2015年天津卷高考數(shù)學試卷（文科）

1、2015年天津卷高考數(shù)學試卷（文科）一、選擇題1.已知全集，集，集合，則集合(A) (B) (C) (D)2.設變量滿足約束條件，則目標函數(shù)的最大值為(A) 7 (B) 8 (C) 9 (D)143.閱讀右邊的程序框圖，運行相應的程序，則輸出i的值為(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D)54.設，則“”是“”的(A) 充分而不必要條件 (B)必要而不充分條件 (C)充要條件 (D)既不充分也不必要條件5.已知雙曲線的一個焦點為，且雙曲線的漸近線與圓相切，則雙曲線的方程為(A) (B) (C) (D) 6.如圖，在圓O中，M，N是弦AB的三等分點，弦CD，CE分別經(jīng)過點M，N，若CM=2，M

2、D=4，CN=3，則線段NE的長為(A) (B) 3 (C) (D) 7.已知定義在R上的函數(shù)為偶函數(shù)，記，則,的大小關系為(A) (B) (C) (D) 8.已知函數(shù)，函數(shù)，則函數(shù)的零點的個數(shù)為(A) 2 (B) 3 (C)4 (D)5二：填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。9.i是虛數(shù)單位，計算 的結果為 10.一個幾何體的三視圖如圖所示（單位：m），則該幾何體的體積為 .11.已知函數(shù) ，其中a為實數(shù)，為的導函數(shù)，若 ，則a的值為 12.已知 則當a的值為 時取得最大值。13.在等腰梯形ABCD中，已知， 點E和點F分別在線段BC和DC上，且 則的值為 14.已知函數(shù) 若函數(shù)在

3、區(qū)間內單調遞增，且函數(shù)的圖像關于直線對稱，則的值為 三、解答題：本大題共6小題，共80分。15.（13分）設甲、乙、丙三個乒乓球協(xié)會的運動員人數(shù)分別為27,9,18，先采用分層抽樣的方法從這三個協(xié)會中抽取6名運動員組隊參加比賽。（I）求應從這三個協(xié)會中分別抽取的運動員人數(shù)；（II）將抽取的6名運動員進行編號，編號分別為，現(xiàn)從這6名運動員中隨機抽取2人參加雙打比賽。（i）用所給編號列出所有可能的結果；（ii）設A為事件“編號為的兩名運動員至少有1人被抽到”，求事件A發(fā)生的概率。16.（13分）ABC中，內角A,B,C所對的邊分別為a，b，c，已知ABC的面積為， （I）求a和sinC的值；（II

4、）求 的值。17.（13分）如圖，已知平面ABC， AB=AC=3，,， 點E，F(xiàn)分別是BC和 的中點，（I）求證：EF 平面 ；（II）求證：平面平面。（III）求直線 與平面所成角的大小。18.已知是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，是等差數(shù)列，且,.(1)求和的通項公式；(2)設,求數(shù)列的前n項和.19. 已知橢圓的上頂點為B，左焦點為,離心率為. (1)求直線BF的斜率；(2)設直線BF與橢圓交于點P（P異于點B），故點B且垂直于BP的直線與橢圓交于點Q（Q異于點B）直線PQ與x軸交于點M，. (i)求的值；(ii)若，求橢圓的方程.20. 已知函數(shù)(1)求的單調性；(2)設曲線與軸正半軸的交點

5、為P，曲線在點P處的切線方程為，求證：對于任意的正實數(shù)，都有;(3)若方程有兩個正實數(shù)根且，求證：.答案一.選擇題：本題考查基本知識和基本運算。每小題5分，滿分40分。1.B 2.C 3.C 4.A 5.D 6. A 7.B 8. A二.填空題：本題考查基本知識和基本運算.每小題5分，滿分39分。(9.)-i (10). (11) . 3 (12)4 (13) (14) 三.解答題（15）本小題主要考查分層抽樣，用列舉法計算隨機事件所含的基本事件數(shù)、古典概型及其概率計算公式等基礎知識，考查運用概率、統(tǒng)計知識解決簡單實際問題的能力。滿分13分（I）解：從甲、乙、丙這三個協(xié)會中分別抽取的運動員人數(shù)

6、分別為3,1,2（II）（i）從6名運動員中隨機抽取2人參加雙打比賽的所有可能結果為,共15種.（ii）解：編號為的兩名運動員至少有一人被抽到的所有結果為, , ,共9種,因此，事件A發(fā)生的概率 （16）本小題主要考查同角三角函數(shù)的基本系數(shù)、二倍角的正弦、余弦公式、兩角和的余弦公式以及正弦定理、余弦定理等基礎知識?？疾榛具\算求解能力.滿分13分.（I）解：在中，由,可得.由,得bc=24，又由，解得b=6,c=4.由,可得=8.由,得.(II)解： = (17)本小題主要考查直線與平面平行、平面與平面垂直、直線與平面所成的角等基礎知識.考查空間想象能力、運算求解能力和推理論證能力.滿分13分

7、.（I）證明：如圖，連接.在中，因為E和F分別是BC和的中點，所以.又因為平面,所以平面。（II）證明：因為AB=AC,E為BC中點,所以,因為平面ABC,所以平面ABC,從而,又 ,所以平面 ,又因為平面,所以平面平面.（III）解：取的中點M和的中點N,連接, ,.因為N和E分別為和的中點，所以, ,故,所以,且。又因為平面,所以,從而 為直線與平面所成的角。在中，可得AE=2，所以.因為,又由,有.在中，可得。在中，,因此所以，直線與平面所成的角為.（18）本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列及其前n項和公式等基礎知識?？疾閿?shù)列求和的基本方法和運算求解能力，滿分13分。（I）解：設數(shù)列的公比

8、為q,數(shù)列的公差為d,由題意 ,由已知,有 消去d，整數(shù)得 又因為0，解得 ,所以的通項公式為, 數(shù)列的通項公式為.（II）解：由（I）有 ,設的前n項和為 ,則 兩式相減得所以 .19.本小題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質、直線的方程、兩條直線垂至等基礎知識?？疾橛么鷶?shù)方法研究圓錐曲線的性質?？疾檫\算求解能力，以及用方程思想和化歸思想解決問題的能力。滿分14分。（I）解：設，由已知離心率及又因為 ,故直線BF的斜率 （II）設點 ,（i）由（I）可得橢圓方程為 直線BF的方程為 ,將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去y，得 解得 .因為,所以直線BQ方程為 ,與橢圓方程聯(lián)立，消去y，整得 ,解得 .又因為 ,及 ，可得 （ii）解：由（i）有,所以,即 ,又因為,所以=.又因為, 所以,因此 所以橢圓方程為（20）本小題主要考查導數(shù)的運算、導數(shù)的幾何意義、利用導數(shù)研究函數(shù)的性質等基礎知識?？疾楹瘮?shù)思想、化歸思想，考查綜合分析問題和解決問題的能力。滿分14分。（I）由,可得,當 ,即 時,函數(shù) 單調遞增；當 ,即 時,函數(shù) 單調遞減.所以函數(shù) 的單調遞增區(qū)間是 ,單調遞減區(qū)間是.（II）證明：設點P的坐標為，則 , 曲線 在點P處的切線方程為 ,即,令函數(shù) 即 則.由于在上單調遞減,故在上單調遞減,又因為,所以當時,當時,所以 在單調遞增,在單調遞減,所以對于任意的實數(shù)x,，