2007年普通高等學(xué)校招生考試重慶卷

1、2007年普通高等學(xué)校招生考試（重慶卷）數(shù)學(xué)（理工科）本卷滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘一、選擇題：本大題共 10小題，每小題5分，共50分在每小題給出的四個(gè)備選項(xiàng)中，只 有一項(xiàng)是符合題目要求的1、若等差數(shù)列an的前3項(xiàng)和S3 =9且ai =1，則a2等于（）A、 3B、 4C、 5D、 622、 命題“若x ：: 1，則- 1 :： x : 1 ”的逆否命題是（）2 2A、若 x > 1，則 x > 1 或 x < -1B 若 一1 :： X ：: 1，則 x ：:1C、若 x . 1 或 x -1，則 X21D、若 x > 1 或 x < -1，則 x2 &

2、gt; 13、若三個(gè)平面兩兩相交，且三條交線互相平行，則這三個(gè)平面把空間分成（）A、5部分B、6部分C 7部分D 8部分14、 若（X -）n展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為 64，則展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為（）xA 、10B、20C 30D 1205、在：ABC 中，AB =、3,A = 45 ,C =75，則 BC 等于（）7、若a是1 - 2b與1 -2b的等比中項(xiàng)，則2ab|a| 2|b|的最大值為A、3 -、3B、. 2C 2D336、從5張100元，3張200元，,2張300兀的奧運(yùn)預(yù)賽門(mén)票中任取3張，則所取3張中至少有2張價(jià)格相同的概率為（)人1r 79c 3D23A 、B、C 4120424、

3、5D、15n十* b nJ8、設(shè)正數(shù)a,b滿(mǎn)足nm=歹等于（B、9、已知定義域?yàn)?R的函數(shù)f （x）在（8, ：）上為減函數(shù)，且函數(shù)y二f（x 8）為偶函數(shù)，則A、f(6)f(7) B f(6)f(9) C、f(7)f(9) D、f(7)f(10)10、如右圖，在四邊形ABCD中,|AB| | BD| |DC h| AB | | BD | | BD | | DC |=4 ,(AB - DC) AC 的值為()AB BD = BD DC =0,B 2、2二、填空題：本大題共 6小題，每小題4分,11、復(fù)數(shù) 2i 3的虛部為.2 +i3D 4.2共24分.把答案填寫(xiě)在答卷相應(yīng)位置上12、已知x、y

4、滿(mǎn)足2x十y蘭4,則函數(shù)z = x + 3y的最大值是xK1,13、若函數(shù)f(x)二.2” 2ax-1的定義域?yàn)镽,則a的取值范圍為14、設(shè)an為公比q 1的等比數(shù)列，若 a2004和a2006是方程4x2 - 8x 3 = 0的兩根，則&2006' &2007 =.15、某校要求每位學(xué)生從 7門(mén)課程中選修4門(mén)，其中甲、乙兩門(mén)課程不能都選，則不同的選課方案有 種(以數(shù)字作答)22416、過(guò)雙曲線x -y =4的右焦點(diǎn)F作傾斜角為105的直線，交雙曲線于 P、Q兩點(diǎn)，則| FP | J FQ | 的值為.三、解答題：本大題共 6小題，共76分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程

5、或演算步驟17 (本小題滿(mǎn)分13分，其中(I)小問(wèn) 9分，(H)小問(wèn)4分)設(shè) f (x) =6cos2 x -、3sin2x .(I)求f (x)的最大值及最小正周期；一4(n)若銳角 二滿(mǎn)足f (=3 - 2 3，求tan的值5C118 （本小題滿(mǎn)分13分，其中（I）小問(wèn) 4分，（）小問(wèn)9分）某單位有三輛汽車(chē)參加某種事故保險(xiǎn)單位年初向保險(xiǎn)公司繳納每輛900元的保險(xiǎn)金，對(duì)在一年內(nèi)發(fā)生此種事故的每輛汽車(chē)，單位可獲9000元的賠償（假設(shè)每輛車(chē)最多只賠償一次）設(shè)這三輛車(chē)在一年內(nèi)發(fā)生此種事故的概率分別為1/9、1/10、1/11，且各車(chē)是否發(fā)生事故相互獨(dú)立.求一年內(nèi)該單位在此保險(xiǎn)中：（I）獲賠的概率；

