31空間向量及其運(yùn)算

1、金陵中學(xué)2012-2013學(xué)年高二上數(shù)學(xué)教案3.1.1空間向量及其線性運(yùn)算教學(xué)目標(biāo)：1.了解空間向量的概念，掌握空間向量的線性運(yùn)算及其性質(zhì)；2.理解空間向量共線的充要條件 ;3.運(yùn)用類比方法，經(jīng)歷向量及其運(yùn)算由平面向空間推廣的過程.教學(xué)重點(diǎn)：空間向量的概念、空間向量的線性運(yùn)算及其性質(zhì)； 教學(xué)過程：一.問題情境 由于實(shí)際問題的需要,在必修4中,我們學(xué)習(xí)了平面向量,研究了平面向量的概念、運(yùn)算及其性質(zhì),進(jìn)而解決了平面上有關(guān)點(diǎn),線的位置關(guān)系及度量問題. 但向量未必都在同一平面內(nèi),如下問題: 已知物體受三個(gè)大小都為1000N的力F1 ，F(xiàn)2，F(xiàn)3，且這三個(gè)力兩兩之間的夾角都為60°，則物體所受

2、的合力為多少？ 是否為+?F1F2F3 此問題中,三個(gè)向量不在同一平面內(nèi),問題不好直接用平面向量來解決,為此需要將向量由平面向空間推廣!二.數(shù)學(xué)理論 1.平面向量與空間向量的有關(guān)概念(1)在平面上，我們把既有大小又有方向的量叫做平面向量.平面上的向量一般用有向線段表示,同向等長的有向線段表示同一或相等的向量. 長度為0的向量叫零向量，記作0，0的方向是任意的； 長度為1個(gè)單位長度的向量，叫單位向量； 方向相反但模相等的向量叫做相反向量;向量a的相反向量記作a 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量(共線向量)，規(guī)定0與任一向量平行； 記作：ab，0a 由向量的實(shí)際背景,平面向量的有關(guān)概念都可以移

3、植到空間中(2)空間向量的有關(guān)概念： 在空間，我們把既有大小又有方向的量叫做空間向量. 空間向量一般用有向線段表示.同向等長的有向線段表示同一或相等的向量. 在空間中， 長度為0的向量叫零向量，記作0，0的方向是任意的； 長度為1個(gè)單位長度的向量，叫單位向量； 方向相反但模相等的向量叫做相反向量;向量a的相反向量記作a 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量(共線向量)，規(guī)定0與任一向量平行； 記作：ab，0a 2.平面向量與空間向量的線性運(yùn)算 我們現(xiàn)在研究的是自由向量,大小相等方向相同的向量是相等向量,而與它們的起點(diǎn)無關(guān).所以任意兩個(gè)空間向量都可以平移到同一平面內(nèi) 因此,空間的兩個(gè)向量可用同一

4、平面內(nèi)的兩條有向線段來表示.這樣,空間兩個(gè)向量的線性運(yùn)算的意義與平面向量完全一樣. 已知空間向量a，b，在空間任取一點(diǎn)O，作a，b.由O，A，B三點(diǎn)確定一個(gè)平面或共線可得，空間任意兩個(gè)向量都可以用同一平面內(nèi)的兩個(gè)有向線段來表示.baBAO 空間向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算的意義如下（如圖）OBbaCAabababOABabaAObBabaaOP ab（三角形法則） ab（平行四邊形法則） ab a(R) 平面向量的線性運(yùn)算滿足下列運(yùn)算律運(yùn)算律：加法交換律：abba 加法結(jié)合律：(ab)ca(bc) 數(shù)乘分配律：(ab)ab(R)那么,空間向量的運(yùn)算是否仍滿足上述規(guī)律?(1),(3)中只涉及兩個(gè)向

5、量,顯然滿足,但(2)中涉及三個(gè)向量,在空間中是否成立?這一規(guī)律關(guān)系到空間中三個(gè)向量和的定義問題?OABCabcababcbc 結(jié)合律的驗(yàn)證： 三個(gè)向量中有共線向量時(shí)規(guī)律顯然成立. 平面向量共線的充要條件在空間也是成立的3共線向量定理：共線向量定理：空間任意兩個(gè)向量a,b(a0)，ab的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使ba.三.數(shù)學(xué)運(yùn)用A1B1C1BCAM例1. 如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M是BB1的中點(diǎn)，化簡下列各式，并在圖中標(biāo)出化簡得到的向量：(1);(2);(3)解：(1)(2)因?yàn)镸是BB1的中點(diǎn),所以，又，所以.(3).例2.如圖，在長方體OADB-CADB中，OA3,OB4,OC

