數(shù)學(xué)(文)全國(guó)II大聯(lián)考(一)

1、全 國(guó) 大 聯(lián) 考2015屆高三第一次聯(lián)考·數(shù)學(xué)試卷考生注意:1.本試卷共150分.考試時(shí)間120分鐘.2.答題前,考生務(wù)必將密封線內(nèi)的項(xiàng)目填寫清楚.3.請(qǐng)將各題答案填在試卷后面的答題卷上.4.交卷時(shí),可根據(jù)需要在加注“”標(biāo)志的夾縫處進(jìn)行裁剪.5.本試卷主要考試內(nèi)容:集合與常用邏輯用語(yǔ)、函數(shù)與導(dǎo)數(shù).第卷一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)全集U=R,集合A=y|y=(12)x,0x<1,B=x|y=x-x2,則(UA)B等于A.(0,12)B.0,12C.12,1D.(0,12.命題p:xR,x2+11,

2、則¬p是A.xR,x2+1<1B.x0R,x02+11C.x0R,x02+1<1D.x0R,x02+113.下列函數(shù)中,是偶函數(shù)且在(0,+)上為增函數(shù)的是A.y=cos xB.y=-x2+1C.y=ex-e-xD.y=log2|x|4.已知f'(x)是f(x)=sin x+acos x的導(dǎo)函數(shù),且f'(4)=24,則實(shí)數(shù)a的值為A.23B.12C.34D.15.已知“x2+2015x<0”的必要不充分條件是“-a<x<a”,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A.0,2015B.(0,2015)C.(-,2015D.2015,+) 6.已知a=0.6-

3、13,b=sin 12,c=log2.51.7,則a,b,c的大小關(guān)系是A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.c<b<a7.函數(shù)f(x)=x+sin x在x=2處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為A.12B.24C.22D.24+18.設(shè)函數(shù)y=x3與y=(12)x-2的圖象的交點(diǎn)為(x0,y0),且x0(m,m+1),mZ,則m的值為A.1B.2C.3D.49.已知定義在R上的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f'(x),若f(x)的極大值為f(1),極小值為f(-1),則函數(shù)y=(x-1)3f'(x)的圖象有可能是10.已知“f

4、(x)=xln x在定義域內(nèi)單調(diào)遞增”的否定為p,“已知f(x),g(x)的定義域都是R,若f(x),g(x)都是奇函數(shù),則y=f(x)+g(x)是奇函數(shù)”的否命題為q,則下列命題為真命題的是A. ¬pqB.pqC.p¬qD. ¬p11.設(shè)函數(shù)y=f(x)在全體實(shí)數(shù)集R內(nèi)有定義,對(duì)于給定的正數(shù)k,定義函數(shù)fk(x)=1f(x),f(x)k,f(x),f(x)>k.取函數(shù)f(x)=a-|x|(0<a<1),當(dāng)k=1a時(shí),函數(shù)fk(x)的值域?yàn)锳.(0,a)(1a,+)B.(0,a1,1a)C.(0,a)1,1a)D.a,1(1a,+)12.已知函數(shù)

5、f(x)=13x3+x2+ax.若g(x)=1ex,對(duì)任意x112,2,存在x212,2,使f'(x1)g(x2)成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A.(-,ee-8B.ee-8,+)C.2,e)D.(-33,e2第卷二、填空題:本大題共4小題,每小題5分,共20分.把答案填在答題卷中的橫線上.13.已知函數(shù)f(x)=x(x>2),2x(x2),則ff(2)=. 14.已知集合M=1,m,N=n,log2n,若M=N,則(m-n)2015=. 15.已知函數(shù)f(x)=2ax2-ax+c的部分圖象如圖所示,且f'(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù),若函數(shù)y=f'(

6、x)的零點(diǎn)為m,則mlog23-ma+c=. 16.給出下列命題:若y=x3+ax在R上單調(diào)遞增,則a0;若p是q的充分必要條件,則¬p可能是¬q的必要不充分條件;函數(shù)f(x)=3x-2x-3,則方程f(x)=0有2個(gè)實(shí)數(shù)根.其中真命題的序號(hào)為.(把所有真命題的序號(hào)都填上) 三、解答題:本大題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.(本小題滿分10分)已知函數(shù)f(x)=6x+1-1的定義域?yàn)榧螦,函數(shù)g(x)=lg(-x2+2x+m)的定義域?yàn)榧螧.(1)當(dāng)m=3時(shí),求A(RB);(2)若AB=x|-1<x<4,

