免積分考研數(shù)三歷年真題答案詳解2002講解

1、2004年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題、填空題(本題共6小題，每小題4分，滿分24分.把答案填在題中橫線上)(1)若 lim 羅 x(cosx _b) =5，貝V a =，b =xtO e-a 設(shè)函數(shù)f (u , v)由關(guān)系式f xg(y) , y = x + g(y)確定，其中函數(shù) g(y)可微，且g(y) = 0,則-2 r'x211xe ， _ 蘭 x w _2設(shè) f (x) = «22，則1 f ( 1)dx =-1 ,xC乜. 2(4)二次型 f (為出風(fēng))=(% X2)2(X2 - X3)2(X3 Xj2 的秩為 設(shè)隨機(jī)變量x服從參數(shù)為 入的指數(shù)分布，則p

2、x > JDX =. 設(shè)總體X服從正態(tài)分布 N( M, 02),總體Y服從正態(tài)分布 N(建，o2),X1,X2/ Xn1和丫1,丫2,Yn2分別是來(lái)自總體X和Y的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，則I n,2 %2 |Z (Xi -X) +遲(Yj 丫)L 7j 二E =山 + n2 - 2LJ二、選擇題(本題共6小題，每小題4分，滿分24分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有 項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi))函數(shù)f (x)=在下列哪個(gè)區(qū)間內(nèi)有界(D) (2,3).1g(x)=£),"0，則0 ,x = 0I x|sin(x -2)x(x_1)(x _2)2(A) ( -1

3、, 0).(B) (0 , 1).(C) (1 , 2).(8) 設(shè) f (x)在(-：,+ ：)內(nèi)有定義，且 lim f(x) = a , XT=«(A) x = 0必是g(x)的第一類間斷點(diǎn).(B) x = 0必是g(x)的第二類間斷點(diǎn)(C) x = 0必是g(x)的連續(xù)點(diǎn).(D) g(x)在點(diǎn)x = 0處的連續(xù)性與a的取值有關(guān).(9) 設(shè) f (x) = |x(1 -x)|,貝U(A) x = 0是f (x)的極值點(diǎn)，但(0,0)不是曲線y = f (x)的拐點(diǎn).(B) x = 0不是f (x)的極值點(diǎn)，但(0,0)是曲線y = f (x)的拐點(diǎn).(C) x = 0是f (x)

4、的極值點(diǎn)，且(0,0)是曲線y = f (x)的拐點(diǎn).(D) x = 0不是f (x)的極值點(diǎn)，(0,0)也不是曲線y = f (x)的拐點(diǎn).(10) 設(shè)有下列命題：(1)若V (u2n J u2n)收斂，則v un收斂. ndQOQO(2)若二un收斂，則 二Un!：;iooo收斂.n -1n -1oCi若lim Un 11，則v Un發(fā)散.I30 unn =1QOOOQO 若v (UnVn)收斂，則v Un，、' V*都收斂.n =1n Tn T則以上命題中正確的是(A) (1)(B)(C).(D) (1).(11)設(shè)f (x)在a , b上連續(xù)，且f (a) 0, f (b) ：

5、 0 ,則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是(A)至少存在一點(diǎn)呦(a, b)，使得f (x0)> f (a).(B)至少存在一點(diǎn)x (a,b)，使得(C)至少存在一點(diǎn)x (a,b)，使得f () = 0 (D)至少存在一點(diǎn)x0 (a, b)，使得f (x0) = 0.(12)設(shè)n階矩陣A與B等價(jià)，則必有(A)當(dāng) |A| = a(a=0)時(shí)，|B|=a.(B)當(dāng) |A|=a(a=0)時(shí),|B|=-a.-7 -(C)當(dāng) |A|=0 時(shí)，|B|=0.(D)當(dāng) |A 戶 0 時(shí)，|B|=0.(13)設(shè)n階矩陣A的伴隨矩陣A0,若&飛，&, &是非齊次線性方程組Ax二b的互不相等的解，則對(duì)