6、（n）獲賠金額'的分布列與期望.19 （本小題滿(mǎn)分13分，其中（I）小問(wèn) 8分，（n）小問(wèn)5分）如右圖，在直三棱柱 ABC-ABjG中，AA, =2, AB =1,. ABC =90 ；點(diǎn)D、E分 別在BB1>A1D上，且BrE_AD，四棱錐C - ABDA與直三棱柱的體積之比為 3:5.（I）求異面直線 DE與B1C1的距離;（n）若BC =$2，求二面角 A - DC1 - B1的平面角的正切值20 (本小題滿(mǎn)分13分，其中(I)、(n)、(川)小問(wèn)分別為 6、4、3分)44已知函數(shù)f(x) =ax In x bx -c(x 0)在x = 1處取得極值-3-a，其中a、b為

7、常數(shù)(I)試確定a、b的值；(n)討論函數(shù) f (x)的單調(diào)區(qū)間；(川)若對(duì)任意x 0，不等式f(x)_ -2c2恒成立，求c的取值范圍21 (本小題滿(mǎn)分12分，其中(I)小問(wèn) 5分，(n)小問(wèn)7分)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿(mǎn)足Si 1 ,且6Sn =(an 1)(an 2), n N .(I)求an的通項(xiàng)公式；(n)設(shè)數(shù)列bn滿(mǎn)足an (2bn -1) = 1，并記Tn為bn的前n項(xiàng)和，求證:3Tn 1 Iog2(an 3),n N22 (本小題滿(mǎn)分12分，其中(I)小問(wèn) 4分，(H)小問(wèn)8分)如右圖，中心在原點(diǎn) 0的橢圓的右焦點(diǎn)為 F(3,0)，右準(zhǔn)線丨的方程為：x = 1

8、2.(I)求橢圓的方程；(n)在橢圓上任取三個(gè)不同點(diǎn) R、P2、P3，使N R FP2 = N P2 FP3 = N P3 FR，證明:|FP3|為定值，并求此定值2007年普通高等學(xué)校招生考試（重慶卷）數(shù)學(xué)參考答案（理工科）、選擇題ADCBA二、填空題：4CBBDC11、12、713、-1,014、 1815、2516、8一3三、解答題:17、解:(I)1 十 cos2xf(x)e 2.3 sin 2x = 3 cos2x - 3 sin 2x 3=23cos2x - 1 sin2x) 3=2、3cos(2x )32 2 6故f（x）的最大值為2 33；(n)由 f(： ) =3 -2.3

9、得 2、.3cos(2 j 3 = 3-2、3，故 cos(2 ' ) = -1.6 6nnnJi又由0得 2，故26662：+ = J65:124 兀廠從而 tan tan 35 318、解：設(shè) A表示第k輛車(chē)在一年內(nèi)發(fā)生此種事故，k =1,2,3.1由題意知A,A2,A3獨(dú)立，且P（AJ= ,P（代）9110,p(A3)111（I）該單位一年內(nèi)獲賠的概率為89103（“乓）十PgPgPg十§亦 廿11(n)的所有可能值為 0,9000,18000,27000 . 89108P(二 9000)= P(A1A2A3) P(AA2A3) P(A a2a3)= P(A)P(A)P

10、(A3)P(AJP(A2)P(A3)P(A)P(A2)P(A3)1910811089124211一 910119101191011 一 990 一 45P( =18000) = p(aa2aj P(A1A2A3) P(A1A2A3)二 P(A)P(AJP(A3)P(AJP(A2)P(A3)P(A)P(A2)P(A3)1110191811273=x: X + XX + X X =910119101191011990110'1 1 1 1P(：-27000) -P(A1A2A3P(A1)P(A2)P(A3)=91011990綜上知，的分布列為09000180002700081131p114

11、5110990求'的期望有兩種解法:解法一：由的分布列得匸產(chǎn) 8113129900! .- 0900018000270002718.18114511099011（元）解法二：設(shè)；表示第k輛車(chē)一年內(nèi)的獲賠金額，k =1,2,3 ,10900081P99故；1 =9000 1 =1000.9同理得；2 =9000 -900* 3 = 9000 818.18.10 11綜上有卜-i2； 31000 900 818.18 二 2718.18 (元).19、解法一：(I)因 B1C A( B1，且 BG BB1，故 B1C1 面 A1ABB1，從而 B1CB1E，又B1E丄DE,故B1E是異面直

12、線B1C1與DE的公垂線.設(shè)BD的長(zhǎng)度為x，則四棱椎C - ABDA的體積V為1 1 1Vi Sabda， BC (DB ' AiA) -AB -BC (x '：，2) -BC .3166而 直 三 棱 柱 ABC-A1B1C1的V21 bc AA1AB BC AA = BC .138由已知條件V1 :V2 -3:5，故一(x 2) ，解得x =6558 2 從而 B1D = B1 B - DB = 2.55又直角三角形A1B1D中，AD =、A B1B1D22(5)2911又因 S aib1dA1D B1EA1B1 B1D .22Ci故 B1 A|Bi BiDAiD29(n角