7、求實(shí)數(shù)m的值.18.(本小題滿分12分)已知p:函數(shù)f(x)=(x-2)ex在(m,2m)上是單調(diào)函數(shù);q:“x2-2x0”是“x2-2mx-3m20”的充分不必要條件.若pq為真,pq為假,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.19.(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=lg(4x2+b+2x),其中b是常數(shù).(1)若y=f(x)是奇函數(shù),求b的值;(2)求證:y=f(x)的圖象上不存在兩點(diǎn)A、B,使得直線AB平行于x軸.20.(本小題滿分12分)已知a為常數(shù),aR,函數(shù)f(x)=x2+ax-ln x,g(x)=ex(其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).(1)過坐標(biāo)原點(diǎn)O作曲線y=f(x)的切線,設(shè)切點(diǎn)為P(x0,y0

8、),求x0的值;(2)令F(x)=f(x)g(x),若函數(shù)F(x)在區(qū)間(0,1上是單調(diào)函數(shù),求a的取值范圍.21.(本小題滿分12分)在2014年南京“青奧會(huì)”來(lái)臨之際,某禮品加工廠計(jì)劃加工一套“青奧會(huì)”紀(jì)念禮品投入市場(chǎng).已知每加工一套這樣的紀(jì)念品的原料成本為30元,且每套禮品的加工費(fèi)用為6元,若該紀(jì)念品投放市場(chǎng)后,每套禮品出廠的價(jià)格為x(60x100)元,根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查可知,這種紀(jì)念品的日銷售量q與x成反比,當(dāng)每套禮品的出廠價(jià)為81元時(shí),日銷量為200個(gè).(1)若每天加工產(chǎn)品個(gè)數(shù)根據(jù)銷量而定,使得每天加工的產(chǎn)品恰好銷售完,求該禮品加工廠生產(chǎn)這套“青奧會(huì)”紀(jì)念品每日獲得的利潤(rùn)y元與該紀(jì)念品出廠

9、價(jià)格x元的函數(shù)關(guān)系;(2)若在某一段時(shí)間為了增加銷量,計(jì)劃將每套紀(jì)念品在每天獲得最大利潤(rùn)的基礎(chǔ)上降低t元進(jìn)行銷售,但保證每日的利潤(rùn)不低于9000元,求t的取值范圍.22.(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù)f(x)=ln x-ax.(1)當(dāng)a>0時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)當(dāng)a=-1時(shí),方程2mf(x)=x2有唯一實(shí)數(shù)解,求正數(shù)m的值.2015屆高三第一次聯(lián)考·數(shù)學(xué)試卷參考答案1.B依題意得A=(12,1,B=0,1,(UA)B=0,12.2.C全稱命題的否定是特稱命題,所以􀱑p是x0R,x02+1<1,故選C.3.D函數(shù)y=cos x為偶函數(shù),但是在(0

10、,+)上不單調(diào);y=-x2+1為偶函數(shù),在(0,+)上為減函數(shù);y=ex-e-x為奇函數(shù);只有函數(shù)y=log2|x|符合題意.4.B由題意可得f'(x)=cos x-asin x,由f'(4)=24可得22-22a=24,解之得a=12.5.D由 x2+2015x<0可得-2015<x<0,由條件可得(-2015,0)是(-a,a)的真子集,則-a-2015,a0,解之得a2015.6.B由指數(shù)函數(shù)y=0.6x的圖象可知,當(dāng)x<0時(shí),y>1,0.6-13>1;由于函數(shù)y=sin x在(0,2)上單調(diào)遞增,又0<12<6<2,

11、sin 12<sin 6=12;函數(shù)y=log2.5x在(0,+)上單調(diào)遞增,又2.5<1.7<2.5,12=log2.52.5<log2.51.7<1,b<c<a.7.Af(x)=x+sin x,則f'(x)=1+cos x,則f'(2)=1,而f(2)=2+1,故切線方程為y-(2+1)=x-2.令x=0,可得y=1;令y=0,可得x=-1.故切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為12×1×1=12.8.A令f(x)=x3-(12)x-2,易得函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增.又函數(shù)y=x3與y=(12)x-2的圖象的交點(diǎn)為