6、2,OIOJOK1,，點(diǎn)E,F分別是DB,DB的中點(diǎn)，設(shè)i, j, k, ,試用向量i , j , k表示和.D/OA/ADEBFCB/解：33i，i.又44j,i4j.2k，i4j2k.ABCDABCD例3.已知平行六面體ABCD-ABCD.求證：2.證明：平行六面體的六個(gè)面均為平行四邊形，()()+()2().又，2.【課堂練習(xí)】 已知空間四邊形ABCD，連結(jié)AC，BD，設(shè)M，G分別是BC，CD的中點(diǎn)，化簡下列各表達(dá)式，并標(biāo)出化簡結(jié)果向量：(1)； (2)()； (3)()四、回顧總結(jié) 空間向量的定義與運(yùn)算法則五、布置作業(yè)3.1.2 共面向量定理教學(xué)目標(biāo)： 1.了解向量共面的含義，理解共面

7、向量定理； 2.能運(yùn)用共面向量定理證明有關(guān)線面平行和點(diǎn)共面的簡單問題教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)： 空間向量共面定理的證明及其應(yīng)用教學(xué)過程：一.知識(shí)回顧 復(fù)習(xí)空間向量的概念以及空間向量的線性運(yùn)算和性質(zhì)二.問題情境在同一平面中,向量之間有共線與不共線之分; 在空間中,我們當(dāng)然要關(guān)心向量共面問題.為此首先要明確什么叫做向量共面? 能平移到同一平面的向量叫做共面向量 問題:空間中兩個(gè)向量是否共面?空間中三個(gè)向量是否共面?在平面向量中，向量b與向量a(a0)共線的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使得ba.那么，空間的任意一個(gè)向量p與兩個(gè)不共線向量a,b共面時(shí)，它們之間存在怎樣的關(guān)系呢？三.數(shù)學(xué)理論 共面向量定理：如果兩個(gè)向量a

8、,b不共線，那么向量p與向量a,b共面的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)組(x,y)，使pxayb .證明：（必要性）向量a,b不共線，當(dāng)p與向量a,b共面時(shí)，它們可以平移到同一個(gè)平面內(nèi)，根據(jù)平面向量的基本定理，存在惟一的有序?qū)崝?shù)組(x,y)，使得pxayb（充分性）對(duì)于空間的三個(gè)向量p,a,b，其中a,b不共線，如果存在有序?qū)崝?shù)組(x,y)，使pxayb，那么在空間任意取一點(diǎn)M，作a, b, xa,過點(diǎn)A作yb,（如圖），則 xayb p,，于是點(diǎn)P在平面MAB內(nèi)，從而,共面，即向量p與向量a,b共面這就是說，向量p可以由兩個(gè)不共線的向量a,b線性表示四數(shù)學(xué)運(yùn)用例1如圖，已知矩形ABCD和矩形ADEF

9、所在平面互相垂直，點(diǎn)M,N分別在對(duì)角線BD,AE上，且BMBD，ANAE求證：MN平面CDE分析：要證明MN平面CDE，只要證明向量可以用平面CDE內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量和線性表示證明：如圖，因?yàn)镸在BD上，且BMBD，所以同理，又，所以()()又與不共線，根據(jù)共面向量定理，可知,共面由于MN不在平面CDE內(nèi)，所以MN平面CDE例2設(shè)空間任一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A,B,C,若點(diǎn)P滿足向量關(guān)系xyz（其中xyz1），試問：P, A,B,C四點(diǎn)是否共面？分析：類比證明三點(diǎn)共線的方法，要判斷P, A,B,C是否共面，可考察三個(gè)共起點(diǎn)的向量，是否共面解：由xyz1，可得x1z y則(1z y)yzy()z

10、()，所以y()z()，即yz.由A,B,C三點(diǎn)不共線，可知和不共線，所以，共面且具有公共起點(diǎn)A從而P, A,B,C四點(diǎn)共面思考：如果將xyz1整體代入，由(xyz) xyz出發(fā)，你能得到什么結(jié)論？例3從ABCD所在平面外一點(diǎn)O作向量k,k,k,k,（1）求證：四點(diǎn)E,F,G,H共面；（2）平面AC平面EG解：（1）四邊形ABCD是平行四邊形，kkk ()kk()k()，,共面且共起點(diǎn)，E,F,G,H四點(diǎn)共面（2）k()k，平面AC，同理平面AC，又E，平面AC平面EG練習(xí)：已知兩個(gè)非零向量e1, e2不共線，如果e1 e2, 2 e18 e2, 3 e13 e2.求證：A,B,C,D四點(diǎn)共面