6、應(yīng)的齊次線性方程組Ax =0的基礎(chǔ)解系(A)不存在.(B)僅含一個(gè)非零解向量.(C)含有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量.(D)含有三個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量.(14)設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(0,1),對(duì)給定的a (0,1),數(shù)U °滿足PXUa - a,若P| X |<X = a,則x等于(A)(B)乜.(C)彎.(D) U1三、解答題(本題共9小題，滿分94分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.)(15) (本題滿分8分)21 cos x 求 lim( 2-2 ).XrO sin x x(16) (本題滿分8分)求 C x2y2y)，其中D是由圓x2y2 =4和(x 1)2 y1所

7、圍成的Dt平面區(qū)域(如圖).(17) (本題滿分8分)設(shè)f (x) , g(x)在a , b上連續(xù)，且滿足xxbbaf(t)dt ag(t)dt，x a , b)， af(t)dt 二 ag(t)dt . a- a- a- abb證明： xf (x)dx 乞 xg(x)dx .aa(18) (本題滿分9分)設(shè)某商品的需求函數(shù)為Q = 100 - 5P,其中價(jià)格P (0,20), Q為需求量.(I)求需求量對(duì)價(jià)格的彈性Ed ( Ed > 0)；dR(II) 推導(dǎo) Q(1-Ed)(其中R為收益)，并用彈性Ed說(shuō)明價(jià)格在何范圍內(nèi)變化時(shí),dP降低價(jià)格反而使收益增加(19) (本題滿分9分)設(shè)級(jí)數(shù)

8、462 42 4 62 4 6 8(-二：x ：' L )的和函數(shù)為S(x).求：(I) S(x)所滿足的一階微分方程;(II) S(x)的表達(dá)式(20) (本題滿分13分)設(shè) a =(1,2,0)T, a =(1, a 2,_3o)T, a=(-1,-b-2, a 2b)T, 廿(1,3,-3)T,試討論當(dāng)a,b為何值時(shí)，(i) B不能由a, a, a線性表示；(n ) b可由a, a, a唯一地線性表示，并求出表示式；(川)B可由a, a2, a線性表示，但表示式不唯一,并求出表示式(21) (本題滿分13分)設(shè)n階矩陣1bb'b1bA =:Jbb1(I )求A的特征值和特

9、征向量；(n)求可逆矩陣P ,使得P JAP為對(duì)角矩陣(22) (本題滿分13分)111設(shè)A，B為兩個(gè)隨機(jī)事件，且P(A) , P(B|A) , P(A|B) ,令4324A發(fā)生，1,B發(fā)生，XY =0, A不發(fā)生，0, B不發(fā)生.求(I )二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率分布；(n ) X與Y的相關(guān)系數(shù)py ;(川)Z =X2 Y2的概率分布(23) (本題滿分13分)設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x, a B)二|1 -1IX丿10,X - a,X乞a,其中參數(shù)a 0, B 1.設(shè) X1,X2，Xn為來(lái)自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本(I )當(dāng)a-1時(shí)，求未知參數(shù)B的矩估計(jì)量；(n)當(dāng)a 1時(shí)，求未知參數(shù)

10、卩的取大似然估計(jì)量；(川)當(dāng)B - 2時(shí)，求未知參數(shù)a的取大似然估計(jì)量.2004年考研數(shù)學(xué)(三)真題解析一、填空題(本題共6小題，每小題4分，滿分24分.把答案填在題中橫線上)(1)若 lim sin x (cosx _b) = 5，貝U a =1，b =-4xtO ex _ a 【分析】本題屬于已知極限求參數(shù)的反問(wèn)題【詳解】因?yàn)閘im 空藝(cosx - b) = 5，且lim sin x (cosx - b) = 0，所以 x；0ex - ax；olim (ex - a) = 0 ,得 a = 1.極限化為x >0sin xxlim -(cos x -b) = lim (cosx -

