概率論與數(shù)理統(tǒng)計[6]

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計6概率論與數(shù)理統(tǒng)計6第一章第一章 概率論的基本概念概率論的基本概念第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布第三章第三章 多維隨機變量及其分布多維隨機變量及其分布第四章第四章 隨機變量的數(shù)字特征隨機變量的數(shù)字特征第五章第五章 大數(shù)定律及中心極限定理大數(shù)定律及中心極限定理第六章第六章 樣本及抽樣分布樣本及抽樣分布第七章第七章 參數(shù)估計（點估計，區(qū)間估計）參數(shù)估計（點估計，區(qū)間估計）第八章第八章 假設檢驗假設檢驗 （均值、方差的檢驗；分布擬合檢驗）（均值、方差的檢驗；分布擬合檢驗）第九章第九章 一元線性回歸分析一元線性回歸分析概率論與數(shù)理統(tǒng)計6預備知識：預備知識： 排列與組合排

2、列與組合54321! 5,321!. 1 例例如如階階乘乘nn排列排列. 2種種排排法法個個排排列列共共有有個個選選從從選選排排列列knknAknnknAa )!(!)(knAknnknnnn )!(!)1()2)(1(種種排排法法個個，排排列列共共有有個個中中選選或或全全排排列列nnnAnnnAPb !)(放放回回）每每次次取取一一個個，取取后后不不（ 1回回）每次取一個，取后放）每次取一個，取后放（2種排列法種排列法個排列共有個排列共有個中取個中取knkn（不放回有序抽樣）（不放回有序抽樣）（放回有序抽樣）（放回有序抽樣）組合組合. 3種種取取法法個個共共有有個個不不同同的的元元素素選選)

3、!( !knknkAknCknkn （不放回無序抽樣）（不放回無序抽樣）概率論與數(shù)理統(tǒng)計6舉例：舉例： 求排列或組合數(shù)求排列或組合數(shù)例例1 班級共有班級共有42個學生分三組，每組個學生分三組，每組14人，現(xiàn)人，現(xiàn)在每組中任意取在每組中任意取3人。人。 (1)3人來自第一組人來自第一組 ； （2）3人來自同一組；人來自同一組；（3）3人均來自不同組；人均來自不同組；解：解：23121314)!314( ! 3!14)1(3141 Cm31431431431423)2(CCCCm 3114114114314)3( CCCm(加法原理加法原理 “或或”)(乘法原理乘法原理 “且且”)(一種試驗一種試

4、驗)概率論與數(shù)理統(tǒng)計6例例2 某產(chǎn)品共某產(chǎn)品共30件，內(nèi)含正品件，內(nèi)含正品23件，次品件，次品7件，件， 從中任取從中任取5件。件。（1）此）此5件中恰好有件中恰好有2件次品；件次品；（2）每取一件看后放回，再取下一件求前二次為）每取一件看后放回，再取下一件求前二次為次品，后三次為正品的可能數(shù)；次品，后三次為正品的可能數(shù)；（3）每取一件看后不放回，再取下一件求前二次為）每取一件看后不放回，再取下一件求前二次為次品，后三次為正品的可能數(shù)；次品，后三次為正品的可能數(shù)；解：解：（1）（不放回無序）（不放回無序）273231CCm （2）（放回有序）（放回有序）322237 m（3）（不放回有序）（不

5、放回有序）323273AAm (三種試驗三種試驗)概率論與數(shù)理統(tǒng)計6例例3 有有10本書放在書架上本書放在書架上,(1)某指定的三本書放在一起；某指定的三本書放在一起；(2)上述書是上述書是5本中文，本中文，5本外文且恰好相間排放；本外文且恰好相間排放；解：解：(1) 三本書作為一個元素，共三本書作為一個元素，共8個元素做全排列個元素做全排列(2)! 3! 8 m一本中文，一本外文為一個元素共一本中文，一本外文為一個元素共5個元素；個元素；5個元素可以任意調(diào)換；個元素可以任意調(diào)換；第一本書可以是中文或外文；第一本書可以是中文或外文；! 5! 52 m概率論與數(shù)理統(tǒng)計6例例4 某城市電話號碼升為

6、某城市電話號碼升為6位數(shù)位數(shù)(1)共有多少個號碼共有多少個號碼(2)第一位是第一位是6或或8的有多少個號碼的有多少個號碼(3)末位數(shù)是末位數(shù)是8，首位數(shù)是，首位數(shù)是6有多少個號碼有多少個號碼(4)末位數(shù)是末位數(shù)是8的有多少個號碼的有多少個號碼(5)號碼均不重復有多少個號碼號碼均不重復有多少個號碼)(106允許重復允許重復5551021010 44101101 5510110 457899 不能為不能為0概率論與數(shù)理統(tǒng)計6在自然界和人類社會中存在著兩類不同在自然界和人類社會中存在著兩類不同的現(xiàn)象，的現(xiàn)象， 一類是一類是確定性現(xiàn)象，確定性現(xiàn)象，另一類是另一類是不確不確定性現(xiàn)象（隨機現(xiàn)象）。定性現(xiàn)象

7、（隨機現(xiàn)象）。在一定條件下一定會發(fā)生或一在一定條件下一定會發(fā)生或一定不會發(fā)生的現(xiàn)象；定不會發(fā)生的現(xiàn)象；在相同條件下可能發(fā)生也可在相同條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生能不發(fā)生, 事先無法確切知道其結(jié)果的現(xiàn)象。事先無法確切知道其結(jié)果的現(xiàn)象。概率論與數(shù)理統(tǒng)計6 為了研究隨機現(xiàn)象，就要對客觀事物進行為了研究隨機現(xiàn)象，就要對客觀事物進行觀察，觀察的過程稱為觀察，觀察的過程稱為（）。）。(1) 在相同的條件下試驗可重復進行；在相同的條件下試驗可重復進行；(2) 每次試驗的結(jié)果具有多種可能性每次試驗的結(jié)果具有多種可能性, 且在試驗之且在試驗之前，試驗的所有可能結(jié)果是可以明確知道的；前，試驗的所有可能結(jié)果是可以明確