11、五回顧小結(jié)1共面向量定理的證明；2共面向量定理的簡單運(yùn)用六布置作業(yè)3.1.3空間向量基本定理教學(xué)目標(biāo)：1.掌握空間向量基本定理及其推論；2.理解空間任一向量可用空間不共面的三個(gè)已知向量唯一線性表示，而且這種表示是唯一 的；3.在簡單問題中，會(huì)選擇適當(dāng)?shù)幕讈肀硎救我豢臻g向量教學(xué)重點(diǎn)，難點(diǎn)：空間向量基本定理及其推論教學(xué)過程：一.知識(shí)回顧共線向量定理：空間任意兩個(gè)向量a,b(a0)，ab的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使ba.e2e1a平面向量基本定理：如果e1，e2是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x,y，使a= xe1+ ye2 .二.問題情境 平面向量基本定理表

12、明，平面內(nèi)任一向量可以用該平面的兩個(gè)不共線的向量來線性表示對(duì)于空間向量是否有相應(yīng)的結(jié)論呢？三.數(shù)學(xué)理論空間向量基本定理：如果三個(gè)向量 e1, e2 , e3不共面，那么對(duì)空間任一向量p，存在一個(gè)惟一的有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使px e1y e2ze3.證明：（存在性）設(shè)e1, e2 , e3不共面過點(diǎn)O作e1, e2, e3, p,，過點(diǎn)P作直線PP平行于OC，交平面OAB于點(diǎn)P，在平面OAB內(nèi)，過點(diǎn)P作直線PAOB, PBOA,分別與直線OA,OB相交于點(diǎn)A,B，于是，存在三個(gè)實(shí)數(shù)x,y,z，使xxe1，yye2，zze3，xyzxe1ye2ze3（惟一性）假設(shè)還存在x,y,z使px e1y

13、e2ze3，那么xe1ye2ze3x e1y e2ze3(xx)e1(yy)e2(zz)e30不妨設(shè)xx即xx0，e1 e2 e3,e1, e2 , e3共面此與已知矛盾，有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)是惟一的.空間向量基本定理告訴我們，若三向量e1, e2 , e3不共面，那么空間的任一向量都可由e1, e2 , e3線性表示，我們把 e1, e2 , e3叫做空間的一個(gè)基底，e1, e2 , e3叫做基向量.空間任意三個(gè)不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底如果空間一個(gè)基底的三個(gè)基向量兩兩互相垂直，那么這個(gè)基底叫做正交基底，特別地，當(dāng)一個(gè)正交基底的三個(gè)基向量都是單位向量時(shí)，稱這個(gè)基底為單位正交基底

14、，通常用i,j,k表示.推論：設(shè)O,A,B,C是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間任一點(diǎn)P，都存在惟一的三個(gè)有序?qū)崝?shù)x，y，z，使xyz.四.數(shù)學(xué)運(yùn)用 例1 如圖，在正方體OADB-CADB中，點(diǎn)E是AB與OD的交點(diǎn),M是OD與CE的交點(diǎn)，試分別用向量,表示和.OA/CMED/B/ADB解：,.由OMEDMC,可得OMMDOD,. 例2 .如圖，已知空間四邊形OABC，其對(duì)角線為OB,AC,M,N分別是對(duì)邊OA，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G在線段MN上，且MG2GN，用基底向量，表示向量.G 解：()()(),.五、回顧總結(jié)空間向量基本定理及其證明六、布置作業(yè)§3.1.4 空間向量的坐標(biāo)表示教學(xué)目標(biāo)（1）能

15、用坐標(biāo)表示空間向量，掌握空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算；（2）會(huì)根據(jù)向量的坐標(biāo)判斷兩個(gè)空間向量平行教學(xué)重點(diǎn)，難點(diǎn)空間向量的坐標(biāo)的確定及運(yùn)算教學(xué)過程一.知識(shí)回顧 復(fù)習(xí)平面向量的坐標(biāo)表示及運(yùn)算律：（1）若pxiyj（i，j分別是x，y軸上同方向的兩個(gè)單位向量），則p的坐標(biāo)為(x, y)；（2）若a(a1, a2)，b(b1, b2)，則加（減）法：ab(a1b1, a2b2)；ab(a1b1, a2b2)數(shù)乘：la(la1, la2)（lR）數(shù)量積：a·ba1b1a2b2特別地，aba1lb1，a2lb2（lR）；aba1b1a2b20（3）若A (x1, y1)，B(x2, y2)，則(x2x1,