11、b) = 1 -b = 5，得 b = -4.x；oex -aXT x因此，a = 1, b = -4.【評(píng)注】一般地，已知lim丄兇 =A,g(x)(1) 若 g(x) > 0，則 f (x) 、o；(2) 若 f (x) -； 0，且 A - 0,則 g(x) > 0.(2)設(shè)函數(shù)f (u , v)由關(guān)系式f xg(y) , y = - + g(y)確定，其中函數(shù) g(y)可微，且g(y) = 0, 則止=也.u vg2(v)【分析】令u = xg(y), v = y,可得到f (u , v)的表達(dá)式，再求偏導(dǎo)數(shù)即可【詳解】令 u = xg(y), v = y,則 f (u ,

12、 v) = g(v),g(v)所以,f 1：ug(v):-u：- vg(v)g2(v)2xex(3)設(shè) f (X) h_ 11. 1, x2 2X A1，2，則2丄 f (x -1)dx =22_【分析】本題屬于求分段函數(shù)的定積分，先換元: 的積分性質(zhì)即可.X- 1 = t,再利用對(duì)稱區(qū)間上奇偶函數(shù)【詳解】令-1 = t,2 1 11 f (1)dx1 f (t)dt 1 f(x)dt-221xexdx + ©(TMxF+L1) 2 2【評(píng)注】一般地，對(duì)于分段函數(shù)的定積分，按分界點(diǎn)劃分積分區(qū)間進(jìn)行求解2 2 2 二次型 f(Xi,X2,X3)=(Xi X2)(X2 - X3)(X3

13、Xi)的秩為 2 .【分析】二次型的秩即對(duì)應(yīng)的矩陣的秩，亦即標(biāo)準(zhǔn)型中平方項(xiàng)的項(xiàng)數(shù) ，于是利用初等變換或配方法均可得到答案【詳解一】因?yàn)?f(X1,X2,X3 (x1 X2)2 (x2 -X3)2 (x3 xj22 2 2=2x12x2 2x32x2 2x1x 2x2x3*211 于是二次型的矩陣為A =12-151-12J卩-12 '卩-12 由初等變換得At03-3T03-323一300丿從而r(A)=2,即二次型的秩為2.【詳解二】因?yàn)?f(Xi，X2，X3)=(Xi X2)2 (X2 -X3)2 (X3 Xi)22 2 2=2% 2x22x3 2x1x2 2x1 x3 - 2x2

14、 x31 1232= 2(X1 X2 X3)(X2 -X3)2 2 2232=2 y1y2 ,2""+夕2所以二次型的秩為 2.其中y2 7 - X3.(5)設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為入的指數(shù)分布，則PX DX二1e【分析】根據(jù)指數(shù)分布的分布函數(shù)和方差立即得正確答案1【詳解】由于D =X的分布函數(shù)為0,< 0.=1 PX 乞.DX =1 PX 乞 =1 F(1) 入入【評(píng)注】本題是對(duì)重要分布，即指數(shù)分布的考查，屬基本題型.PX DX2 設(shè)總體X服從正態(tài)分布 N (4，(T )，總體Y服從正態(tài)分布 N (建,)，Xi,X2,和丫1,冷分別是來(lái)自總體 X和Y的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,則

15、- 2 n2_ 2IS (Xi X)吃(Yj Y)2 (Ti £j=1n-in 2-2【分析】利用正態(tài)總體下常用統(tǒng)計(jì)量的數(shù)字特征即可得答案【詳解】因?yàn)? n1E(Xi -X)2 = o2n- -1 i _i1 n2 _EnX jY)2 =故應(yīng)填o2.【評(píng)注】本題是對(duì)常用統(tǒng)計(jì)量的數(shù)字特征的考查二、選擇題(本題共6小題，每小題4分，滿分24分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有 項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)) 函數(shù)f (x)二1 x|sin(x_2在下列哪個(gè)區(qū)間內(nèi)有界 .x(x-1)(x-2)2(A) ( -1，0).(B) (0，1).(C) (1，2).(D) (2,3

