基本函數(shù)求導(dǎo)公式

1、設(shè)y二f(u)，而u =(X)且f(u)及(X)都可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)y = f(x)的導(dǎo)數(shù)為基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式(1)(C) =0(2)(x")-収心(sin x) = cosx(4)(cosx) = -sin x(5)(tan x) = sec2 x(6)(cot x)二- csc2 x(secx)二 secx tan x(8)(cscx) = -cscxcotx(9)(ax) =ax| na(10)(exr = ex(log a x)(ln x) = 1(11)x l n a(12)x1(arcsinx) -2(arccosx)" = 一 -(13)1 - x(14)J1

2、-；(arcta n x)厶(arccot x)厶(15)1 +x(16)1 + x函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則設(shè)u =u(x), v =v(x)都可導(dǎo)，則(1)(u _ v) = u - v(2)(Cu) = Cu ( C 是常數(shù))(3)(uv)二 u v uv(4)#設(shè)y二f(u)，而u =(X)且f(u)及(X)都可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)y = f(x)的導(dǎo)數(shù)為#設(shè)y二f(u)，而u =(X)且f(u)及(X)都可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)y = f(x)的導(dǎo)數(shù)為反函數(shù)求導(dǎo)法則#設(shè)y二f(u)，而u =(X)且f(u)及(X)都可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)y = f(x)的導(dǎo)數(shù)為#設(shè)y二f(u)，而u =(X)且f(

3、u)及(X)都可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)y = f(x)的導(dǎo)數(shù)為若函數(shù)x =(y)在某區(qū)間Iy內(nèi)可導(dǎo)、單調(diào)且(y) = 0，則它的反函數(shù)y = f(x)在對應(yīng)#設(shè)y二f(u)，而u =(X)且f(u)及(X)都可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)y = f(x)的導(dǎo)數(shù)為#設(shè)y二f(u)，而u =(X)且f(u)及(X)都可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)y = f(x)的導(dǎo)數(shù)為區(qū)間Ix內(nèi)也可導(dǎo)，且dxf (x)=1(y)dx dx 或dy復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則dy dy du= Sdx du dx 或 y 二 f (U) r (x)2 .雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)的導(dǎo)數(shù) .雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)都是初等函數(shù)，它們的導(dǎo)數(shù)都可以用前面的求導(dǎo)公式和求導(dǎo)法則求

4、出.可以推出下表列出的公式：(shx) '=chx(chx)" = shx1(thx)鼻匚亍ch x擊“1(archxv11(arthx) = _21 -x(arsGQ 丿2(1 +x(arOTQ _ p2vx -1一、一個方程的情形在第二章第六節(jié)中我們已經(jīng)提出了隱函數(shù)的概念，并且指出了不經(jīng)過顯化直接由方程f (x, y) =o求它所確定的隱函數(shù)的方法?，F(xiàn)在介紹隱函數(shù)存在定理，并根據(jù)多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法來導(dǎo) 出隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式.隱函數(shù)存在定理 1設(shè)函數(shù)F(x, y)在點(diǎn)P(xo, y。)的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),且F(Xo,yo) =0 ， , Fy(X0,y0)=O，則

5、方程F(x,y)=0在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個單值連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)y = f(x)，它滿足條件yo = f(X。)，并有魚二 _FadxFy公式(2)就是隱函數(shù)的求導(dǎo)公式這個定理我們不證?，F(xiàn)僅就公式(2)作如下推導(dǎo)。將方程所確定的函數(shù)y = f(X)代入，得恒等式3F(x, f(x)三 0,其左端可以看作是x的一個復(fù)合函數(shù)，求這個函數(shù)的全導(dǎo)數(shù)，由于恒等式兩端求導(dǎo)后仍 然恒等，即得叭0, jx 鋼 dx由于Fy連續(xù)，且Fygyo) =0，所以存在(xo,yo)的一個鄰域，在這個鄰域內(nèi)Fy = 0，于 是得dy _ _ FxdxFy如果F(x, y)的二階偏導(dǎo)數(shù)也都連續(xù)， 我們可以把

6、等式(2)的兩端看作x的復(fù)合函數(shù)而再一次求導(dǎo)，即得d2y _ _£dx2；:xFx + cFy丿內(nèi)XFx dyFy ydxFxxFy -FyzFx F xy F y - F yy F x z F?Fy22 2FxxFy -2FXyFXFy FyyFXFy3FxFy22例1驗證方程x y -0在點(diǎn)(0,1)的某一鄰域內(nèi)能唯一確定一個單值且有連續(xù)導(dǎo)數(shù)、當(dāng)x=0時，y "的隱函數(shù)y二f(x)，并求這函數(shù)的一階和二階導(dǎo)數(shù)在x=0的值。解設(shè) F(x,y) =x2 +y2 1，則 Fx = 2x, Fy = 2y , F (0,1) = 0, Fy (0,1) = 2 式0.因此2 2

