社會中人和牛的關系。其發(fā)展和演進有著什么樣的定性性質(zhì)呢？二、問題的復述這種共生現(xiàn)象可以描述如下： 甲乙兩種群的相互依存有三種形式：1） 甲可以獨自生存，乙不能獨自生存；甲乙一起生存時相互提供食物、促進增長。2） 甲乙均可以獨自生存；甲乙一起生存時相互提供食物、促進增長。3） 甲乙均不能獨自生存；甲乙一起生存時相互提供食物、促進增長。今天的課題以形式一進行展開，一起探討形式一在自然界中的穩(wěn)定性。三、模型建立及求解（一）基本假設1、該區(qū)域內(nèi)作為考慮對象的僅有兩種群，若存在其他種群視其不對該兩種群的發(fā)展產(chǎn)生影響。2、 考慮的系統(tǒng)是封閉的，亦即無考慮種群物種個體的遷移。3、 區(qū)域足夠大，即可容納足

4、夠多的種群個體，進而可視各種群個體數(shù)是可微的，且區(qū)域可提供種群存在的資源足夠多但有限。（ 二）符號說明t ：時間Xi（t）、X2（t）：兩物種與時刻的個體數(shù)Ni、N2：兩種群的最大容納量ri、2 ：兩種群的固有增長率1 ：單位數(shù)量乙提供的供養(yǎng)甲的食物量為單位數(shù)量甲消耗的供養(yǎng)甲食物量的倍數(shù)2 ：單位數(shù)量乙提供的供養(yǎng)甲的食物量為單位數(shù)量甲消耗的供養(yǎng)甲食物量的倍形式一：甲可以獨自生存，乙不能獨自生存；甲乙一起生存時相互提供食物、促進增長1、模型假設甲可以獨自生存，數(shù)量變化服從 Logistic 規(guī)律；甲乙一起生存時乙為甲提供食物、促進增長。乙不能獨自生存；甲乙一起生存時甲為乙提供食物、促進增長；乙的

5、增長又受到本身的阻滯作用（服從Logistic 規(guī)律）。2、模型建立種群甲的數(shù)量演變規(guī)律可以寫作x1r1 x1 1X1X2(1)式子中 1工的十號，表示乙不是消耗甲的資源而是為甲提供食物。1的含N2義是，單位數(shù)量乙（相對于N2）提供的甲的食物量為單位數(shù)量甲（相對于N1）消耗的供養(yǎng)甲食物的1倍。種群乙沒有甲的存在會滅亡，設其死亡率為 2,則乙單獨存在時有X2 r2 X2（2）甲為乙提供食物，于是（2）式右端應加上甲對乙增長的促進作用，有X2（t） 2X2 1 2 2（3）式中2表示甲為乙提供食物是乙消耗的2倍顯然僅當上1時種群乙的數(shù)量才會增長。與此同時乙的增長又會受到自身的阻滯作用，（3）式右端

6、還要添加Logistic項，方程變?yōu)閄2（t） 2X2 1 '2-（4）N2 N1方程(1)、(4)構(gòu)成相互依存現(xiàn)象的數(shù)學模型。3、模型求解下面利用平衡點的穩(wěn)定性分析，討論時間足夠長以后兩個種群的變化趨向令 f(Xi,X2) riXi 1XiNiX2i NT0 , g(Xi,X2)2X2X22上 0可Ni得平衡點:P(Ni,0),P2Ni(ii)N2( 2 i),P3(0,0)線性化矩陣為A=XigXiX2 gX2i2iiXi2X2iX2 i N；riXiN22Xi 22X22對于R(Ni,0),有i2(i2),qri2(i2 i 時，Pi對于 P2 N,NUi i 2 i i 2i

7、i iri N i i ii(1i)2( 2 i)1 i 2i TT n 212 N 2 221r2 1N i 1 i 21 iq 支i)( 2 D ,穩(wěn)定條件為p, q>=0,于是當i i, 2 1時，p2穩(wěn)定;11 2對于P3(0,0),有i,qi2 ,知q恒小于零，所以P3(0,0)一定不穩(wěn)定。綜上所述，得到方程（1）、（4）的平衡點及其穩(wěn)定性分析的結(jié)果列入下表一:平衡點Pq穩(wěn)定條件Pi（Ni,O）12（ 2 1）12（ 2 1）21, 1 21P Ni（11）N2（ 2 1）1121121（11）2（ 2 1）12（11）（ 2 1）11, 2 1,11 2112121P3（0,

8、0）1212不穩(wěn)定表一種群依存模型的平衡點及其穩(wěn)定性顯然，P2點穩(wěn)定才表明兩個種群在同一環(huán)境里相互依存而共生，下面著重分析P2穩(wěn)定的條件。局部穩(wěn)定性分析：可知，只在12 1情況下，P2穩(wěn)定，甲乙才分別趨向非零的有限值，否則 由于二者均能獨立生存又互相提供食物，將使二者均趨向無窮。全局穩(wěn)定性分析：由P2點的表 達式容易看出，要使平衡點P2有實際意義，即位于相平面第 一象限（x1,x2>=0）,必須下面兩個條件中的一個：A1 : 1 1, 2 1, 1 2 1A2 : 1 1, 2 1, 1 2 1而由表一中P2點的p, q可知，僅在條件Ai下P2才是穩(wěn)定的（而在A2下P2是鞍點，不穩(wěn)定）圖