16、). A 【分析】如f (x)在(a , b)內(nèi)連續(xù)，且極限lim f (x)與lim f (x)存在，則函數(shù)f (x) xTa*xTb 在(a , b)內(nèi)有界.【詳解】當(dāng) 心0 , 1 , 2時(shí)，f (x)連續(xù)，而 血丄f(x)=沁 ,lim f(x) =沁 x»+18 io 一4sin 2lim f (x)二,lim f (x)二：,lim f (x)二：,XrO4 x )1x >2所以，函數(shù)f (x)在 (-1 , 0)內(nèi)有界，故選(A).【評(píng)注】一般地，如函數(shù)f (x)在閉區(qū)間a , b上連續(xù)，則f (x)在閉區(qū)間a , b上有界；如函數(shù)f (x)在開區(qū)間(a , b)

17、內(nèi)連續(xù)，且極限lim f (x)與lim f (x)存在，則函數(shù)f (x)在開區(qū)間(a , b) .I Xr ax b內(nèi)有界(8) 設(shè) f (x)在(- , + ：)內(nèi)有定義，且 lim f(x)=a ,xT°°g(x)Qxo，則0 ,x=0(A) x = 0必是g(x)的第一類間斷點(diǎn).(B) x = 0必是g(x)的第二類間斷點(diǎn).(C) x = 0必是g(x)的連續(xù)點(diǎn).(D) g(x)在點(diǎn)x = 0處的連續(xù)性與 a的取值有關(guān).D 1【分析】考查極限lim g(x)是否存在，如存在，是否等于 g(0)即可，通過(guò)換元u = 1 ,XT。x可將極限lim g(x)轉(zhuǎn)化為lim

18、f (x).0x ):1 . 1【詳解】因?yàn)?lim g(x) = lim f ( ) = lim f (u) = a(令 u )，又 g(0) = 0 ,所以，x >0Xr0x u)：:x當(dāng)a = 0時(shí)，lim g(x) = g(0)，即g(x)在點(diǎn)x = 0處連續(xù)，當(dāng)a北0時(shí)， xt0lim g(x) = g(0)，即x = 0是g(x)的第一類間斷點(diǎn)，因此，g(x)在點(diǎn)x = 0處的連續(xù)性X.0與a的取值有關(guān)，故選(D).【評(píng)注】本題屬于基本題型，主要考查分段函數(shù)在分界點(diǎn)處的連續(xù)性(9) 設(shè) f (x) = |x(1 x)|,貝U(A) x = 0是f (x)的極值點(diǎn)，但(0,0)

19、不是曲線y = f (x)的拐點(diǎn).(B) x = 0不是f (x)的極值點(diǎn)，但(0,0)是曲線y = f (x)的拐點(diǎn).(C) x = 0是f (x)的極值點(diǎn)，且(0,0)是曲線y = f (x)的拐點(diǎn).(D) x = 0不是f (x)的極值點(diǎn)，(0,0)也不是曲線y = f (x)的拐點(diǎn).C 【分析】由于f(X)在x = 0處的一、二階導(dǎo)數(shù)不存在，可利用定義判斷極值情況，考查f (x)在x = 0的左、右兩側(cè)的二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，判斷拐點(diǎn)情況【詳解】設(shè) 0 < :. < 1，當(dāng) x(一、；，0)(0 ,時(shí)，f (x) > 0,而 f (0) = 0 ,所以 x = 0 是 f

20、(x)的極小值點(diǎn)顯然，x = 0 是 f (x)的不可導(dǎo)點(diǎn).當(dāng) x ：二(-，0)時(shí)，f (x) = -x(1 - x), f (x) = 20 ,當(dāng) x：二(0 ,:)時(shí)，f (x) = x(1-x),f (x)二-2 0，所以(0,0)是曲線 y = f (x)的拐點(diǎn).故選(C).f (x)在x = 0的某空心鄰域內(nèi)的一階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來(lái)判斷【評(píng)注】對(duì)于極值情況，也可考查(10) 設(shè)有下列命題：(1)若a (u2n斗u2n)收斂，則a un收斂. nW心oOoO若a un收斂，則v un 1000收斂.nWn =1QO若lim un 11，則v un發(fā)散.unndCOoOco若V (unvn)