12、(x0,y0),所以f(x0)=0,即x0為f(x)的零點(diǎn).又f(1)=1-(12)1-2=-1<0,f(2)=8-(12)2-2=7>0,且函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增,所以x0(1,2),所以m=1.9.B根據(jù)條件可知,當(dāng)x<-1時(shí),f'(x)<0;當(dāng)-1<x<1時(shí),f'(x)>0;當(dāng)x>1時(shí),f'(x)<0.故當(dāng)x<-1時(shí),(x-1)3f'(x)>0;當(dāng)-1<x<1時(shí),(x-1)3f'(x)<0;當(dāng)x>1時(shí),(x-1)3f'(x)<0.故只有B符合

13、條件.10.Cf(x)=xln x的定義域?yàn)?0,+),且f'(x)=ln x+1,當(dāng)0<x<1e時(shí),f'(x)<0,故f(x)在定義域上不是單調(diào)遞增函數(shù),故p是真命題;命題q為“已知f(x),g(x)的定義域都是R,若f(x),g(x)不都是奇函數(shù),則y=f(x)+g(x)不是奇函數(shù)”,這是假命題,例如f(x)=x+x2,g(x)=x-x2都不是奇函數(shù),但y=f(x)+g(x)=2x是奇函數(shù),故正確的命題為p􀱑q.11.D依題意,當(dāng)k=1a時(shí),由a-|x|1a(0<a<1),得|x|1,此時(shí)fk(x)=1f(x)=a|x|a,1

14、;由a-|x|>1a(0<a<1),得|x|>1,此時(shí)fk(x)=f(x)=a-|x|(1a,+).因此,當(dāng)k=1a時(shí),函數(shù)fk(x)的值域?yàn)閍,1(1a,+).12.A對(duì)任意x112,2,存在x212,2,使f'(x1)g(x2),f'(x)maxg(x)max,f'(x)=(x+1)2+a-1在12,2上單調(diào)遞增,f'(x)max=f'(2)=8+a,g(x)在12,2上單調(diào)遞減,則g(x)max=g(12)=ee,8+aee,則aee-8.13.2因?yàn)?2,所以ff(2)=f(4)=4=2.14.-1或0由M=N,知n=1,

15、log2n=m或n=m,log2n=1,m=0,n=1或m=2,n=2,故(m-n)2015=-1或0.15.-89由圖象可知f(1)=0,即2a-a+c=0,即a+c=0,又f'(x)=4ax-a,由圖可知a<0,故y=f'(x)的零點(diǎn)為m=14,故mlog23-ma+c=(14)log23-m0=2-2log23-1=(2log23)-2-1=3-2-1=-89.16.對(duì)于,由y=x3+ax可得y'=3x2+a,要使函數(shù)單調(diào)遞增,只需y'=3x2+a0恒成立,故a-3x2,可得a0,故正確;對(duì)于,若p是q的充分必要條件,則􀱑p一定是&

16、#1051729;q的充分必要條件,故錯(cuò)誤;對(duì)于,令f(x)=3x,g(x)=2x+3,作出它們的圖象可以發(fā)現(xiàn)有兩個(gè)交點(diǎn),故正確.17.解:(1)由已知可得A=x|-1<x5.當(dāng)m=3時(shí),B=x|-1<x<3,則RB=x|x-1或x3,A(RB)=x|3x5.5分(2)A=x|-1<x5,AB=x|-1<x<4,故4是方程-x2+2x+m=0的一個(gè)根,-42+2×4+m=0,解得m=8.此時(shí)B=x|-2<x<4,符合題意,因此實(shí)數(shù)m的值為8.10分18.解:由f(x)=(x-2)ex,可得f'(x)=(x-1)ex.由f'

