空間直角坐標(biāo)系及向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示ppt課件

1、（一一）空空間間直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)系系 ox、oy、oz坐標(biāo)軸坐標(biāo)軸；7.2 7.2 空間直角坐標(biāo)系及向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示空間直角坐標(biāo)系及向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示7 7. .2 2. .1 1 空空間間直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)系系1 1. .空空間間直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)系系的的建建立立（1）O 點(diǎn)坐坐標(biāo)標(biāo)原原點(diǎn)點(diǎn)； （2）三條互相垂直的數(shù)軸xyzo（3）xoy面、yoz面、zox面坐坐標(biāo)標(biāo)平平面面。x的橫坐標(biāo)點(diǎn) M； y的縱坐標(biāo)點(diǎn) M； z的豎坐標(biāo)點(diǎn) M。 2 2空空間間點(diǎn)點(diǎn)的的坐坐標(biāo)標(biāo)3 3特特殊殊點(diǎn)點(diǎn)的的坐坐標(biāo)標(biāo)（1）原點(diǎn)O（0，0，0） ；（2）坐標(biāo)軸上的點(diǎn)zzyyxx , 0 , 0: 0 , , 0: 0

2、 , 0 ,: 軸上的點(diǎn)軸上的點(diǎn)軸上的點(diǎn)； xyzoMxyz zPQR（1）M空間點(diǎn)) , , ( zyx有序?qū)崝?shù)組。 （2）的坐標(biāo)點(diǎn) M （1）卦限的概念（3）坐標(biāo)平面上的點(diǎn)zxzoxzyyozyxxoy, 0 ,: , 0: 0 ,: 面上的點(diǎn)面上的點(diǎn)面上的點(diǎn)。 4 4卦卦限限（2）各卦限中點(diǎn)的坐標(biāo)的符號(hào) 卦限 坐標(biāo) 一 二 三 四 五 六 七 八 x + - - + + - - + y + + - - + + - - z + + + + - - - - ozyx5 5與與點(diǎn)點(diǎn) 分別關(guān)于各坐標(biāo)平面、各坐標(biāo)軸分別關(guān)于各坐標(biāo)平面、各坐標(biāo)軸 以以及及原原點(diǎn)點(diǎn)對(duì)對(duì)稱稱的的點(diǎn)點(diǎn)的的坐坐標(biāo)標(biāo)。 ) ,

3、 ,(zyxM（1）),( 1zyxMxoyM面對(duì)稱的點(diǎn)為關(guān)于與點(diǎn)； （2）),( 2zyxMyozM面對(duì)稱的點(diǎn)為關(guān)于與點(diǎn)； （3）),( 3zyxMxozM面對(duì)稱的點(diǎn)為關(guān)于與點(diǎn)； （4）),( 4zyxMxM軸對(duì)稱的點(diǎn)為關(guān)于與點(diǎn)； （5）),( 5zyxMyM軸對(duì)稱的點(diǎn)為關(guān)于與點(diǎn)； （6）),( 6zyxMzM軸對(duì)稱的點(diǎn)為關(guān)于與點(diǎn)； （7）),( 7zyxMM原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)為關(guān)于與點(diǎn)。 6 6空空間間兩兩點(diǎn)點(diǎn)間間的的距距離離（1）設(shè)) , ,(1111zyxM，) , ,(2222zyxM為空間兩點(diǎn)， .)()()( 21221221221zzyyxxMMd則（2）點(diǎn)),(zyxM到原點(diǎn)的距離

4、222zyxOMd。 例 1求點(diǎn) M（4，-3，5）到原點(diǎn)及各坐標(biāo)軸的距離。 255)3(4222MO， 345)3(22MA， 415422MB， 5)3(422MC。 解：軸點(diǎn)分別作過 oxM，軸 oy，軸 oz的垂線，垂 足分別為CBA , ,，則它們的坐標(biāo)分別為)0 , 0 , 4( A， )0 , 3 , 0( B，)5 , 0 , 0( C。故所求距離分別為 7 7坐坐標(biāo)標(biāo)軸軸的的平平移移czzbyyaxx 或 czzbyyaxx。 設(shè)有兩個(gè)坐標(biāo)系) ( ) ( 新和舊zyxoxyzo，且 這兩個(gè)坐標(biāo)系的各軸對(duì)應(yīng)平行且指向相同。 設(shè)點(diǎn)M的舊坐標(biāo)為),(zyxM，新坐標(biāo)為),(zyx