21、收斂，則V un , v vn都收斂.n =1n =1n =1則以上命題中正確的是(A) (1).(B).(C).(D) (1) (4).【分析】可以通過(guò)舉反例及級(jí)數(shù)的性質(zhì)來(lái)說(shuō)明4個(gè)命題的正確性.oOoo【詳解】是錯(cuò)誤的，如令un =(-1)，顯然，7 un分散，而7 (u2nju2n)收斂.n =1n -1(2)是正確的，因?yàn)楦淖儭⒃黾踊驕p少級(jí)數(shù)的有限項(xiàng)，不改變級(jí)數(shù)的收斂性oCi是正確的，因?yàn)橛蒷im Un 1 -1可得到un不趨向于零(n),所以Un發(fā)散.n* un心是錯(cuò)誤的，如令un,vnn1 : :-一，顯然，' un ,vn都發(fā)散，而nn =1n =1od7 (unvn)收斂

22、.故選(B).n =1【評(píng)注】本題主要考查級(jí)數(shù)的性質(zhì)與收斂性的判別法，屬于基本題型(11)設(shè)f (x)在a , b上連續(xù)，且f (a)0, f (b) : 0，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是(A)至少存在一點(diǎn)(a, b)，使得f%)f (a).(B) 至少存在一點(diǎn)勺 (a,b)，使得f (x0) > f (b).(C) 至少存在一點(diǎn)xq (a,b)，使得f (勺)=0.(D) 至少存在一點(diǎn)xo (a, b)，使得f(xo) = 0.【分析】利用介值定理與極限的保號(hào)性可得到三個(gè)正確的選項(xiàng)，由排除法可選出錯(cuò)誤選項(xiàng)【詳解】首先，由已知f (x)在a , b上連續(xù)，且 (a) 0, f (b) ： 0 ,

23、則由介值定理,至少存在一點(diǎn)x0 (a,b)，使得f (x0) =0 ；另外，f (a) = lim f(x) 0 ,由極限的保號(hào)性，至少存在一點(diǎn)x0 (a,b)xTa*x-a使得f (xo) 一 f (a)0,即f(xo) f(a).同理，至少存在一點(diǎn)xo (a,b)Xo a使得f(x0) f(b).所以,(A) (B) (C)都正確，故選(D).【評(píng)注】 本題綜合考查了介值定理與極限的保號(hào)性，有一定的難度(12)設(shè)n階矩陣A與B等價(jià)，則必有(A)當(dāng) |A| = a(a=0)時(shí)，|B|=a.(B)當(dāng) |A|=a(a=0)時(shí)，| B 尸a .(C)當(dāng) |A|=0 時(shí)，|B|=0.(D)當(dāng) |A|

24、=0 時(shí)，|B|=0. D 【分析】利用矩陣A與B等價(jià)的充要條件：r(A)二r(B)立即可得.【詳解】因?yàn)楫?dāng)|A|=0時(shí)，r(A) ： n,又 A與B等價(jià)，故r(B) ： n,即|B|=0,故選(D).【評(píng)注】本題是對(duì)矩陣等價(jià)、行列式的考查 ，屬基本題型(13)設(shè)n階矩陣A的伴隨矩陣A* = 0,若首，&, &, &是非齊次線性方程組Ax二b的互不相等的解，則對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組Ax = 0的基礎(chǔ)解系(A)不存在.(B)僅含一個(gè)非零解向量.(C) 含有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量 (D)含有三個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量.B 【分析】 要確定基礎(chǔ)解系含向量的個(gè)數(shù)，實(shí)際上只要確定未知數(shù)的個(gè)

