邊界元法發(fā)展綜述

1、邊界元法發(fā)展綜述劉婭君學號：11080922005從工程實際中提出的力學問題，一般可歸結(jié)為數(shù)學的定解問題。但其中只有 極少 數(shù)簡單情況可以求得解析解，而大多情況都必需借助于有效的數(shù)值方法來求解。有 限元法是目前工程中應用最廣泛的數(shù)值方法，已有很多通用程序和專用程 序在各個 工程領域投人了實際應用。然而，有限元法本身還存在一些缺點。例如，在應力分 析中對于應力集中區(qū)域必須劃分很多的單元，從而增加了求解方程的階數(shù)，計算費 用也就隨之增加；用位移型有限元法求解出的應力的精度低于位移的 精度，對于一 個比較復雜的問題必須劃分很多單元，相應的數(shù)據(jù)輸人量就很大，同時，在輸出的大 量信息中，又有許多并不是人

2、們所需要的。邊界積分方程一邊界元法在有限元法之后發(fā)展起來成為工程中廣泛應用的一種有 效的數(shù)值分析方法。它的最大特點就是降低了問題的維數(shù)，只以邊界未知量作為基 本未知量，域內(nèi)未知量可以只在需要時根據(jù)邊界未知量求出。在彈性問題中，由于 邊界元法的解精確滿足域內(nèi)的偏微分方程，因此它相對有限元法的解具有較高的精 度。同時在一些領域里，例如線彈性體的應力集中問題，應力有奇異性的彈性裂 紋問題，考慮脆性材料中裂紋擴展的結(jié)構(gòu)軟化分析，局部進人塑性 的彈塑性局部應 力問題以及彈性接觸問題等，邊界元法已被公認為比有限元法更為有效。正是因 為這些特點，使邊界元法受到了力學界、應用數(shù)學界及許多工程領域的研究人員的

3、廣泛重視。邊界元與有限元相比有很多優(yōu)點：首先，它能使問題的維數(shù)降低一維，如原為三 維空間的可降為二維空間，原為二維空間的問題可降為一維。其次，它只需將邊 界離散而不象有限元需將區(qū)域離散化，所劃分的單元數(shù)目遠小于有限元，這樣它減 少了方程組的方程個數(shù)和求解問題所需的數(shù)據(jù)，不但減少了準備工作，而且節(jié)約了 計算時間。第三，由于它是直接建立在問題控制微分方程和邊界條件上的，不需要 事先尋找任何泛函，不像以變分問題為基礎的有限元法，如果泛函不存在就難于使 用。所以邊界元法可以求解經(jīng)典區(qū)域法無法求解的無限域類問題。最后，由于邊界元 法引入基本解，具有解析與離散相結(jié)合的特點，因而具有較高的精度。當然，邊界元

4、法也有其弱點，它需要知道問題的基本解或Green 函數(shù)，而變系數(shù)問題和非線性問題的基本解往往不知道，故難以使用邊界元法。雖然有這些缺 點，邊界元法還是憑借其優(yōu)點廣泛使用在波的傳播，斷裂力學，接觸問題，粘彈塑 性，振動問題，電磁場，流體力學，滲流力學，生物力學，等離子運動等廣闊領域, 取得了豐富的成果。邊界元法的發(fā)展可分如下幾個時期：一、萌芽與奠基期(1950-(1950- 1978)1978)50 年代初期，MuskhelishVili(1953)將積分方程方法用于結(jié)構(gòu)力學分析，Kellogg(1953)用積分方程方法求解 Laplace 問題，這便是邊界元法的前身?，F(xiàn)代邊界 積分方程法與 F

5、redholm 的工作有著直接的尖系，他討論了建立在離散技術(shù)上的求解 方法。尖于間接邊界元法的概念是Jaswon, Hess 和 Symm 等形成的。尖于直接邊界元法，曾出現(xiàn)在 KuPradze 的著作中，但更多的早期工作 是 Rizzo和 Cruse 用邊界積分方程方法求解經(jīng)典的彈性力問題和彈性動力學問題。在這一時期，Richard Shaw 對波的傳播問題的邊界積分方程方法進行了廣泛的 研究。I960 年，他完成了博士學位論文，并在其后發(fā)表了兩篇重要論文，提出了有 任意形狀障礙的聲波脈沖的瞬態(tài)散射問題的邊界積分方程法。另外，他還對彈性動 力學間接邊界積分公式、三維散射問題、流固藕合問題、特