8、知道的；(3) 每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個，每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個，但在一次試驗之前卻不能肯定這次試驗會出現(xiàn)但在一次試驗之前卻不能肯定這次試驗會出現(xiàn)哪一個結(jié)果。哪一個結(jié)果。概率論與數(shù)理統(tǒng)計6人們經(jīng)過長期實踐并深入研究后，發(fā)現(xiàn)人們經(jīng)過長期實踐并深入研究后，發(fā)現(xiàn)隨機現(xiàn)象雖然具有不確定性，但在大量重復隨機現(xiàn)象雖然具有不確定性，但在大量重復試驗下，它的結(jié)果卻呈現(xiàn)出某種規(guī)律性。試驗下，它的結(jié)果卻呈現(xiàn)出某種規(guī)律性。這種在大量重復試驗中所呈現(xiàn)的規(guī)律性，這種在大量重復試驗中所呈現(xiàn)的規(guī)律性，稱為稱為。概率論和數(shù)理統(tǒng)計是數(shù)學的一個分支，概率論和數(shù)理統(tǒng)計是數(shù)學的一個分支，它研究的對象

9、是隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性。即它研究的對象是隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性。即在相同的條件下，通過大量重復的試驗來分在相同的條件下，通過大量重復的試驗來分析研究隨機現(xiàn)象出現(xiàn)的數(shù)量規(guī)律。析研究隨機現(xiàn)象出現(xiàn)的數(shù)量規(guī)律。概率論與數(shù)理統(tǒng)計6實驗者實驗者nnHfn(H)德德. .摩根摩根204810610.5181蒲蒲 豐豐404020480.5069K K. .皮爾遜皮爾遜1200060190.5016K K. .皮爾遜皮爾遜24000120120.5005維尼維尼30000149940.4998概率論與數(shù)理統(tǒng)計6對于一個試驗，盡管各次試驗的結(jié)果對于一個試驗，盡管各次試驗的結(jié)果在試驗之前無法預知，但試驗的所有可能在

10、試驗之前無法預知，但試驗的所有可能結(jié)果所組成的集合是已知的。結(jié)果所組成的集合是已知的。我們將隨機試驗我們將隨機試驗 E 的所有可能的結(jié)果的所有可能的結(jié)果所組成的集合稱為所組成的集合稱為 E 的的， 記為記為 S .樣本空間的元素，稱為樣本空間的元素，稱為。概率論與數(shù)理統(tǒng)計6 例如例如,試驗是將一枚硬幣拋擲兩次試驗是將一枚硬幣拋擲兩次,觀察正面觀察正面H、反面反面T出現(xiàn)的情況出現(xiàn)的情況: S=(H,H), (H,T), (T,H), (T,T)第第1次次第第2次次HHTHHTTT(H,T)：(T,H):(T,T)：(H,H): 在每次試驗中必有在每次試驗中必有一個樣本點出現(xiàn)且僅一個樣本點出現(xiàn)且僅

11、有一個樣本點出現(xiàn)有一個樣本點出現(xiàn) .則樣本空間則樣本空間概率論與數(shù)理統(tǒng)計6 . , : 出出現(xiàn)現(xiàn)的的情情況況和和反反面面觀觀察察正正面面拋拋一一枚枚硬硬幣幣THE1 : 的情況的情況. .和反面和反面觀察正面觀察正面將一枚硬幣拋擲三次將一枚硬幣拋擲三次, ,THE2出現(xiàn)出現(xiàn)2個樣本點個樣本點8個樣本點個樣本點概率論與數(shù)理統(tǒng)計6試驗試驗E1:拋一枚硬幣拋一枚硬幣, 觀察正面觀察正面H、反面、反面T出現(xiàn)的情況。出現(xiàn)的情況。樣本空間樣本空間S1: ,:1THS試驗試驗E2:將一枚硬幣拋擲三次將一枚硬幣拋擲三次, 觀察正面出現(xiàn)的次數(shù)。觀察正面出現(xiàn)的次數(shù)。樣本空間樣本空間S2: 3, 2, 1, 0:2

12、S試驗試驗E3:記錄某城市記錄某城市120急救電話臺一晝夜接到的呼急救電話臺一晝夜接到的呼喚次數(shù)。喚次數(shù)。樣本空間樣本空間S3: , 3, 2, 1, 0:3S試驗試驗E4:在一批燈泡中任意抽取一只在一批燈泡中任意抽取一只, 測試它的壽命。測試它的壽命。樣本空間樣本空間S4: 0|:4 ttS概率論與數(shù)理統(tǒng)計6上述試驗具有下列共同的特點上述試驗具有下列共同的特點:(1) 試驗可以在相同的條件下重復進行試驗可以在相同的條件下重復進行; (2) 每次試驗的可能結(jié)果不止一個每次試驗的可能結(jié)果不止一個, 并且能事并且能事先明確試驗的所有可能的結(jié)果先明確試驗的所有可能的結(jié)果; (3) 進行一次試驗之前不

13、能確定哪一個結(jié)果會進行一次試驗之前不能確定哪一個結(jié)果會出現(xiàn)出現(xiàn). 在概率論中將具有上述特點的試驗稱為在概率論中將具有上述特點的試驗稱為.概率論與數(shù)理統(tǒng)計6試驗試驗E的樣本空間的樣本空間S的子集稱為的子集稱為E的的，簡稱，簡稱。在每次試驗中在每次試驗中, 當且僅當這一子集中的當且僅當這一子集中的一個樣本點出現(xiàn)時，稱這一一個樣本點出現(xiàn)時，稱這一。 特別地，由一個樣本點組成的單點集，特別地，由一個樣本點組成的單點集，稱為稱為。每一基本事件對應著試驗每一基本事件對應著試驗的一個可能結(jié)果。的一個可能結(jié)果。如試驗如試驗E1有兩個基本事件：有兩個基本事件：H和和T記為記為,CBA如試驗如試驗E3有無數(shù)個基本

14、事件：有無數(shù)個基本事件：,2,1,0概率論與數(shù)理統(tǒng)計6樣本空間樣本空間S作為自身的子集，包含了所有作為自身的子集，包含了所有的樣本點，其對應的事件就是必然事件。的樣本點，其對應的事件就是必然事件?？占占?作為樣本空間作為樣本空間S的子集，它不包的子集，它不包含任何樣本點，其對應的事件就是不可含任何樣本點，其對應的事件就是不可能事件。能事件。 例：例： 設設 表示表示“擲骰子出現(xiàn)擲骰子出現(xiàn) i 點點”這一基本事件，這一基本事件，i 則樣本空間為則樣本空間為,654321 S且且,531 A 表示表示“擲骰子出現(xiàn)奇數(shù)點擲骰子出現(xiàn)奇數(shù)點” 這這一事件；一事件； 而而,65 B表示表示“擲骰子出現(xiàn)的