7、由定理1可知，方程x y -1=0在點(diǎn)(0,1)的某鄰域內(nèi)能唯一確定一個單值且有連續(xù)導(dǎo)數(shù)、當(dāng)x=0時，y二1的隱函數(shù)y二f(x)。下面求這函數(shù)的一階和二階導(dǎo)數(shù)dy =_FxdxFydy dXx出d2y - y - xy72dx2 = yd2ydx2x =0隱函數(shù)存在定理還可以推廣到多元函數(shù)既然一個二元方程（1）可以確定一個一元隱函數(shù)，那末一個三元方程F（x,y,z）=0（3）就有可能確定一個二元隱函數(shù)。與定理1 一樣，我們同樣可以由三元函數(shù) F（X, y,z）的性質(zhì)來斷定由方程 F（x,y,z）=o 所確定的二元函數(shù) z = （x, y）的存在，以及這個函數(shù)的性質(zhì)。這就是下面的定理。隱函數(shù)存在

8、定理2設(shè)函數(shù)F（X, y,z）在點(diǎn)P（x0,y0，z0）的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且 F （x0, yo, zo） = 0， Fz （xo, y0, z0）式 0，則方程 F （x, y, Z）=o 在點(diǎn)（xo, yo, zo）的 某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)z = f （x,y），它滿足條件zo 二 f （xo,yo），并有_:zF x :zFy.x = Fz 門=Fz .這個定理我們不證與定理1類似，僅就公式（4）作如下推導(dǎo).由于f （x,y, f （x,y）三o,將上式兩端分別對 x和y求導(dǎo)，應(yīng)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得Fx+ Fz ；x =0,Fy + Fz

9、鋼=0。因為Fz連續(xù)，且卩2（）0憶0）所以存在點(diǎn)（x0,y0,z0）的一個鄰域，在這個鄰域內(nèi)Fz工0，于是得.zF x :zFy-：x =Fz ,釣=Fz。-2:z2亠 2例2設(shè)xyz2 - 4z = 0，求；：X2.解設(shè)f (x,y,z)=2 2x y z2-4z，則 Fx=2x, Fz = 2z-4 應(yīng)用公式(4), 得:zx.:x =：2 - z。再一次x對求偏導(dǎo)數(shù)，得丄氏-2(2 _ z) x _z _ex-2:x(2 -z)26(2-z)2(2-z)2 x2(2-z)3、方程組的情形7#F面我們將隱函數(shù)存在定理作另一方面的推廣。我們不僅增加方程中變量的個數(shù)。而且#增加方程的個數(shù)，例

10、如，考慮方程組F(x,y,u,v) =0,_G(x,y,u,z) =0.(5)就有可能確定兩個二這時，在四個變量中，一般只能有兩個變量獨(dú)立變化，因此方程組元函數(shù)。在這種情形下，我們可以由函數(shù)F、G的性質(zhì)來斷定由方程組(5)所確定的兩個二元函數(shù)的存在，以及它們的性質(zhì)。我們有下面的定理。隱函數(shù)存在定理3設(shè)函數(shù)FCxydz)、G(x, y,u,v)在點(diǎn)Po(Xo,yo，uo,Vo)的某一鄰域內(nèi)具有對各個變量的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又F(xo，yo，Uo，Vo)= 0，G(Xo, yo，Uo，Vo) = 0且偏導(dǎo)數(shù)所組成的函數(shù)行列式(或稱雅可比Jacobi)式):#在點(diǎn) P0(x0,y0,u0,v0)不等于零，

11、則方程組 FXyU'V)"，G(x,y,u,v)=0 在點(diǎn)(x0,y0,U0,V0)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一組單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)u 二 u(x, y),v 二 v(x, y)，它滿足條件u。=u(x。, y°),v° = v(x0,u°)，并有x 二 _ J ：'(x,v)FxGxFuGuFvGvFvGvrv 1 ：(F,G) 二 - J "u,X)FuGuFuGuFxGxFvGvFy FvGy Gv8.:uy1 ；:(F,G)Jr（y,v）FuGvFvGv:y這個定理我們不證：(F,G)r(u,y)FuGuFuGuFyGy乓Gv例3 設(shè) XU - yv =0, yu XV =1，求ex, ex 和訥.解此題可直接利用公式（6），但也可依照推導(dǎo)公式（6）的方法來求解。下面我們利用后一種方法來做。將所給方程的兩邊對 x求導(dǎo)并移項，得；:u：