6、征值問題、擴散問題和漸 近膨脹解等進行了研究。1963 年，Jaswon 和 Ponter 討論了扭轉(zhuǎn)問題的積分方程方法，第一次利用了邊 界值和法向?qū)?shù)的積分尖系。同年，Jaswon 對 Laplace 方程由勢理論建立了邊 界積 分方程的數(shù)值方法，為間接邊界元法的提出作出了重要貢獻。其后，Jaswon 等人建 立了平面彈性靜力學的邊界積分方程，提出了數(shù)值求解的有效途徑，并首次用邊界 積分方程方法求解了板彎曲問題。1966 年，Symm 建立了保角映射下的邊界積分方程。1969 年他發(fā)展了邊界 積 分方程在勢問題包括熱傳導分析方面的應用。1967 年，Rizzo 運用 Betti-Somigh

7、ana 公式建立了彈性靜力學問題的邊界積分 公 式，指出了邊界位移和面力的函數(shù)尖系，這是文獻中最早的一篇尖于直接邊界元方 法的論文。雖然這些公式的數(shù)學理論源于KaPradze 的著作，但是 Rizzo 以一種簡明的形式提出了與當今邊界元法有著密切聯(lián)系的公式。1967 年，Cruse 完成了直接邊界元方法若干重要問題的推導，隨后，Cruse 與 Rizzo和 Shippy 配合，對這些邊界積分公式進行了數(shù)值求解，相繼提出了直 接邊界 元法的若干重要論文。邊界元法實施的困難之一是積分奇異性的處理。Symm 在 70 年代對二維勢問 題的邊界積分方程中的積分奇異性問題進行了研究，并發(fā)展了計算軟件。1

8、973 年， Brebbia、 Watson 等將邊界積分方程應用于應力分析問題。 1975 年，Lachat完成了他的博士論文，第一次使用高次單元求解三維彈性靜力學問題，徹底 解決了邊界積分方程中的奇異積分問題，大大提高了計算精度，為邊界元法的發(fā)展 作出了非常重要的貢獻。1974 年，Cruse 首先使用了曲面元建立了三維彈性應力分析的邊界積分方程的 新模式，為幾何區(qū)域的更準確描述，提高邊界元法的精度做了重要工作。Cruse 還 討論了由邊界面力獲得表面應力、體積力向邊界力轉(zhuǎn)換技術(shù)、斷裂力學問題以及對 特殊形狀的裂紋采用特殊的應力函數(shù)等。這些成果對現(xiàn)代邊界元法的發(fā)展起了重要 作用。1976

9、年， Crouch 建議用位移不連續(xù)法(Displacement Discontinuity Method，i.e.DDM)求解平面彈性問題，這是一種間接邊界元法，它以單元均勻位移(不連續(xù)位移分量)為未知數(shù)，可以很便利地求解巖石力學問題，因而， Crouch 被公認 為是間接邊界元法的開創(chuàng)者。1977 年，Cruse 就固體力學的邊界積分方程法，包括直接法和間接法的數(shù)學基 礎發(fā)表論文，是該方面最早、全面的系統(tǒng)性的理論著作。同年，Symm 將直接邊界 元法應用于有界面的多介質(zhì)問題，是非均質(zhì)問題最早的具有開拓性的貢獻。1978 年 Brady 與 Bray 提出了一種四級(Quadrupoles

10、虛載荷用于模擬礦 薄 層 采場的變形5這種方法后來被確認為應力不連續(xù)法(Fietitious Stress Method，i.e.FSM)。 DDM和 FSM 均可用于模擬裂縫或夾層，兩種方法實質(zhì)上是一會事，但 DDM 法更適合于裂隙、斷層的模擬。邊界元法侶 oundary Element Method, i.e.BEM)這一名稱是 Cruse - 1973 年首 先提出，但之后的有尖文章包括 Cruse 自己也沒有再使用這一提法，而用的是邊界 積分方程法(Boundary Integral Equation Method，i.e.BIEM)。1977 年、Brebbia 和 Banerjee