15、點擲骰子出現(xiàn)的點數(shù)大于或等于數(shù)大于或等于5點點”這一事件。這一事件。概率論與數(shù)理統(tǒng)計6設試驗設試驗E的樣本空間為的樣本空間為S，而，而), 2 , 1(, kABAk是是S的子集。的子集。 如果事件如果事件A發(fā)生必然導致發(fā)生必然導致B發(fā)生，即屬于發(fā)生，即屬于A的的 每一個樣本點也屬于每一個樣本點也屬于B，則稱，則稱。(或稱或稱，)記為記為AB 或或.BA SBABA 則則且且ABBA.SA 對任意事件對任意事件A概率論與數(shù)理統(tǒng)計62. “事件事件A與與B至少有一個發(fā)生至少有一個發(fā)生”這一事件稱為這一事件稱為 。 記為記為.BASBA它是由屬于它是由屬于A或?qū)儆诨驅(qū)儆贐的所有樣本點組成的的所有樣

16、本點組成的集合。集合。即：即：.|BxAxxBA 或或概率論與數(shù)理統(tǒng)計6 此定義可推廣到有限個或無限個事件。此定義可推廣到有限個或無限個事件。即：即：n個事件的和事件個事件的和事件nAAA21無限可列個事件的和事件無限可列個事件的和事件21AAniiA1 1iiA概率論與數(shù)理統(tǒng)計63. “事件事件A與與B同時發(fā)生同時發(fā)生”這一事件稱為這一事件稱為。 記為記為.BASBA它是由既屬于它是由既屬于A又屬于又屬于B的所有公共樣本點的所有公共樣本點組成的集合。組成的集合。即：即：.|BxAxxBA 且且或或 AB .概率論與數(shù)理統(tǒng)計6 此定義可推廣到有限個或無限個事件。此定義可推廣到有限個或無限個事件

17、。即：即：n個事件的積事件個事件的積事件nAAA21無限可列個事件的積事件無限可列個事件的積事件21AAniiA1 1iiA概率論與數(shù)理統(tǒng)計64. “事件事件A發(fā)生而發(fā)生而B不發(fā)生不發(fā)生”這一事件稱為這一事件稱為。記為記為.BA SBA它是由屬于它是由屬于A但不屬于但不屬于B的那些樣本點組成的那些樣本點組成的集合。的集合。即：即：.|BxAxxBA 且且概率論與數(shù)理統(tǒng)計6SBA通常把兩個通常把兩個互不相容的事件互不相容的事件A與與B的和事件的和事件5. 如果事件如果事件A與與B在一次試驗中不可能同時發(fā)在一次試驗中不可能同時發(fā)生，即生，即 則稱則稱，或，或。, AB記為記為A+B。概率論與數(shù)理統(tǒng)

18、計6如果如果n個事件個事件nAAA,21中任意兩個事件中任意兩個事件都不可能同時發(fā)生，即都不可能同時發(fā)生，即)(jiAAji 則稱這則稱這n個事件是兩兩互不相容的個事件是兩兩互不相容的?；蚝喎Q這或簡稱這n個事件是互不相容的個事件是互不相容的。如對一個試驗而言，它的各個基本事如對一個試驗而言，它的各個基本事件之間是件之間是互不相容的?；ゲ幌嗳莸?。概率論與數(shù)理統(tǒng)計6SA若事件若事件A與與B互為對立事件，則在一次試驗中，事互為對立事件，則在一次試驗中，事件件A與與B必有一個發(fā)生，且只有一個發(fā)生。必有一個發(fā)生，且只有一個發(fā)生。事件事件A的逆事件記為的逆事件記為6. 若若 且且 則稱則稱；又稱；又稱。,

19、 ABSBA A.ASA 它是由樣本空間它是由樣本空間S中所有不屬于中所有不屬于A的那些樣本的那些樣本點組成的集合。點組成的集合。A概率論與數(shù)理統(tǒng)計6設試驗設試驗E的樣本空間為的樣本空間為S, 而而CBA,是是S的子集。的子集。(1) 交換律交換律;ABBA (2) 結(jié)合律結(jié)合律;)()(CBACBA (3) 分配律分配律);()()(CABACBA (4) 德德.摩根律摩根律;BABA 另外一些常用的運算規(guī)律另外一些常用的運算規(guī)律;AA ;SAA ; AA.BABA .ABBA .)()(CBACBA ).()()(CABACBA .BABA 概率論與數(shù)理統(tǒng)計6例例1：設一個工人生產(chǎn)了四個零

20、件，又：設一個工人生產(chǎn)了四個零件，又 Ai 表示事件表示事件“他生產(chǎn)的第他生產(chǎn)的第i個零件是正品個零件是正品”( i=1,2,3,4)。試用諸。試用諸Ai 表示下列各事件。表示下列各事件。沒有一個產(chǎn)品是次品；沒有一個產(chǎn)品是次品；至少有一個產(chǎn)品是次品；至少有一個產(chǎn)品是次品；只有一個產(chǎn)品是正品；只有一個產(chǎn)品是正品；(1)至少有三個產(chǎn)品不是次品。至少有三個產(chǎn)品不是次品。4321)1(AAAA4321)2(AAAA4321)3(AAAA即最多只有一個是次品即最多只有一個是次品4321)4(AAAA4321AAAA4321AAAA4321AAAA4321AAAA4321AAAA4321AAAA4321A

21、AAA概率論與數(shù)理統(tǒng)計6例例2： 一名射手連續(xù)向某個目標射擊三次，事件一名射手連續(xù)向某個目標射擊三次，事件 Ai 表示該射手第表示該射手第i次射擊時擊中目標次射擊時擊中目標( i=1,2,3)。試用文。試用文字敘述下列事件。字敘述下列事件。21)1(AA 前兩次中至少有一次擊中。前兩次中至少有一次擊中。2)2(A第二次未擊中。第二次未擊中。321)3(AAA三次中至少有一次擊中。三次中至少有一次擊中。321)4(AAA三次都擊中。三次都擊中。23)5(AA第三次擊中但第二次未擊中。第三次擊中但第二次未擊中。32)6(AA 后二次中至少有一次未擊中。后二次中至少有一次未擊中。概率論與數(shù)理統(tǒng)計6事

22、件間的關(guān)系與運算小結(jié)事件間的關(guān)系與運算小結(jié)；中除去中除去同時發(fā)生；同時發(fā)生；與與中至少有一個發(fā)生；中至少有一個發(fā)生；，BABABAABBABA )(,)(時時不不發(fā)發(fā)生生不不能能同同時時發(fā)發(fā)生生也也不不能能同同對對立立且且時時都都不不發(fā)發(fā)生生不不能能同同時時發(fā)發(fā)生生但但允允許許同同互互不不相相容容與與互互斥斥即即，BASBAABBABAAB SAABABAAABABABAAB ;互斥分解：互斥分解： BAABABAABA包含關(guān)系：包含關(guān)系： AAAAASSSABAAAB;概率論與數(shù)理統(tǒng)計6 在相同的條件下，進行了在相同的條件下，進行了n次試驗，在這次試驗，在這n 次試驗次試驗中，事件中，事件A