16、 y2y1)二.問題情境在平面“解析幾何初步”一章中，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過空間直角坐標(biāo)系，并能用坐標(biāo)表示空間任意一點(diǎn)的位置如何用坐標(biāo)表示空間向量？怎樣進(jìn)行空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算？三數(shù)學(xué)理論1空間向量的坐標(biāo)表示如圖，在空間直角坐標(biāo)Oxyz中，分別取與x軸、y軸、z軸方向相同的單位向量i，j，k作為基向量，對(duì)于空間任意一個(gè)向量a，根據(jù)空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x, y, z)，使axiyjzk有序?qū)崝?shù)組(x, y, z)叫做向量a在空間直角坐標(biāo)Oxyz中的坐標(biāo)，記作a(x, y, z)2在空間直角坐標(biāo)Oxyz中，對(duì)于空間任意一點(diǎn)A(x, y, z)，向量是確定的，容易得到xiyjzk，因此，向

17、量的坐標(biāo)為(x, y, z)這就是說，當(dāng)空間向量a的起點(diǎn)移至坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，其終點(diǎn)的坐標(biāo)就是向量a的坐標(biāo)3向量坐標(biāo)運(yùn)算法則（類似于平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算）（1）設(shè)a(a1, a2, a3)，b(b1, b2, b3)，則ab(a1b1, a2b2, a3b3)，ab(a1b1, a2b2, a3b3)la(la1, la2, la3)（lR）（2）若A(x1, y1, z1)，B(x2, y2, z2)，則(x2x1, y2y1, z2z1)4空間向量平行的坐標(biāo)表示ab（a0）a1lb1，a2lb2，a3lb3（lR）說明：即對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)成比例（但沒有平面向量平行的等積式）四數(shù)學(xué)運(yùn)用1例題：【例1】已知

18、a(1, 3, 8)，b(3, 10, 4)，求ab，ab，3a解：ab(1, 3, 8)(3, 10, 4)(13, 310, 84)(4, 7, 4)，ab(1, 3, 8)(3, 10, 4)(13, 310, 84)(2, 13, 12)，3a3×(1, 3, 8)(3, 9, 24)【例2】已知空間四點(diǎn)A(2, 3, 1)，B(2, 5, 3)，C(10, 0, 10)和D(8, 4, 9)，求證：四邊形ABCD是梯形證：依題意(2, 3, 1)，(2, 5, 3)，所以(2, 5, 3)(2, 3, 1)(4, 8, 2)同理(2, 4, 1)，(10, 1, 8)，(8

19、, 5, 7)由2可知，|，又與不共線，所以四邊形ABCD是梯形說明：與平面向量一樣，若A(x1, y1, z1)，B(x2, y2, z2)，則(x2x1, y2y1, z2z1)這就是說，一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去它的起點(diǎn)坐標(biāo)【例3】已知a(1, 6, 3)，b(1, 2, 9)，c(4, 0, 24)，求證：a，b，c共面解：因?yàn)閍(1, 6, 3)，b(1, 2, 9)，所以a與b不共線不妨設(shè)cxayb，則解得，所以ca3b，所以a，b，c共面【例4】在正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N，P分別是CC1，B1C1，C1D1的中點(diǎn)，試建立空間直角坐標(biāo)系，

20、證明：平面MNP平面A1BD解：以D1為坐標(biāo)原點(diǎn)，D1A1，D1C1，D1D所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)正方體棱長為1，則A1(1, 0, 0)，B(1, 1, 1)，D(0, 0, 1)，B1(1, 1, 0)，C1(0, 1, 0)，N(, 1, 0)，M(0, 1, )，D1(0, 0, 0)，P(0, , 0)，于是(0, 1, 1)，(1, 0, 1)，(, 0, )，(0, , )，顯然有，所以，因此平面MNP平面A1BD說明：同平面解析幾何坐標(biāo)法解題一樣，關(guān)鍵是如何建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系當(dāng)然本題不用坐標(biāo)法而用向量的方法也不難證明五回顧小結(jié)：1會(huì)正確的確定空間向量及點(diǎn)的坐