25、數(shù)和系數(shù)矩陣的秩【詳解】 因?yàn)榛A(chǔ)解系含向量的個(gè)數(shù) =n-r(A),而且h r(A) = n, r(A*) = 口r(A) = n -1,0, r (A) c n 1.根據(jù)已知條件 A* = 0,于是r(A)等于n或n -1.又Ax = b有互不相等的解即解不惟一，故r(A)二n -1.從而基礎(chǔ)解系僅含一個(gè)解向量 ，即選(B).【評(píng)注】本題是對(duì)矩陣A與其伴隨矩陣A*的秩之間的關(guān)系、線性方程組解的結(jié)構(gòu)等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)的綜合考查.(14)設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(0,1),對(duì)給定的a (0,1),數(shù)U °滿足PXua = a,若P| X |CX = a,則X等于(A) u a.(B) u

26、a.(C) u(D) U1 _. C 1 2 2 2【分析】利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性和幾何意義即得【詳解】 由P| X |cx = a,以及標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性可得1 aPX x.故正確答案為(C).2【評(píng)注】本題是對(duì)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的性質(zhì)，嚴(yán)格地說(shuō)它的上分位數(shù)概念的考查.三、解答題(本題共9小題，滿分94分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.)(15) (本題滿分8分)21 COS X、求 lim (2 一 2 ).xrO sin2x x2【分析】先通分化為“ 0”型極限，再利用等價(jià)無(wú)窮小與羅必達(dá)法則求解即可02 2 2 21 cos xx -sin xcos x【詳解】l

27、im (2 一 2)= lim 22xo sin x x x >0x2 sin x"Jim 絲4x；o 6x2=lim 2x；o6x21 1x2sin22x 2xsi n4x=lim44二 limXrOx4x.O4x3【評(píng)注】本題屬于求未定式極限的基本題型，對(duì)于“-”型極限，應(yīng)充分利用等價(jià)無(wú)窮小0替換來(lái)簡(jiǎn)化計(jì)算(16) (本題滿分8分)求 C. x2 y2 y)d匚，其中D是由圓x2 y4和(x 1)2y2 =1所圍成的平面區(qū)D域(如圖).【分析】首先，將積分區(qū)域 D分為大圓D1 =(x,y)|x2 y2 _ 4減去小圓D2 =(x, y) | (x 1)2 y2 <1，

28、再利用對(duì)稱性與極坐標(biāo)計(jì)算即可【詳解】令 5 =(x,y)|x2 y2 乞4, D2 二(x,y)|(x 1)2 y2 乞1，由對(duì)稱性，.1.1 yd；：二 0 .Dii；、x2y2d；- x2y2d；-x2y2d匚D1D2打 dl-r2dr二2 d-2costi 2 r2dr.16:332所以,.(x2 y2 y)d-D-2).-29 -對(duì)于二重積分，經(jīng)常利用對(duì)稱性【評(píng)注】本題屬于在極坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分的基本題型, 及將一個(gè)復(fù)雜區(qū)域劃分為兩個(gè)或三個(gè)簡(jiǎn)單區(qū)域來(lái)簡(jiǎn)化計(jì)算(17) (本題滿分8分)設(shè)f (x) , g(x)在a , b上連續(xù)，且滿足xxbbf(t)dt - g(t)dt，x a ,

29、 b)， f(t)dt 二 g(t)dt . aaaa證明：bbxf(x)dx 乞 xg(x)dx . a' ax【分析】令F(x) = f (x) -g(x), G(x)二F(t)dt，將積分不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)不等式即可 'ax【詳解】令 F(x) = f (x) -g(x), G(x) F (t)dt， 'a由題設(shè) G(x)工0，x E a , b，G(a) = G(b) = 0，G (x) = F (x).bbb bb從而 f xF (x)dx = xdG(x) =xG(x)L -G(x)dx = G(x)dx , 'aIa aa由于 G(x) > 0