23、發(fā)生的次數(shù)發(fā)生的次數(shù)nA稱為事件稱為事件A發(fā)生的發(fā)生的。比值比值nnA稱為事件稱為事件A發(fā)生的發(fā)生的， 記為記為)(Afn顯然，頻率具有下述基本性質(zhì)：顯然，頻率具有下述基本性質(zhì)：(1) 有界性有界性 ;1)(0 Afn(2) 規(guī)范性規(guī)范性 ;1)( Sfn(3) 有限可加性有限可加性 若若kAAA,21是兩兩互不相容是兩兩互不相容的事件，則的事件，則)()()(11knnknAfAfAAf 在大量重復的試驗中在大量重復的試驗中,隨機事件出現(xiàn)的隨機事件出現(xiàn)的頻率具頻率具 有穩(wěn)定有穩(wěn)定性性.即通常所說的即通常所說的統(tǒng)計規(guī)律性統(tǒng)計規(guī)律性.頻率也稱為概率的統(tǒng)計定頻率也稱為概率的統(tǒng)計定義。義。概率論與數(shù)

24、理統(tǒng)計6實驗者實驗者nnHfn(H)德德. .摩根摩根204810610.5181蒲蒲 豐豐404020480.5069K K. .皮爾遜皮爾遜1200060190.5016K K. .皮爾遜皮爾遜24000120120.5005維尼維尼30000149940.4998概率論與數(shù)理統(tǒng)計6 設設E是隨機試驗，是隨機試驗，S是它的樣本空間。是它的樣本空間。對于對于E的每一事件的每一事件A賦于一個實數(shù)，記為賦于一個實數(shù)，記為),(AP稱為事件稱為事件A的的。如果集合函數(shù)如果集合函數(shù))( P滿足下列條件：滿足下列條件：(1) 非負性：非負性：對于每一個事件對于每一個事件A，有，有; 0)( AP(2)

25、 規(guī)范性：規(guī)范性：對于必然事件對于必然事件S，有，有; 1)( SP(3) 可列可加性：可列可加性：設設,21AA是兩兩互不相容的是兩兩互不相容的事件，即事件，即 )()()(2121APAPAAP), 2 , 1,;( jijiAAji 則有則有概率的統(tǒng)計定義概率的統(tǒng)計定義(頻率頻率)具有應用價值但在理論上有缺陷具有應用價值但在理論上有缺陷概率論與數(shù)理統(tǒng)計6在第五章中，我們將證明：在第五章中，我們將證明：。接接近近于于概概率率在在一一定定意意義義下下時時，頻頻率率當當)()(APAfnn 0)( P概率的有限可加性概率的有限可加性若若nAAA,21是兩兩互不相容的事件，則有是兩兩互不相容的事

26、件，則有)()()(11nnAPAPAAP 概率論與數(shù)理統(tǒng)計6 研究隨機現(xiàn)象，不僅關(guān)心試驗中會出現(xiàn)哪研究隨機現(xiàn)象，不僅關(guān)心試驗中會出現(xiàn)哪些事件，更重要的是想知道事件出現(xiàn)的可能性大些事件，更重要的是想知道事件出現(xiàn)的可能性大小，也就是小，也就是事件的概率事件的概率. .概率是隨機事件概率是隨機事件發(fā)生可能性大小發(fā)生可能性大小的度量的度量 事件發(fā)生的可能性事件發(fā)生的可能性越大，概率就越大，概率就越大！越大！概率論與數(shù)理統(tǒng)計6 例如，了解發(fā)生意外人身事故的可能性例如，了解發(fā)生意外人身事故的可能性大小大小,確定保險金額確定保險金額. .概率論與數(shù)理統(tǒng)計6 了解來商場購物的顧客人數(shù)的各種可能了解來商場購物

27、的顧客人數(shù)的各種可能性大小，合理配置服務人員性大小，合理配置服務人員. .概率論與數(shù)理統(tǒng)計6 了解每年最大洪水超警戒線可能性大了解每年最大洪水超警戒線可能性大小，合理確定堤壩高度小，合理確定堤壩高度. .概率論與數(shù)理統(tǒng)計6);()()(,APBPABPBA 則則設設從而有從而有).()(APBP 對任一事件對任一事件A，有，有. 1)( AP對任一事件對任一事件A，有，有).(1)(APAP （逆事件的概率）（逆事件的概率）（加法公式）（加法公式）對任意兩個事件對任意兩個事件A，B 有有).()()()(ABPBPAPBAP 若若A，B互斥，則互斥，則).()()(BPAPBAP 概率論與數(shù)理

28、統(tǒng)計6加法公式可推廣到有限個事件上去。加法公式可推廣到有限個事件上去。如對任意三個事件如對任意三個事件A，B，C，有，有 )(CBAP)()()(CPBPAP )()()(BCPACPABP ).(ABCP 概率論與數(shù)理統(tǒng)計6例例1：設事件：設事件A，B的概率分別為的概率分別為 與與31.21求在下列三種情況下求在下列三種情況下)(ABP的值。的值。.81)()3(;2)1( ABPBABA）（互互斥斥；與與互互斥斥與與BA)1(AB BAB ;21)()( BPABPBA ）（2;61)()()()( APBPABPABPABABA )3( )(ABA)()()()(ABPAPABAPBAP

29、 )()()()(ABPBPAPBAP 而而.83)()()( ABPBPABP概率論與數(shù)理統(tǒng)計6例例2：設：設A, B, C是三事件，且是三事件，且,41)()()( CPBPAP.81)(, 0)()( ACPBCPABP求求A, B, C至少有一個至少有一個發(fā)生的概率。發(fā)生的概率。ABABC 0)()(3 ABPABCP知知由由性性質(zhì)質(zhì)0)( ABCPA, B, C至少有一個發(fā)生的概率至少有一個發(fā)生的概率)(CBAP)()()()()()()(ABCPBCPACPABPCPBPAP 00810414141 .85 概率論與數(shù)理統(tǒng)計63. 4.)()2();()1(,)(,)(,)(BAP