21、標(biāo)； 2向量的坐標(biāo)判斷兩個(gè)空間向量平行的方法； 六課外作業(yè)：§3.1.5 空間向量的數(shù)量積第一課時(shí)教學(xué)目標(biāo) 1.在充分了解平面向量及空間向量的概念、向量的加、減以及數(shù)乘等運(yùn)算基礎(chǔ)上,進(jìn)一步類比探究并獲得空間向量數(shù)量積的概念、性質(zhì)及運(yùn)算律 2.掌握空間向量夾角和模的概念，學(xué)會(huì)用向量數(shù)量積求兩直線所成的角，能判斷兩直線（向量）的位置關(guān)系（平行、垂直）； 3.了解空間向量數(shù)量積的幾何意義教學(xué)重點(diǎn)，難點(diǎn)空間向量數(shù)量積教學(xué)過程一問題情境 1.知識(shí)回顧（1）平面向量的數(shù)量積定義：已知兩個(gè)非零向量a，b，有a·b|a|b|cosq，（0qp），其中q是向量a，b的夾角，并規(guī)定a·

22、;b0（2）平面向量的夾角：將與平移至同起點(diǎn)處所成的0qp 角（同起點(diǎn)是關(guān)鍵） 2.問題：我們已經(jīng)學(xué)過了平面向量夾角的定義和平面向量數(shù)量積的定義，那么類比平面向量知識(shí)，空間向量的夾角和數(shù)量積怎么定義？二.數(shù)學(xué)理論由于任意兩個(gè)空間向量都是共面向量，因此，兩個(gè)空間向量的夾角以及它們的數(shù)量積就可以像平面向量那樣來定義 1.空間向量的夾角及其表示：如圖，已知兩非零向量a，b，在空間任取一點(diǎn)O，作a，b，則AOB叫做向量a與向量b的夾角，記作<a,b>；范圍：0<a,b>p，在這種規(guī)定下，兩個(gè)向量的夾角就被唯一確定了，并且有<a,b><b,a>若<a

23、,b>0，那么向量a與b同向；若<a,b>p，那么向量a與b反向；若<a,b>，則稱a與b互相垂直，記作：ab注意：正確使用兩個(gè)向量夾角的符號(hào)<a,b>例如：<,>BAC 2.向量的模：設(shè)a，則有向線段的長度叫做向量a的長度或模，記作：|a|3.向量的數(shù)量積：已知a，b是空間兩個(gè)非零向量，則|a|b|cos<a,b>叫做向量a，b的數(shù)量積，記作a·b，即a·b|a|b|cos<a,b>規(guī)定：0向量與任何向量的數(shù)量積為0注意：兩個(gè)向量的數(shù)量積是數(shù)量，而不是向量，符號(hào)由cosq的符號(hào)所決定 零向量與任

24、意向量的數(shù)量積等于零4.由空間向量數(shù)量積定義可知：空間兩個(gè)非零向量a·b的夾角<a,b>可以由cos<a,b>求得5.空間向量數(shù)量積的性質(zhì)： （1）cos<a,b>；（2）aba·b0（a，b是兩個(gè)非零向量）；（3）|a|2a·aa2注意：性質(zhì)（2）是證明兩向量垂直的依據(jù)； 性質(zhì)（3）是求向量的長度（模）的依據(jù)。6空間向量數(shù)量積運(yùn)算律：（1）交換律：a·bb·a；（2）數(shù)乘的結(jié)合律：(la)·bl(a·b)a·(lb)，（lR）；（3）分配律：a·(bc)a·

25、ba·c注意：數(shù)量積不滿足結(jié)合律 (a·b)·ca·(b·c)，為什么？思考：0·a是零向量嗎？0a是零向量嗎？0·a表示零向量與向量a的數(shù)量積，它的值為0，而不是零向量；0a表示實(shí)數(shù)0與向量a的積，其結(jié)果是零向量四數(shù)學(xué)運(yùn)用1例題：【例1】已知|a|4，|b|3，a·b12，求a與b的夾角<a,b>解：cos<a,b>，0<a,b>p ，<a,b>變式：已知|a|4，|b|3，a·b12，求a與b的夾角<a,b>求出 cos<a,b>