30、, xw a , b，故有b-G(x)dx",ab即 L xF( x)dx 蘭 0 .bb因此 xf(x)dx xg(x)dx.a' a【評(píng)注】引入變限積分轉(zhuǎn)化為函數(shù)等式或不等式是證明積分等式或不等式的常用的方法(18) (本題滿分9分)設(shè)某商品的需求函數(shù)為 Q = 100 - 5P,其中價(jià)格P (0,20)，Q為需求量.(I)求需求量對(duì)價(jià)格的彈性Ed (Ed > 0)；dR(II) 推導(dǎo) Q(1-Ed)(其中R為收益)，并用彈性Ed說(shuō)明價(jià)格在何范圍內(nèi)變化時(shí),dP降低價(jià)格反而使收益增加.【分析】P dQ由于Ed> 0,所以Ed諾罟；由Q = PQ及巳帶可推導(dǎo)Q d

31、PdRdP二Q(1 -Ed).【詳解】PdQQ dPP20-P(II)駄QdPdQP dQPhQ(1 6討 5呵.又由Ed -20 P=1，得 P = 10.dR當(dāng) 10 < P < 20 時(shí)，Ed > 1，于是0，dP故當(dāng)10 < P < 20時(shí)，降低價(jià)格反而使收益增加【評(píng)注】當(dāng)Ed> 0時(shí)，需求量對(duì)價(jià)格的彈性公式為 Ed二P dQQ dP二Q dP利用需求彈性分析收益的變化情況有以下四個(gè)常用的公式:dRdR"Ed)Qdp，環(huán)"Ed)Q，dRdQ珂1 一Ed)P，Er丁1收益對(duì)價(jià)格的彈性).(19) (本題滿分9分)設(shè)級(jí)數(shù)X4X6X8+

32、的和函數(shù)為S(x).求：(I) S(x)所滿足的一階微分方程；(II) S(x)的表達(dá)式.【分析】對(duì)S(x)進(jìn)行求導(dǎo)，可得到S(x)所滿足的一階微分方程，解方程可得S(x)的表達(dá)式I詳解】(I) S(x)4x6+2 4x8+6易見 S(0) = 0，S(x)2= x(76八x、)2 42 4 6x4x2叫 S(x).因此S(x)是初值問(wèn)題3xy 二 xy , y(0) =0 的解.23x(II)方程y“=xy的通解為2xdx x3- xdxy = e e 2dx C22 x=-x 1 Ce 2，2由初始條件y(0) = 0 ,得C = 1.e 2 -1,因此和函數(shù)S(x)二x2x2e 2 -1

33、.【評(píng)注】本題綜合了級(jí)數(shù)求和問(wèn)題與微分方程問(wèn)題,2002年考過(guò)類似的題(20) (本題滿分13分)廿(1,3-3)丁,設(shè) ai = (1,2,0)丁 , a2 - (1, a 2,一3«)丁， a=(i1,_b-2, a 2b) 丁 , 試討論當(dāng)a,b為何值時(shí),（i） B不能由a, a, a線性表示（n） B可由a , a, a唯一地線性表示,并求出表示式；（川）B可由a, a2, a線性表示，但表示式不唯一，并求出表示式.【分析】將B可否由a, a, a線性表示的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性方程組& a k? a k3a = B是否有解的問(wèn)題即易求解.【詳解】設(shè)有數(shù)ki,k2,k3,使得

34、k1 ak2 a k3 a = B.(*)記A=（a, a, a）.對(duì)矩陣（A, B）施以初等行變換，有(A, B)二12-1_b _210-11【1-3aa 2b-3°當(dāng)a =0時(shí)，有-1-b(A, B) >-1可知r(A) = r(A, B) 故方程組（*）無(wú)解，B不能由a,a線性表示.1(A, B)t 00-1r(A) = r(A, B) = 3 ,方程組(*)有唯一解:此時(shí)B可由a, a, a唯一地線性表示，其表示式為（川）當(dāng)a =b =0時(shí)，對(duì)矩陣（A, B）施以初等行變換1 111 一一a111-11(A, B)t 0 a b 1t00 a b 01 a 1 a o