30、BAPCBAPbBPaAP求求已知已知 解：解：)()()()()()1(ABPaABPAPBAPBAP cABPBPAPBAP )()()()(cbaABP )(cBAPBAPBAP 1)(1)()()2()(2)()()(ABPBPAPBABAP 證證明明解：解：)()()(,BAPBAPBABAPBABA )()(ABPBAP)()()()(ABPBPABPAP )(2)()(ABPBPAP 概率論與數(shù)理統(tǒng)計6假定某個試驗有有限個可能的結(jié)果假定某個試驗有有限個可能的結(jié)果且所有結(jié)果在試驗中有同等可能的出現(xiàn)機會，即且所有結(jié)果在試驗中有同等可能的出現(xiàn)機會，即 的出現(xiàn)機會的出現(xiàn)機會.e1, e2

31、, ，eN , 常常把這樣的試驗結(jié)果稱為常常把這樣的試驗結(jié)果稱為“等可能概型等可能概型”.N1如擲硬幣、如擲硬幣、骰子、骰子、 摸球等。摸球等。概率論與數(shù)理統(tǒng)計6e1, e2, ，eN 試驗結(jié)果試驗結(jié)果你認為哪個你認為哪個結(jié)果出現(xiàn)的結(jié)果出現(xiàn)的可能性大？可能性大？概率論與數(shù)理統(tǒng)計6 因為抽取時這些球是完因為抽取時這些球是完全平等的，我們沒有理由認全平等的，我們沒有理由認為為10個球中的某一個會比另個球中的某一個會比另一個更容易取得一個更容易取得 . 也就是說，也就是說，10個球中的任一個被取出的個球中的任一個被取出的機會是相等的，均為機會是相等的，均為1/10. 1324 5 6 7 8 9 1

32、010個球中的任一個被取個球中的任一個被取出的機會都是出的機會都是1/102 3479108615 例如，一個袋子中裝有例如，一個袋子中裝有10 個大小、形狀完全相同的球個大小、形狀完全相同的球 . 將球編號為將球編號為110 .把球攪勻，把球攪勻，蒙上眼睛，從中任取一球蒙上眼睛，從中任取一球.概率論與數(shù)理統(tǒng)計6 我們用我們用 i 表示取到表示取到 i號球，號球， i =1,2,10 . 稱這樣一類隨機試驗為稱這樣一類隨機試驗為古典概型古典概型.34791086152且每個樣本點且每個樣本點(或者說基本或者說基本事件事件)出現(xiàn)的可能性相同出現(xiàn)的可能性相同 .S=1,2,10 ,則該試驗的樣本空

33、間則該試驗的樣本空間 如如i =21012 ip概率論與數(shù)理統(tǒng)計6 對古典概率試驗，假定樣本空間對古典概率試驗，假定樣本空間S所含的基本所含的基本事件總數(shù)為事件總數(shù)為n，事件，事件A所包含的基本事件總數(shù)為所包含的基本事件總數(shù)為k。則則nkAP )(SAmmSA 中基本事件的總數(shù)中基本事件的總數(shù)包含的基本事件數(shù)包含的基本事件數(shù)nePeeeSin1)(,21 ，若若keeA 1 iiinknePAP1)()(由于等可能及基本事件是互不相容的由于等可能及基本事件是互不相容的概率論與數(shù)理統(tǒng)計6例例1：一部四卷本的文集按任意次序放到書架上去，：一部四卷本的文集按任意次序放到書架上去， 問各冊從左到右或從

34、右到左恰成問各冊從左到右或從右到左恰成1、2、3、4的的 順序的概率是多少？順序的概率是多少？! 42 P.121 例例2：100個產(chǎn)品中有個產(chǎn)品中有3個次品，任取個次品，任取5只，求其次品只，求其次品 數(shù)分別為數(shù)分別為0，1，2，3的概率？的概率？設設 Ai 表示取出的產(chǎn)品中有表示取出的產(chǎn)品中有i個次品。個次品。)3 , 2 , 1 , 0( i )(iAPC5100 Ci3Ci 597)3 , 2 , 1 , 0( i概率論與數(shù)理統(tǒng)計6古典概型大致可歸為三類，它們具有典型的意義古典概型大致可歸為三類，它們具有典型的意義（1）抽球問題）抽球問題（2）分房問題）分房問題（3）隨機取數(shù)問題）隨機

35、取數(shù)問題概率論與數(shù)理統(tǒng)計6個個黑黑球球的的概概率率個個白白球球，求求取取得得的的球球恰恰好好是是個個，個個黑黑球球，任任取取白白球球，箱箱子子中中有有個個yxyxba )1(yxbaybxaCCCp 解：解：白球的概率白球的概率求最后取得的球恰好是求最后取得的球恰好是球取出不放回球取出不放回每每個個任連接地取任連接地取個黑球個黑球白球白球箱子中有個箱子中有個,1, kba1)!1(! kbakbaCkCakp解：解：,)!1(C,11個排列個排列對應對應種取法，每種取法種取法，每種取法但有序列，有但有序列，有個個看成一把抓看成一把抓 kkkba種種選選法法所所需需白白球球有有a各種抽球問題各種

36、抽球問題,黑白球可換成甲乙物黑白球可換成甲乙物;合格不合格等合格不合格等E:每每x+y個球構(gòu)成一基本事件個球構(gòu)成一基本事件E:每每K+1個排列好的球構(gòu)成一基本事件個排列好的球構(gòu)成一基本事件概率論與數(shù)理統(tǒng)計6間間房房，其其中中各各有有一一人人。：恰恰有有間間房房中中各各有有一一人人。：某某指指定定求求下下列列各各事事件件的的概概率率房房間間中中的的每每一一間間中中個個分分配配到到率率個個人人，每每人人以以相相同同的的概概有有nnnBA.N)N(nN1)2( .,NE人人共共間間房房間間中中之之一一去去把把一一人人分分配配到到解解：nnNn!P(A) 間，間，第二人可進第二人可進間間第一人可進第一

37、人可進間房間房對于固定的某對于固定的某間的任何一間間的任何一間每人均可進入每人均可進入1,N nnnnnNNCnBP!)( (n間房自間房自N間房中選出間房中選出)可把人看成質(zhì)點、旅客、信；房看成格子、車站、信封等可把人看成質(zhì)點、旅客、信；房看成格子、車站、信封等概率論與數(shù)理統(tǒng)計6例如：概率論中有一個歷史上頗為有名的問題：要求例如：概率論中有一個歷史上頗為有名的問題：要求 參加某次集會的參加某次集會的n個人個人 沒有兩個人生沒有兩個人生 日相同的概率？日相同的概率？ P Cn365)365( n分析：分析： 每個人的生日都以同樣的概率每個人的生日都以同樣的概率 落在一年落在一年的的365天中。