9、一畫出了條件Ai下相軌線的示意圖，其中1荒選，12亮冷。直線0和0將相平面劃分成4個區(qū)域：S1：x10, X20； S2：x10, X20； S3：x10, X20； S4：x10, X20;從四個區(qū)域中的正負不難看出其相軌線的趨向如圖一所示圖一 P2穩(wěn)定的相軌線圖4、結(jié)果分析:分析條件A1的實際意義，其關鍵部分是 2 1?？紤]到2的含義，這表示 種群甲要為乙提供足夠的食物維持其生長。而 12 1則是在2 1條件下為使 P2位于相平面第一象限所必須的，當然這要求 1很小(1 1是必要條件)。注 意到1的含義，這實際上是對乙向甲提供食物加以限制，以防止甲的過分增長。在種群依存模型(1)、(4)中

10、如果平衡點P1(N1,0)穩(wěn)定，那么種群乙滅絕，沒有種群的共存。1 1, 2 1即乙提供給甲的食物量大于甲消耗的供養(yǎng)甲的食物量，而甲提供給乙的食物量卻小于乙消耗的供養(yǎng)乙的食物量。在 1 2 1時，平衡點是穩(wěn)定的。此時甲、乙兩種群將分別趨向于非零的有限值， 否則由于二者均能獨立生存又相互提供食物，將使二者均趨向無窮。因此，在共處的條件下，兩 種群不會同時都對對方有很大的促進作用。5、數(shù)值模擬(1)為求微分方程組(1)和(4)及初始條件x1(0) x10,x2(0) x20的數(shù) 值解x1(t) , x2(t)(并作圖),分析穩(wěn)定點Pi的數(shù)值解.設ri =0.7, b =0.3 , bi = 1=1

11、, b2 = 2 =0.9, x10 =2500, x20=2000, N1 =8000, N2 =6000, 用 MatLab 軟 件求解 .首先建立就件，如下：function f=shier(t,x)r1=0.7;r2=0.3;b1=1;b2=0.9;N1=8000;N2=6000;f=r1*x(1).*(1-x(1)./N1)+b1.*x(2)./N2);r2*x(2).*(-1-x(2)./N2)+b2.*x (1)./N1);并保存為“ shier.m ,然后在Maltab命令窗口中輸入下列程序：>> ts=0:0.5:20;>> t,x=ode45(

12、9;shier',ts,2500,2000)>>plot(t,x),grid,gtext('x1(t)'),gtext('x2(t)'),pause,plot(x(:,1),x(:,2),grid執(zhí)行得到的數(shù)值結(jié)果為：5.000010.500016.000005.500011.000016.50000.50006.000011.500017.00001.00006.500012.000017.50001.50007.000012.500018.00002.00007.500013.000018.50002.50008.000013.50001

13、9.00003.00008.500014.000019.50003.50009.000014.500020.00004.00009.500015.00004.500010.000015.5000x =3.47175.61937.40021.0e+003 *1.72781.38201.19832.50004.54546.59288.01872.00001.52781.27581.14148.46390.90759.07030.66641.09839.22490.77038.91188.77230.89259.05330.65581.06429.21010.75808.89738.97410.87

14、789.03650.64541.03669.19320.74588.88319.10170.86349.02000.63521.01319.17570.73398.86929.17960.84949.00380.62510.99229.15830.72218.85549.22210.83568.98780.61520.97339.14060.71069.24330.82218.97210.95579.12270.69939.25040.80888.95660.93909.10500.68819.24670.79578.94140.92309.08760.67729.23710.78298.92

15、65可得X1（t）、X2及相軌線X2（X1）如圖二二、圖三。圖二 數(shù)值解Xi（t）、X2（t）的圖形圖三 相軌線X2（Xi）的圖形由圖可知，甲種群的數(shù)量隨著時間的增加而增加。即甲可以獨自生存，乙不能獨自生存。亦即當 2 1, 1 2 1時，平衡點弓31,0）是穩(wěn)定點，此時種群依 存模型是全局穩(wěn)定的。驗證了平衡點P（Ni，0）的穩(wěn)定條件是正確的。（2）為求微分方程組（1）和（4）及初始條件xi（0） Xi0,X2（0） X20的數(shù) 值解Xi（t） , X2（t）（并作圖），分析穩(wěn)定點P2的數(shù)值解.設1=0.7, 2=0.3 , 6 =1=0.8, b2 = 2=1.2, X10 =2500, X

16、20=2000, N1=8000, N2 =6000,用MatLab 軟件求解.首先建立MC件，如下：function f=shier1（t,X）r1=0.7;r2=0.3;b1=0.8;b2=1.2;N1=8000;N2=6000;f=71*X（1）.*（1-X（1）./N1）+b1.*X（2）./N2）;r2*X（2）*（-1-X（2）./N2）+b2.*X（1）./N1）；并保存為“ shielm ”，然后在Maltab命令窗口中輸入下列程序： >> ts=0:0.5:20;>> t,X=ode45('shier1',ts,2500,2000)&g

17、t;>plot(t,X),grid,gteXt('X1(t)'),gteXt('X2(t)'),pause,plot(X(:,1),X(:,2),grid執(zhí)行得到的數(shù)值結(jié)果為：4.500010.000015.50005.000010.500016.000005.500011.000016.50000.50006.000011.500017.00001.00006.500012.000017.50001.50007.000012.500018.00002.00007.500013.000018.50002.50008.000013.500019.00003.

18、00008.500014.000019.50003.50009.000014.500020.00004.00009.500015.0000x =0.14700.21541.0e+004 *0.94561.02290.15070.22080.25000.95161.02860.20000.15460.22640.34040.95691.03450.17550.15860.23210.44020.96181.04050.15820.16270.23790.54090.96671.04660.14640.16690.24380.63420.97151.05280.13880.17130.24980.71400.97631.05920.13440.17580.25600.77770.98111.06570.13240.18030.26230.82590.98591.07230.13210.18500.26870.86190.99091.07910.13300.18980.27520.88830.99601.08600.13480.19470.28190.90671.00111.09310.13730.19970.28870.92011.00640.14030.20480.9306