11、 重新使用了邊界元法這個名稱，邊界元法從此有了明確的定義。1978 年，由 Brebbia 編著的第一本邊界元法專著出版，對邊界元法的發(fā)展有著極為重要 的意義，其重要性在于它指出了邊界元法與其他數(shù)值方法特別是有限元法的尖系，提 出了如何用加權(quán)余量法來建立邊界積分方程，初步形成了邊界元法的理論體系，確 立了邊界元法作為一種數(shù)值方法的地位，標志著邊界元法從此進入了系統(tǒng)性的研究 時期。二、方法完善與初步應用期(1978-(1978- 1990)1990)1978 年，第一屆邊界元法國際會議在英國南安普敦(Southampto n 大學舉行。此后，邊界元法國際會議幾乎每年一次在世界各地舉行，迄今己舉行

12、了 28 次。大量 論文和專著先后面世，發(fā)展之快、水平之高是前所未有的。1984 年，邊界元法國際性刊物Engineering Analysis Jouma丨創(chuàng)刊，它主要 致力于邊界元法研究新進展的宣傳，為邊界元法的發(fā)展起了重要的推動作用。從這 些會議文集和各種刊物，如Engineering Analysis Journal、Compute rand Struetures、Int.Joumal of Numerieal Methods in Engineering、Computational Mechanies)和Computer Methods in Applied Mechanics an

13、dEngineering 等登載 的論文以及 Brebbia 和 Banerjee 等人的專著來看，這一時期邊界 元法的發(fā)展可歸結(jié)為以下三個方面：(1) 數(shù)學方面包括邊界元法的數(shù)學分析理論和數(shù)值積分方法的研究。 邊界元法的發(fā)展雖然是由 于計算機的迅速發(fā)展和廣泛應用而帶來的，但也與近代數(shù)學理論的發(fā)展密切相尖。 邊界元法數(shù)學方面的研究，不僅克服了由于積分 奇異性造成的困難，同時又對收斂 性、誤差分析以及各種不同的邊界元法形式的統(tǒng)一進行了數(shù)學分析，為邊界元法的 可行性和可靠性提供了理論基礎。Wendiand 是研究邊界元法數(shù)學理論的主要學者， 其主要工作有：邊界元法包括數(shù)值積分的漸近誤差分析，有限元

14、和邊界元耦合方法 的誤差分析，邊界元法解的穩(wěn)定性，彈性力學和流體流動問題的邊界元法的數(shù)學理 論， 斷裂力學邊界元法的誤差分析等。 Hsiao等人在邊界元法特別是有限元和邊界元 耦合方法的數(shù)學理論方面作了許多工作。近年來，一些學者將有限元理論中的區(qū)域 分解方法引入邊界元法，討論了其數(shù)學理論?？偟恼f來，邊界元法數(shù)學理論的研 究還落后于方法和應用的研 究，與有限元法數(shù)學理論的研究尚有一定的差距，有待進一步研究和發(fā)展。（2）方法與應用方面包括邊界元法的完善和應用范圍的拓寬。70 年代以前，邊界元法的研究只限于解決以下幾個方面的問題：勢問題、彈 性靜力學、波的傳播、斷裂力學、流體力學、板彎曲問題等，而且

15、對一些問題的研究 也只是初步嘗試?，F(xiàn)在，邊界元法的發(fā)展已涉及工程和科學的很多領域，幾乎可以解決所有的有限 元法能夠解決的問題。對線性問題，邊界元法的應用己經(jīng)規(guī)范化；對非線性問 題，其方法亦趨于成熟。邊界元法在線性問題方面的研究和應用包括：彈性力學、瞬態(tài)彈性動力學、穩(wěn) 態(tài)彈性動力學、斷裂力學、斷裂動力學、板彎曲問題、動態(tài)板彎曲問題、殼體分 析、 殼的動態(tài)響應分析、溫度場和彈性熱應力、勢問題（包括熱傳導、散射、擴散、勢 流、靜電分析等） 、瞬態(tài)勢問題、穩(wěn)態(tài)勢問題、波的傳播、流體力學、流體動力 學、聲學、反問題等。邊界元法在非線性問題方面的研究和應用已涉及：非彈性力學（包括塑性、彈塑性、彈粘塑性、蠕