38、天中。3651現(xiàn)要求現(xiàn)要求n個人中沒有兩個人生日相同，即個人中沒有兩個人生日相同，即n個個人生日均不相同。人生日均不相同。n365!n.365)1365(364365nn nP100.88200.593040500.290.110.03概率論與數(shù)理統(tǒng)計6例例5：一袋中裝有：一袋中裝有n-1只黑球和只黑球和1只白球。每次從袋中只白球。每次從袋中 隨機摸出隨機摸出1球，并換入黑球，這樣反復進行。問球，并換入黑球，這樣反復進行。問 第第k次摸球時摸到黑球的概率是多少？次摸球時摸到黑球的概率是多少？ )(AP若以若以A表示第表示第k次摸球摸到黑球這一事件次摸球摸到黑球這一事件則則 表示第表示第k次摸球

39、摸到白球這一事件次摸球摸到白球這一事件A因袋中白球只有因袋中白球只有1只，而每次摸到白球總是換入只，而每次摸到白球總是換入1只黑球。故為了在第只黑球。故為了在第k次摸到白球，則前面的次摸到白球，則前面的 k-1次摸球一定不能摸到白球。因此次摸球一定不能摸到白球。因此A 等價于這等價于這一事件，在前面一事件，在前面k-1次摸球時都摸到黑球，而第次摸球時都摸到黑球，而第k次摸出白球。次摸出白球。kn1)1(1 knnnk1)11(1 )(1)(APAP nnk1)11(11 概率論與數(shù)理統(tǒng)計6以以 A、B、C 分別表示事件分別表示事件“取到的兩只球都是白取到的兩只球都是白球球”、“取到的兩只球都是

40、紅球取到的兩只球都是紅球”、“取到的兩只球取到的兩只球中至少有一只白球中至少有一只白球”。則則 )(AP56 34 4 . 0 )(BP56 12 067. 0 )()()(BPAPBAP 467. 0 )()(BPCP )(1BP 933. 0 例例6：P10例例2 解（解（b）不放回抽樣）不放回抽樣概率論與數(shù)理統(tǒng)計6課內(nèi)練習題課內(nèi)練習題1 .共有共有n張獎券，只有一張中獎張獎券，只有一張中獎.每人抽一張，求每人抽一張，求第第k個人中獎的概率個人中獎的概率p.(分放回和無放回分放回和無放回)答答:(放回放回)np1 (無放回無放回),1()2)(1( knnnnnS),1)1(1()2)(1

41、( knnnnA的解釋：的解釋：An張張張張中中取取得得的的余余被被取取走走的的獎獎券券只只能能是是券券只只有有一一種種取取法法即即其其發(fā)發(fā)生生時時，第第個個人人取取到到獎獎當當11A knnnnpSA1 個個人人第第個個人人第第第第四四人人第第三三人人第第二二人人第第一一人人kkknnnnn)1()1()4( )3( )2( )1(1 概率論與數(shù)理統(tǒng)計63.某班某班42名學生分成名學生分成3組，每組組，每組14人從中任意抽人從中任意抽出出3名參加體能測試。求下列事件的概率。名參加體能測試。求下列事件的概率。抽到的學生來自抽到的學生來自(1)第一組第一組(2)同一組同一組(3)不同組不同組11

42、4114114314314342)3(3)2()1! 3404142,342:CCCCCC事件樣本點數(shù)事件樣本點數(shù)；事件樣本點數(shù)事件樣本點數(shù)；事件樣本點數(shù)事件樣本點數(shù)（總樣本點共有總樣本點共有人人人抽出人抽出試驗為試驗為解解 0317. 03423141 CCp0951. 00317. 0333423142 CCp239. 03421141141143 CCCCp同一個隨機試驗。同一個隨機試驗。概率論與數(shù)理統(tǒng)計64.某種產(chǎn)品共某種產(chǎn)品共30件件.正品正品23件件,次品次品7件件,從中取從中取5件件求下列事件的概率求下列事件的概率(1)同時任取同時任取5件中恰有件中恰有2件次品件次品(2)每次取

43、一件不放回前每次取一件不放回前2件次品后件次品后3件正品件正品(3)每次取一件放回每次取一件放回,恰有恰有2件次品件次品不同的試驗不同的試驗27323530CCAC1 mn的數(shù)的數(shù)，的總數(shù)的總數(shù)）（261. 0 nmp25325C237A303 mn的數(shù)的數(shù)，的總數(shù)的總數(shù)）（27323530AAAA2 mn的的數(shù)數(shù)，的的總總數(shù)數(shù)）（0261. 0 nmp2453. 0 nmp概率論與數(shù)理統(tǒng)計65.總經(jīng)理的五位秘書有兩位精通英語，今遇其中總經(jīng)理的五位秘書有兩位精通英語，今遇其中三位秘書三位秘書,求下列事件的概率：求下列事件的概率：(1)A:其中恰有一位精通英語其中恰有一位精通英語(2) B:其中

44、恰有二位精通英語其中恰有二位精通英語(3)C其有人精通英語其有人精通英語35C本本點點總總數(shù)數(shù)為為解解：（相相同同的的試試驗驗）樣樣;103)()2( ;53)()1(351322352312 CCCBPCCCAP BABAC3，）（109BPAPCP ）（）（）（概率論與數(shù)理統(tǒng)計6二、幾何概型二、幾何概型古典古典概型須假定試驗結(jié)果是有限的，這限制了他的概型須假定試驗結(jié)果是有限的，這限制了他的適用范圍。一個直接的推廣是：保留等可能性允許適用范圍。一個直接的推廣是：保留等可能性允許試驗結(jié)果為無限個試驗結(jié)果為無限個,稱這種試驗模型為幾何概型。稱這種試驗模型為幾何概型。則則有有內(nèi)內(nèi)，的的一一個個子子

45、區(qū)區(qū)域域表表示示隨隨機機點點落落在在區(qū)區(qū)域域事事件件ASA AS)(P的度量的度量的度量的度量ASA概率論與數(shù)理統(tǒng)計6例例1某汽車站從上午某汽車站從上午7時起每隔時起每隔15分鐘來一趟車分鐘來一趟車一乘客在一乘客在7點到點到7.30之間隨機候車之間隨機候車,求求(1)A：等候不到：等候不到5分鐘乘上車的概率分鐘乘上車的概率(2)B：等候時間超過：等候時間超過10分鐘才上車的概率分鐘才上車的概率解：設解：設T為該乘客到達的時間為該乘客到達的時間 20:715:705:700:730:725:715:710:7,30:7007 TTSTTSTBA或或或或：則則10S10S30TBA ，的單位是分鐘