13、.又因 S'CiBiD二 ICiD BiF 二丄 BiCi2 2BiD，故Bi Ci Bi DCiD二葺，所以tanAFBi二擅9BiF3. 32)如右圖，過(guò) Bi作BiF± CiD，垂足為F,連接AiF.因 AiBi丄BiCi, A1B1丄BiD , 故AiBi丄面BiDCi,由三垂線定理知 CiD丄AiF，故/ AiFBi為所求二面角的平面 在直角CiBiD 中, &"*廠討2 (J淆,20、解：(I)由題意知 f (1) = -3 -c，因此 b - c - -3 - c，從而 b - -3./34 133又對(duì) f (x)求導(dǎo)得 f (x)二 4ax

14、ln x ax 4bx 二 x (4a In x a 4b).x由題意f '(I) = 0，因此a 4 0，解得a = 12 .)由(1)知 f'(x) = 48x3 In x(x 0) .令 f' (x) = 0，解得 x = 1.當(dāng)0 x : 1時(shí)，f (x) ： 0，此時(shí)f(x)為減函數(shù);當(dāng)x1時(shí)，f (x)0，此時(shí)f (x)為增函數(shù).因此f (x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1)，而f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1/:).(川)由(n)知，f (x)在x = 1處取得極小值f (1) = -3 - c，此極小值也是最小值要使 f (x) _ -2c2 (x 0)恒成立，只

15、需 - 3 - c _ -2c2.2即 2c -c-3_ 0 ,從而(2c3)(c 1)_0.3 解得c 或c 一 -1.2所以c的取值范圍為(一：,一13, ：)2121、因(I)解：由 a1 二(a1 - 1)(a1 - 2)，解得 a1 或印=2.由假設(shè)S1 1,6此 &1 = 2.11又由 an 1 - Sn 1 _ Sn(an 1 1)(an 1 2) - (an 1)(an 2)，得66(an 1an)(an1 _ an _ 3) = 0，即an1 an_ 3 = 0 或an1 = an.因an 0，故an彳=-an不成立，舍去.因此an 1 - an =3，從而an是公差

16、為3，首項(xiàng)為2的等差數(shù)列，故an的通項(xiàng))證法一：由an(2bn -1)-1可解得bn丄1=log 2 (1) = logan3n23n -1從而 Tns =b1 bbn <Og2(-23 因此 3Tn 1 - log 2(an 3) = log 2【(23 6 3n 32令 f(n) =()32 5 3n 1 3n +26565，則也).3n -13n 33n-1)3n2 2 f (n 1) 3n 2 z3n 3 3(3n 3)3f(n) _ 3n 5 (3n 2) _ (3n 5)(3n 2)2 .因(3n 3)3 -(3 n 5)(3 n 2)2 = 9 n 7 0，故 f (n 1

17、) f( n).27特別地 f (n) - f (1)1,從而 3Tn 1 - log 2(an 3) = log2 f (n) 0 ,20即 3Tn 1 log2(an 3).證法二：同證法一求得 bn及Tn.由二項(xiàng)式定理知，當(dāng) c 0時(shí)，不等式(1 c)3 . 1 3c成立.1 31 313由此不等式有 3Tnlog2 2(1) (1)-(1)2 53n115 83n 2log 2 2(1)(1)(1) = log 2(2) = log 2(3n 2) = log 2 (a.3)253n 12 53 n 1證法三：同證法一求得 bn及Tn.3n3n -1Bn3n 13n,Cn3n 23n

18、13n3n -13n 1>3n3n 23n 1，因此A,3AnBnCn =3n 22從而1=log22(3 6)3=log2 2An3 log2 2AnBnCn = log 2 (3 n 2) =log 2 (a. 3)2 5 3n 1證法四：同證法一求得 bn及Tn.F面用數(shù)學(xué)歸納法證明：3Tn 1 log2 (an3).27當(dāng) n = 1 時(shí)，3£1 = log2, log 2 3) = log2 5，因此 3Tn -1log 2(an 3)，結(jié)4論成立.假設(shè)結(jié)論當(dāng)n二k時(shí)成立，即3Tk 1 log2(ak 3)，則當(dāng)n = k T時(shí),(3k 3)33Tk 1 1 - log? Q 1 3) = 3Tk 1 3bk 1 - log?何 13)(3k 3)3皿' 3)"og2(ak1 3) 3bk1"og2(3k 5)