17、;(x)>0,可得x>1,即f(x)在(1,+)上單調(diào)遞增;由f'(x)<0,可得x<1,即f(x)在(-,1)上單調(diào)遞減.若p為真,則m>0,m1或m>0,2m1,解之得0<m12或m1.4分若q為真,分m大于0與小于0,可得m23或m-2.6分由pq為真,pq為假,可得p,q一真一假.若p假q真,則m(-,-223,+)且m(-,0(12,1),即實(shí)數(shù)m的取值范圍是(-,-223,1);8分若p真q假,則m(-2,23)且m(0,121,+),即實(shí)數(shù)m的取值范圍是(0,12.10分綜上可知,若pq為真,pq為假,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(-,-

18、2(0,1223,1).12分19.解:(1)設(shè)y=f(x)的定義域?yàn)镈.y=f(x)是奇函數(shù),對(duì)任意xD,有f(x)+f(-x)=0,3分得b=1.此時(shí),f(x)=lg(4x2+1+2x),D=R,為奇函數(shù).5分(2)設(shè)定義域內(nèi)任意x1<x2,h(x)=4x2+b+2x,h(x1)-h(x2)=4x12+b+2x1-4x22+b-2x2=22x12-2x224x12+b+4x22+b+x1-x2=2(x1-x2)2(x1+x2)4x12+b+4x22+b+1.7分當(dāng)b0時(shí),總有0<x1<x2,4x12+b2x1,4x22+b2x2,2(x1+x2)4x12+b+4x22+b

19、1,得h(x1)<h(x2);9分當(dāng)b>0時(shí),x1-x2<0,4x12+b>2x1,4x22+b>2x2,-1<2(x1+x2)4x12+b+4x22+b<1,得h(x1)<h(x2).故總有f(x)在定義域上單調(diào)遞增,11分y=f(x)的圖象上不存在兩點(diǎn),使得所連的直線與x軸平行.12分20.解:(1)f'(x)=2x+a-1x(x>0),切線的斜率k=2x0+a-1x0=x02+ax0-ln x0x0,整理得x02+ln x0-1=0,顯然x0=1是這個(gè)方程的解,y=x2+ln x-1在(0,+)上是增函數(shù),方程x2+ln x-

20、1=0有唯一實(shí)數(shù)解,故x0=1.5分(2)F(x)=f(x)g(x)=x2+ax-lnxex,F'(x)=-x2+(2-a)x+a-1x+lnxex,設(shè)h(x)=-x2+(2-a)x+a-1x+ln x,則h'(x)=-2x+1x2+1x+2-a,易知h'(x)在(0,1上是減函數(shù),從而h'(x)h'(1)=2-a.當(dāng)2-a0,即a2時(shí),h'(x)0,h(x)在(0,1)上是增函數(shù),h(1)=0,h(x)0在(0,1上恒成立,即F(x)在區(qū)間(0,1上是單調(diào)遞減函數(shù),a2滿足題意.10分當(dāng)2-a<0,即a>2時(shí),設(shè)函數(shù)h'(x

21、)的唯一零點(diǎn)為x0,則h(x)在(0,x0)上單調(diào)遞增,在(x0,1)上單調(diào)遞減,h(1)=0,h(x0)>0,又h(e-a)<0,h(x)在(0,1)內(nèi)有唯一的零點(diǎn)m,當(dāng)x(0,m)時(shí),h(x)<0,當(dāng)x(m,1)時(shí),h(x)>0,從而F(x)在(0,m)上單調(diào)遞減,在(m,1)上單調(diào)遞增,與F(x)在區(qū)間(0,1上是單調(diào)函數(shù)矛盾,a>2不合題意.綜合得a2.12分21.解:(1)根據(jù)條件可設(shè)q=kx,由條件可知,當(dāng)x=81時(shí),q=200,即200=k81,故k=1800,q=1800x,生產(chǎn)這套“青奧會(huì)”紀(jì)念品每日可以獲得的利潤(rùn)為y=(x-30-6)·1800x=1800(x-36)x(60x100).4分(2)由(1)可知y=1800(x-36)x,y'=1800x-12·(x-36)·1xx=900(x+36)xx.顯然,當(dāng)x>0時(shí),y'>0,函數(shù)在60,100上單調(diào)遞增,當(dāng)x=100時(shí),每日獲得的利潤(rùn)最大,且最大值為y=1800×(100-36)100=11520(元),8分每套紀(jì)念品的價(jià)格降低t元后,每套紀(jì)念品的價(jià)格為100-t元,可以獲得的利潤(rùn)為y=1800·(100-t-36)100