46、，則的單位是分鐘，則31)()( BPAP所以所以概率論與數(shù)理統(tǒng)計6例例2一質(zhì)點落在三角形內(nèi)的各點處是等可能的，求一質(zhì)點落在三角形內(nèi)的各點處是等可能的，求質(zhì)點落在直線質(zhì)點落在直線x=1/3左側(cè)的概率左側(cè)的概率113121 面積面積的度量的度量解：解A 32AS概率論與數(shù)理統(tǒng)計6例例3一半徑為一半徑為r 的錢幣隨機落在邊長為的錢幣隨機落在邊長為L的正方形的正方形桌面上。設事件桌面上。設事件A=“錢幣不與桌面的邊相交錢幣不與桌面的邊相交”求求P（A） 2A22-LSL）（，解：解：r （）（）P錢幣的極限位置在錢幣的極限位置在L-2r處處rL2 概率論與數(shù)理統(tǒng)計6例例3（

47、Buffon投針問題）投針問題）一組等距為一組等距為D的平行線的平行線將長為將長為L（L 0，則有，則有)(ABCP)(CABP )|()(ABCPABP )|()|()(ABCPABPAP 0)( BP若若)|()()(ABPAPABP )|()()(BAPBPABP 概率論與數(shù)理統(tǒng)計6例例1 口袋里有口袋里有8個白球，個白球，5個紅球，無放回抽取二次個紅球，無放回抽取二次每次每次1球。求下列各事件的概率；球。求下列各事件的概率；(1)第二次才取得紅球；第二次才取得紅球；(2)二次內(nèi)取得紅球；二次內(nèi)取得紅球；解：解：2 , 1 iiAi次取得紅球”，次取得紅球”，事件“第事件“第記記試驗試驗

48、 ：“每次取每次取1個球，取后不放回，共取個球，取后不放回，共取2個個”)|()()()1(12121AAPAPAAP為兩次均未取得紅球，為兩次均未取得紅球，則則“兩次內(nèi)取得紅球”，“兩次內(nèi)取得紅球”，設設21)2(AAB 21212121AAAAAABAAB 或或（互不相容）（互不相容） )(1)(21AAPBP 1271381)|()(1121AAPAP156100或或)()()()(212121AAPAAPAAPBP 156100125138128135124135 概率論與數(shù)理統(tǒng)計6例例2：某人忘記了電話號碼的最后一個數(shù)字，因而：某人忘記了電話號碼的最后一個數(shù)

49、字，因而他隨意地拔號他隨意地拔號. 求求(1)他拔號不超過三次而接通所需電他拔號不超過三次而接通所需電話的概率話的概率. (2)若已知最后一個數(shù)字是奇數(shù)，那么此概若已知最后一個數(shù)字是奇數(shù)，那么此概率是多少？率是多少？)10, 2 , 1( iiAi次撥號正確次撥號正確表示第表示第設設(1)拔號不超過三次而接通的概率為拔號不超過三次而接通的概率為)(321211AAAAAAP)()()(321211AAAPAAPAP )(1AP )|()|()(213121AAAPAAPAP )|()(121AAPAP 101 91109 8198109 .103 概率論與數(shù)理統(tǒng)計6例例2：某人忘記了電話號碼的

50、最后一個數(shù)字，因而：某人忘記了電話號碼的最后一個數(shù)字，因而他隨意地拔號他隨意地拔號. 求他拔號不超過三次而接通所需電求他拔號不超過三次而接通所需電話的概率話的概率. 若已知最后一個數(shù)字是奇數(shù)，那么此概若已知最后一個數(shù)字是奇數(shù)，那么此概率是多少？率是多少？(2)若已知最后一個數(shù)字是奇數(shù)，則拔號不超過若已知最后一個數(shù)字是奇數(shù)，則拔號不超過三次而接通的概率為三次而接通的概率為)(321211AAAAAAP)(1AP )|()|()(213121AAAPAAPAP )|()(121AAPAP 51 4154 314354 .53 概率論與數(shù)理統(tǒng)計6例例3： 10張考簽中有張考簽中有4張難簽，張難簽，2

51、人參加抽簽考試。不人參加抽簽考試。不重復地抽取，每人一次，甲先，乙后。證明兩人抽到重復地抽取，每人一次，甲先，乙后。證明兩人抽到難簽的概率相等。難簽的概率相等。設設A，B分別表示甲，乙抽到難簽分別表示甲，乙抽到難簽 .104)( AP則則BAABB ,互互斥斥與與且且BAAB)()(BAABPBP )()(BAPABP )|()()|()(ABPAPABPAP 93104 94106 104 概率論與數(shù)理統(tǒng)計6設設S為試驗為試驗E的樣本空間，的樣本空間，nBBB,21為為E的一組事件，若的一組事件，若 ;, 2 , 1,;)1(njijiBBji ;)2(21SBBBn 則稱則稱nBBB,21

52、為樣本空間為樣本空間S的一個的一個。若若nBBB,21為樣本空間為樣本空間S的一個的一個劃分，劃分，那么，對每次試驗，那么，對每次試驗， 事件事件nBBB,21中必有一個中必有一個且僅有一個發(fā)生。且僅有一個發(fā)生。概率論與數(shù)理統(tǒng)計6例如，設試驗例如，設試驗E為為“擲一棵骰子觀察其點數(shù)擲一棵骰子觀察其點數(shù)”。它的樣本空間為它的樣本空間為S=1,2,3,4,5,6.E的一組事件的一組事件B1=1,2,3, B2=4,5, B3=6是是S的的一個劃分。一個劃分。而事件組而事件組C1=1,2,3, C2=3,4, C3=5,6不是不是S的的劃分。劃分。設試驗設試驗E的樣本空間為的樣本空間為S，A為為E的

53、事件，的事件，nBBB,21為為S的一個劃分，的一個劃分，), 1(0)(niBPi 且且則則).()|()()|()()|()(2211nnBPBAPBPBAPBPBAPAP 上式稱為上式稱為。(引起引起A發(fā)生有諸多因素，發(fā)生有諸多因素，A可被這些因素分解可被這些因素分解)概率論與數(shù)理統(tǒng)計6ASA )(21nBBBA nABABAB21 ), 1(0)(niBPi 由由假假設設), 1,;()(njijiABABji 且且得到得到)()()()(21nABPABPABPAP )()|(11BPBAP )()|(22BPBAP ).()|(nnBPBAP 證畢證畢由此可得另一個重要的公式。由此