35、11oo 1 o1 o or(A)二r(A,卩)=2 ,方程組(*)有無(wú)窮多解，其全部解為11k1 =1, k2c, k3 =c, 其中c為任意常數(shù).aaB可由a, a, a線性表示，但表示式不唯一一 ,其表示式為aa【評(píng)注】本題屬于常規(guī)題型5曾考過(guò)兩次(1991,2000)(21)(本題滿分13分)設(shè)n階矩陣卩bbb1厶bA =a9aebb1 1込(1) a ( c) a c a .(I )求A的特征值和特征向量(n)求可逆矩陣P ,使得PAP為對(duì)角矩陣.【分析】這是具體矩陣的特征值和特征向量的計(jì)算問(wèn)題，通?？捎汕蠼馓卣鞣匠蘾疋- A|=0和齊次線性方程組(疋- A)x = 0來(lái)解決.【詳解

36、】(I )1當(dāng)b = 0時(shí)，X-1_b-b-bX1-b| 疋-A|=:-b_bX-1=X-1 -(n -1)b X-(1 -b)nJ1 ,得A的特征值為 X 1(n - 1)b , X二=X=1-b.對(duì) X =1 (n -1)b ,E -A ='(n -1)b-b-b (n _ 1)b -b 、-b-Tn1)_1-1 x-1(n -1)-1aaai b-b (n-1)b,I 1_1(n 1)"n -1_ 1 -1-1、1411 - n "-1n 1-1-1-1n1 -1-1Taa9T9aaa-1_ 1 n 1-1-1_ 1 n 1-1<00 00><

37、;00 0 0丿11厶11 -n、q00-T0n 0-n01厶0-1aa9aTa9aa00 n-n001-1e0 0-01°0 00Jk& 二 k(1,1,1,1)T(k為任意不為零的常數(shù)解得旨=(1,1,1,1)T，所以A的屬于入的全部特征向量為Jb-b-b'11 亠r-b-b-b000a-T-b-b-b><000A E _ A =得基礎(chǔ)解系為$ =(1,-1,0,0)T ,& =(1,0,-1,0)T ,，& =(1,0,0,-1)丁 .故A的屬于4的全部特征向量為k2$k3一 kn $(k2,k3/ ,kn是不全為零的常數(shù))2 當(dāng)b

38、=0時(shí),4-10I 4E-AF 0入一 1=(4- 1)n,4T特征值為 4 =、= 4 =1，任意非零列向量均為特征向量.(n )1當(dāng)b=0時(shí)，A有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，令 P = (&飛，&)，則1+(n _ 1)bPaAP =1 -b2當(dāng)b=0時(shí)，A = E，對(duì)任意可逆矩陣P ,均有,齊次線性方程.另外，本題的解題思路是容易【評(píng)注】本題通過(guò)考查矩陣的特征值和特征向量而間接考查了行列式的計(jì)算 組的求解和矩陣的對(duì)角化等問(wèn)題，屬于有一點(diǎn)綜合性的試題的，只要注意矩陣中含有一個(gè)未知參數(shù)，從而一般要討論其不同取值情況 (22)(本題滿分13分)設(shè)A , B為兩個(gè)隨機(jī)事件，且P(A)

39、14, P(B|A)=3, P(A|B)(I )(n)(川)1,0,A發(fā)生，A不發(fā)生,1,0,B發(fā)生，B不發(fā)生.二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率分布；X與Y的相關(guān)系數(shù)Py ；2 2Z二X Y的概率分布【分析】本題的關(guān)鍵是求出(X,Y)的概率分布，于是只要將二維隨機(jī)變量(X,Y)的各取值對(duì)轉(zhuǎn)化為隨機(jī)事件 A和B表示即可.【詳解】1(I )因?yàn)?P(AB) = P(A)P(B | AP12于是P(B)P(AB)P(A|B)1則有 PX =1,Y =1 = P(AB)=121PX =1,Y =0 = P(AB)二 P(A) _ P(AB)：61PX =0,Y =1 =P(AB) =P(B) _P(AB)：122PQYpfAB)