16、變等）、非彈性動力學、非彈性斷裂力學、非彈性斷裂動力 學、非彈性殼體分析、材料非線性熱分析、彈性有限變形、非線性斷裂力學、非線性 板殼分析、非線性瞬態(tài)熱分析、非線性勢問題、含時間的非線性勢問題、非線性瞬態(tài) 波的傳插、巖土力學、非彈性有限變形等。相對來說，邊界元法與其他數(shù)值方法（主要是有限元法）的耦合方法發(fā)展比較 緩慢。目前，邊界元與有限元耦合方法的研究和應用主要涉及以下幾個方面：彈 性 力學、斷裂力學；彈塑性力學、非線性問題、勢問題、流固禍合問題、巖土力 學、土 動力學、熱分析、電力工程等。在工程和工業(yè)技術(shù)領域，邊界元法的應用已涉及到：水工、土建、橋梁、機 械、 電力、地震、采礦、地質(zhì)、汽車、

17、航空、結(jié)構(gòu)優(yōu)化等諸多方面。（3）應用軟件方面邊界元法作為一種數(shù)值方法，其應用要通過計算程序來實 現(xiàn)。這種計算程序作為應用軟件，是隨著邊界元法的發(fā)展而發(fā)展的。Brebbia 在邊 界元法的第一本專著中就附有簡單的計算程序，這個程序為其后許多計算程序的研制 建立了模 式，為邊界元法應用軟件的發(fā)展和邊界元法的應用都起到了良好的推動作用。1978 年以后，隨著邊界元法國際會議在世界各地逐年舉行，陸續(xù)有邊界元法應用軟 件的新成果問世。1982 年，在第四屆邊界元法國際會議上，英國南安普敦大學的Danson 介紹了他們研制的邊界元分析程序包 BEASY，這是國際上第一個邊界元法大型軟件。 1985 年以來

18、邊界元技術(shù)國際會議在世界各地舉行，它著重于邊界元計算技術(shù)的研究 和應用、包括工程應用、計算技術(shù)和工業(yè)應用等，為邊界元應用軟件的發(fā)展起到促 進作用。但是，隨著計算機技術(shù)的迅速發(fā)展，計算機軟件已成為商品，稍稍復雜一點的計算程序都不會無償?shù)卦谖墨I中發(fā)表?，F(xiàn)在，以邊界元法為內(nèi)容的部分書籍和文獻中 附有簡單的程序，是以教學為目的，著重說明邊界元法的基本理論和方法，供讀者 學習邊界元法時參考，只具有初等實用價值，所解的問題也只是簡單的線性問題。1988 年，Maekerle 和 Brebbia 在文獻中從軟件的來源、類型、應用范圍、前后 處理、元素庫、材料性質(zhì)、特殊功能和硬件準備等多方面對 1 35 個邊

19、界元法應用軟 件進行了歸納?；旧戏从沉诉@一時期邊界元法應用軟件的發(fā)展水平和趨 勢。可以看 出，這一時期邊界元法應用軟件的發(fā)展取得了一定的成績，但與應用于各個領域的 邊界元法本身的發(fā)展及計算機軟件技術(shù)的發(fā)展尚有一定距離?，F(xiàn)在，邊界元法應用軟件己由原來的解決單一問題的計算程序向具有前后處 理功 能、可以解決多種問題的邊界元法程序包發(fā)展，已經(jīng)形成的較大程序包有 BEASY（英國）、CA.ST.OR （法國）BETSY （德國）、SURFES （日本）、EZBEABEASY 在當今邊界元應用軟件市場可謂獨占鰲頭，在英國、美國、法國和日本等國的大學、研究所和公司得到了一定的應用。但是，可以說，邊界 元法程序包無論在質(zhì)量上，還是數(shù)量上均與有限元法程序包的發(fā)展有一定差距。要想