54、可得另一個重要的公式。概率論與數(shù)理統(tǒng)計6設試驗設試驗E的樣本空間為的樣本空間為S，A為為E的事件，的事件，nBBB,21為為S的一個劃分，的一個劃分，), 1(0)(, 0)(niBPAPi 且且則則)., 2 , 1(,)()|()()|()|(1niBPBAPBPBAPABPnjjjiii 上式稱為上式稱為。(引起引起A發(fā)生有諸多因素發(fā)生有諸多因素,現(xiàn)現(xiàn)A發(fā)生了發(fā)生了,求是那種因素求是那種因素的概率的概率)概率論與數(shù)理統(tǒng)計6例例1： 有兩個口袋，甲袋中盛有兩個白球，一個黑有兩個口袋，甲袋中盛有兩個白球，一個黑球，乙袋中盛有一個白球，兩個黑球。由甲袋任取球，乙袋中盛有一個白球，兩個黑球。由甲

55、袋任取一個球放入乙袋，再從乙袋中取出一個球，求取到一個球放入乙袋，再從乙袋中取出一個球，求取到白球的概率。白球的概率。設設A表示表示“從甲袋中取出一個白球從甲袋中取出一個白球”，B表示表示“從乙袋中取出一個白球從乙袋中取出一個白球”，.個黑球”個黑球”表示“從甲袋中取出一表示“從甲袋中取出一則則 A所以所求概率為所以所求概率為)|()()|()()(ABPAPABPAPBP 4232 4131 .125 ),(ABBABSBAAS 概率論與數(shù)理統(tǒng)計6例例2：發(fā)報臺分別以概率：發(fā)報臺分別以概率0.6和和0.4發(fā)出信號發(fā)出信號 及及 。由于通信系統(tǒng)受到干擾，當發(fā)出信號由于通信系統(tǒng)受到干擾，當發(fā)出信

56、號 時，收報臺時，收報臺分別以概率分別以概率0.8及及0.2受到信號受到信號 及及 。又當發(fā)出信。又當發(fā)出信號號 , 收報臺分別以概率收報臺分別以概率0.9及及0.1受到信號受到信號 及及 。求當收報臺受到求當收報臺受到 時，發(fā)報臺確系發(fā)出信號時，發(fā)報臺確系發(fā)出信號 的概的概率。率?！薄?”“ ”“ ”“ ”“ ”“ ”“ ”“ ”“ ”“ 設設A表示表示“發(fā)報臺發(fā)出信號發(fā)報臺發(fā)出信號 ”，”“ B表示表示“收報臺收到信號收報臺收到信號 ”，”“ 則所求的概率為則所求的概率為)|(BAP)|()()|()()|()(ABPAPABPAPABPAP 8 . 06 . 0 1 . 04 . 08

57、. 06 . 0 923. 0 概率論與數(shù)理統(tǒng)計6例例3：對以往數(shù)據(jù)分析結(jié)果表明，當機器調(diào)整得良好：對以往數(shù)據(jù)分析結(jié)果表明，當機器調(diào)整得良好時，產(chǎn)品的合格率為時，產(chǎn)品的合格率為98%，而機器發(fā)生故障時，其合，而機器發(fā)生故障時，其合格率為格率為55%。每天早上機器開動時，機器調(diào)整良好的。每天早上機器開動時，機器調(diào)整良好的概率為概率為95%。試求已知某日早上第一件產(chǎn)品是合格品。試求已知某日早上第一件產(chǎn)品是合格品時，機器調(diào)整得良好的概率是多少？時，機器調(diào)整得良好的概率是多少？設設A表示事件表示事件“產(chǎn)品合格產(chǎn)品合格”，B表示事件表示事件“機器調(diào)整良好機器調(diào)整良好”。,98. 0)|( BAP已知已知

58、,55. 0)|( BAP,95. 0)( BP,05. 0)( BP則所求的概率為則所求的概率為)|(ABP)()|()()|()()|(BPBAPBPBAPBPBAP 97. 0 概率論與數(shù)理統(tǒng)計6 這就是說，當生產(chǎn)出第一件產(chǎn)品是合這就是說，當生產(chǎn)出第一件產(chǎn)品是合格品時，此時機器調(diào)整良好的概率為格品時，此時機器調(diào)整良好的概率為0.97。這里，概率這里，概率 0.95是由以往的數(shù)據(jù)分析得到是由以往的數(shù)據(jù)分析得到的，叫做的，叫做。而在得到信息（即生。而在得到信息（即生產(chǎn)出的第一件產(chǎn)品是合格品）之后再重新產(chǎn)出的第一件產(chǎn)品是合格品）之后再重新加以修正的概率（即加以修正的概率（即0.97）叫做）叫做

59、。有了后驗概率我們就能對機器的情況有進有了后驗概率我們就能對機器的情況有進一步的了解。一步的了解。概率論與數(shù)理統(tǒng)計6例例4：根據(jù)以往的臨床記錄，某種診斷癌癥的試驗：根據(jù)以往的臨床記錄，某種診斷癌癥的試驗具有如下的效果：若以具有如下的效果：若以A表示事件表示事件 “試驗反應為陽試驗反應為陽性性”，以，以C表示事件表示事件“被診斷者患有癌癥被診斷者患有癌癥”，則有，則有 現(xiàn)在對自然人群進現(xiàn)在對自然人群進行普查，設被試驗的人患有癌癥的概率為行普查，設被試驗的人患有癌癥的概率為0.005，即即 試求試求 .95. 0)|(,95. 0)|( CAPCAP,005. 0)( CP).|(ACP,95.

60、0)|( CAP已知已知,05. 0)|(1)|( CAPCAP,005. 0)( CP,995. 0)(1)( CPCP由貝葉斯公式得由貝葉斯公式得)()|()()|()()|()|(CPCAPCPCAPCPCAPACP 087. 0 概率論與數(shù)理統(tǒng)計6,087. 0)|( ACP表示試驗結(jié)果呈陽性的被檢查者確實患有癌癥表示試驗結(jié)果呈陽性的被檢查者確實患有癌癥的可能性并不大。的可能性并不大。我們還可計算得到：我們還可計算得到：,9997. 0)|( ACP表示試驗結(jié)果呈陰性的被檢查者未患癌癥的可表示試驗結(jié)果呈陰性的被檢查者未患癌癥的可能性極大。能性極大。概率論與數(shù)理統(tǒng)計6 我們知道，在一般情