26、時(shí)，注意由<a,b>的范圍得<a,b>的值【例2】如圖，已知四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是矩形，AB4，AD3，AA15，BAA1DAA160°，求AC1的長解：由題意可得·0，·4×5×cos60°10，·3×5×cos60°7.5，因?yàn)?，所以|2()2|2|2|22(···)4232522(0107.5)85從而得到AC1的長為注：通過數(shù)量積求長度是常見的方法，理解等式|a|2a2的意義，體會(huì)向量的數(shù)量積是實(shí)施向量等式向數(shù)

27、量等式轉(zhuǎn)化的重要途徑【例3】已知空間四邊形ABCD中，ABCD，ACBD，求證：ADBC證明：（法一）·()· ()··2·· ()· ()·0（法二）選取一組基底，設(shè)a，b，c，ABCD，a· (cb)0，即a·cb·a，同理：a·bb·c，a·cb·c，c· (ba)0，·0，即ADBC2練習(xí)：（1）判斷下列命題是否正確： 若a·ba·c，則bc； 若a·b0，則ab； (a·b)&

28、#183;ca·(b·c)； 0·a0（2）設(shè)ab，<a, c>，<b, c>，且|a|1，|b|2，|c|3，求向量abc的模五回顧小結(jié)：1由平面向量類比出空間的兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義、性質(zhì)及其運(yùn)算律； 2會(huì)用向量的方法求線段的長度，求兩異面直線所成的角，以及求證空間中的兩線垂直六課外作業(yè)：課本P.84 練習(xí)5補(bǔ)充：已知向量ab，向量c與a，b的夾角都是60°，且|a|1，|b|2，|c|3，試求(ab)2，(a2bc)2，(3a2b)·(b3c)第二課時(shí)一問題情境1.知識(shí)回顧平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及一些應(yīng)用：（1）

29、對(duì)于平面內(nèi)兩個(gè)非零向量a(x1, y1)，b(x2, y2)，則a·bx1x2y1y2（2）長度、夾角、垂直的坐標(biāo)表示：長度：若a(x1, y1)，則|a|2x2y2，即|a|；兩點(diǎn)間的距離公式：若A(x1, y1)，B(x2, y2)，則；夾角：cosq；垂直的充要條件：aba·b0，即x1x2y1y20（注意與向量共線的坐標(biāo)表示的區(qū)別）2.問題：類比平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用，思考對(duì)于空間兩個(gè)非零向量，它們的數(shù)量積的坐標(biāo)表示又是怎樣的呢？三數(shù)學(xué)理論 一般地，設(shè)空間兩個(gè)非零向量為a(x1, y1, z1)，b(x2, y2, z2)，則a·bx1x2y1y

30、2z1z2 證：若i, j, k是空間的一個(gè)單位正交基底，則a(x1, y1, z1)x1iy1jz1k，b(x2, y2, z2)x2iy2jz2ka·b(x1iy1jz1k)· (x2iy2jz2k)x1x2i 2y1y2j 2z1z2k 2x1y2i·jx1z2i·ky1x2j·iy1z2 j·kz1x2k·iz1y2k·jx1x2y1y2z1z2從而得兩個(gè)空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示公式：a·bx1x2y1y2z1z2即：兩個(gè)向量數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和1模長公式特別地，當(dāng)ba時(shí)，可以得到向量

31、的長度公式：若a(x1, y1, z1)，則|a|；2兩點(diǎn)間的距離公式：使用向量方法推導(dǎo)A(x1, y1, z1)，B(x2, y2, z2)間的距離公式AB|，3夾角公式：設(shè)空間兩個(gè)非零向量a(x1, y1, z1)，b(x2, y2, z2)，它們的夾角為<a,b>由向量數(shù)量積的定義，可得cosq< a,b >特別地，aba·b0，即x1x2y1y2z1z20四數(shù)學(xué)運(yùn)用1例題：【例1】已知A(3, 1, 3)，B(1, 5, 0)，求：（1）線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)和長度；（2）到A，B兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的坐標(biāo)x，y，z滿足的條件解：（1）設(shè)M是AB的中點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，則()(3, 1, 3)(1, 5, 0)(2, 3, )所以線段AB中點(diǎn)的坐標(biāo)是(2, 3, )因?yàn)?2, 4, 3)，所以線段的長度為|（2）設(shè)P(x, y, z)到A，B兩點(diǎn)距離相等，則，化簡，得4x8y6z70所以到A，B兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的坐標(biāo)x，y，z滿足的條件是4x8y6z70【例2】在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是BB1，CD的中點(diǎn)，求證：D1F平面ADE證明