5、M， 新坐標(biāo)系的原點(diǎn)在舊坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為),(cba，則 （二二）向向量量的的坐坐標(biāo)標(biāo)表表示示 1 1向向量量的的坐坐標(biāo)標(biāo)（1 1）基基向向量量（或或基基本本坐坐標(biāo)標(biāo)向向量量）（2 2）向向量量OM的的坐坐標(biāo)標(biāo)表表示示式式 設(shè)) ,(y, zxM為空間一點(diǎn)，作向量OM，CBA , ,分別為點(diǎn)在 M軸 x上，軸 y上，軸 z上的投影點(diǎn)，則A點(diǎn)在軸 x上的坐標(biāo)x 為，B點(diǎn)在軸 y上的坐標(biāo)y 為，C點(diǎn)在軸 z上的坐標(biāo)z 為，則有與軸 x、軸 y、軸 z的正向同向的單位向量，分別 kji , , 記為，稱為基向量基向量。 由向量的加法得 OCOBOAQMAQOAOM kzj yi xOM 即。 ixO

6、A ， jyOB ， kzOC 。 式稱為向量OM的坐標(biāo)表示式，記作 , y, zxOM 或) , (y, zxOM ，其中) ( , y, zx稱為向量的坐標(biāo) OM。 ),(zyxMoxyzAoBQCxyzijk ),(zyxkzj yi xOMM三元有序數(shù)組點(diǎn)一般地，設(shè)zyxaaaa, 分別為在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影向量， 平移將向量 a，使其起點(diǎn)移到O坐標(biāo)原點(diǎn)，因平移后的向 量與原向量相等，故它在坐標(biāo)軸上的投影zyxaaa, 仍為， 故 a向量的坐標(biāo)表示式為： kajaiaazyx , , zyxaaaa或 ix (2+jy2+kz 2） ix (1+jy1+kz 1）解：OAOBABa （

7、2 2）以以) , ,(111zyxA為為起起點(diǎn)點(diǎn)，) , ,(222zyxB為為終終點(diǎn)點(diǎn)的的向向量量 ABa 的的坐坐標(biāo)標(biāo)表表示示式式。ixx) (12+jyy)(12kzz) (12， , , 121212zzyyxxABaABxyzao2 2向向量量的的模模和和方方向向余余弦弦 設(shè)非零的向量 a起點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，終點(diǎn)為) , ,(zyxaaaM， 則 , ,zyxaaaa ， 222zyxaaaOMa。 a的方向可由該向量與三坐標(biāo)軸正向的夾角 , ,（其中 ,0 ) 0 ,0 ，或這三個(gè)角的 余弦cos ,cos ,cos來表示。、 、 稱為的向量 a方方向向角角； cos、cos 、co

8、s 稱為的向量 a方向余弦方向余弦。 OAM，OBM，OCM都是直角三角形， coscoscoscoscoscosaaaaaaaaaaaazyxzyx且 1coscoscos222。zyxoMaxayazaABC向量cos ,cos ,cos的模等于 1， 由方向余弦所組成的向量是單位向量， 即 cos ,cos ,cos a。 解： 4 , 4 , 3 31 ),2(2 , 1421MM，41)4(4322221MM， 413cos， 414cos， 414cos， 例 2已知) 3 2, , 1 (1M、) 1 2, , 4 (2M，21 MM求的 方向余弦以及與aMM 21同向的單位向量

9、。 . 414 ,414 ,413 a例 3設(shè)的向量 a兩個(gè)方向余弦為31cos，32cos， 又6 a，的坐標(biāo)求向量 a。 解： 1coscoscos222，31cos，32cos，32)32()31(1coscos1cos2222。 2316cos aax， 4326cos aay， 4)32(6cos aaz， 4 4, , 2 a 或 4 4, , 2 a。解：設(shè)C分點(diǎn)的坐標(biāo)為),(zyx， 則有21CMCM， 有向線段21MM分成兩個(gè)部分， 使) 1(21CMCM，xoyz1M2MC即 , , , , 222111zzyyxxzzyyxx，例 4設(shè)有兩點(diǎn)) , ,(1111zyxM和

10、) , ,(2222zyxM，將點(diǎn) C 求C分點(diǎn)的坐標(biāo)。 故有) (21xxxx， ) (21yyyy， ) (21zzzz，解之得C分點(diǎn)的坐標(biāo)： 1 21xxx，1 21yyy，1 21zzz。特別地，當(dāng)1時(shí)，得C中點(diǎn)的坐標(biāo)： 2 21xxx，2 21yyy，2 21zzz。7 72 21 1 向向量量運(yùn)運(yùn)算算的的坐坐標(biāo)標(biāo)表表示示1 1向向量量的的加加減減法法與與數(shù)數(shù)乘乘的的坐坐標(biāo)標(biāo)表表示示設(shè) kajaiaazyx ，kbjbibbzyx ， 即 , ,zyxaaaa ， , ,zyxbbbb ，則 （1） , , zzyyxxbabababa， （2） , ,zyxaaaa. 兩個(gè)非零向量

11、ab的充要條件是ab，則可寫成 ,xxab ,yyab ,zzab 或 zzyyxxababab。 例 5已知 3 , 1 , 2a，4 , 1 , 2b， 求ba，ba，ba23 。 解：ba7 , 0 , 44) ( 3 , 11 , 22； ba1 , 2 , 04) ( 3 , 11 , 22； ba23 9 , 3 , 61 , 5 , 28 , 2 , 4。 2 2數(shù)數(shù)量量積積的的坐坐標(biāo)標(biāo)表表示示 若 , ,zyxaaaa ， , ,zyxbbbb ， 則 bazzyyxxbababa 。 . 0 zzyyxxbababababa3 3兩兩非非零零向向量量夾夾角角余余弦弦的的坐坐標(biāo)

12、標(biāo)表表示示式式若 , ,zyxaaaa ， , ,zyxbbbb 均為非零向量，則.) ,cos(222222zyxzyxzzyyxxbbbaaababababababa例 6已知kjia，kjib223， 求ab、) ,cos(ba。 解：1 , 1 , 1a，2 , 2 , 3b， ab1)2(12) 1(31；511)2(231) 1(11) ,cos(222222bababa。例 7求在xoy平面上與向量kjia734垂直的單位向量。 解：7 , 3 , 4a， 設(shè)所求的單位向量為 0 , , yxb， 則有1 b，ab=0，從而得5453034122yxyxyx， 0 ,54 ,53

13、 b或 0 ,54 ,53 b。4 4向向量量積積的的坐坐標(biāo)標(biāo)表表示示 設(shè)kajaiaazyx ，kbjbibbzyx ，則 ) () (kbjbibkajaiabazyxzyx )( )( )( kibajibaiibazxyxxx )()()(kjbajjbaijbazyyyxy )()()( kkbajkbaikbazzyzxz kbabajbabaibabaxyyxxzzxyzzy) () () (， 即若,zyxaaaa 、,zyxbbbb ， 則zyxzyxbbbaaakjiba。 當(dāng) , ,zyxbbb中出現(xiàn)零時(shí)，仍用式表示，但約定 相應(yīng)的分子為零，例如 zzyyxbabaa0，

14、應(yīng)理解為xa=0，zzyybaba。 若,zyxaaaa 、,zyxbbbb 為兩非零向量，則 ab0bazzyyxxbababa （其中 , ,zyxbbb都不為零。 ）例 8求以)0 , 2 , 2(A，) 1 , 0 , 1(B，)2 , 1 , 1 (C為 頂點(diǎn)的三角形的面積。 解： ABC的面積ACABS21。 AB1 , 2 , 3， AC2 , 3 , 1， ABACkjikji75231123=7 , 5 , 1， 325)7(512121222ACABS。 問問：如何求hAB 邊上的高？ 例 9求同時(shí)垂直于向量軸和 8 , 6 , 3xa 的單位向量。 ca i=001863

15、kji=6 , 8 , 0，10)6()8(0222c，與c平 行 的 單 位 向 量 有 兩 個(gè) ： 解：取cia，ac 則，ic ) (軸即xc 。 ) ( 53 ,54 , 0同向與ccccc， ) ( 53 ,54 , 0反向與ccc。 5 5混混合合積積的的坐坐標(biāo)標(biāo)表表示示設(shè)),(zyxaaaa ，),(zyxbbbb ，),(zyxcccc ，則kccbbjccbbiccbbcccbbbkjicbyxyxzxzxzyzyzyxzyx即 zyxzyxzyxcccbbbaaacba)(。yxyxzzxzxyzyzyxccbbaccbbaccbbacba)( 故（1）三向量cba,共面0zyxzyxzyxcccbbbaaacba；（2）四點(diǎn))4 , 3 , 2 , 1)(,(izyxMiiii共面 0141414131313121212zzyyxxzzyyxxzzyyxx.例 12已知不在一平面上的四點(diǎn)),(111zyxA，),(222zyxB，),(333zyxC，),(444zyxD，求四面體ABCD的體積。解：由立體幾何知識(shí)可知，四面體的V 體積等于以向量 AB、A