2014競(jìng)賽一般物體的平衡答案

1、2014第二講一般物體的平衡一、相關(guān)概念（一）力臂：從轉(zhuǎn)動(dòng)軸到力的作用線的垂直距離叫力臂。（二）力矩：力和力臂的乘積叫力對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)軸的力矩。記為M=FL單位牛米”。一般規(guī)定逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)為正方向，順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)為負(fù)方向。（三）有固定轉(zhuǎn)軸物體的平衡條件作用在物體上各力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩的代數(shù)和為零，即工M=0,或工皿逆=M順。（四）重心：計(jì)算重心位置的方法：1、同向平行力的合成法：各分力對(duì)合力作用點(diǎn)合力矩為零，則合力作用點(diǎn)為重心。2、 割補(bǔ)法：把幾何形狀不規(guī)則的質(zhì)量分布均勻的物體分割或填補(bǔ)成形狀規(guī)則的物體，再由同向（或 反向）平行力合成法求重心位置。3、 公式法：x丿皿1 m2gx2 ，當(dāng)坐標(biāo)原點(diǎn)移到重心

2、上，則兩邊的重力矩平衡。mig +m2g 卡二、常用方法 巧選轉(zhuǎn)軸簡(jiǎn)化方程：選擇未知量多，又不需求解結(jié)果的力線交點(diǎn)為軸，這些力的力矩為零，式 子簡(jiǎn)化得多； 復(fù)雜的物體系平衡問題有時(shí)巧選對(duì)象：選整體分析，常常轉(zhuǎn)化為力矩平衡問題求解； 無規(guī)則形狀的物體重心位置計(jì)算常用方法是通過割補(bǔ)思想，結(jié)合平行力合成與分解的原則處理，或者助物體重心公式計(jì)算。三、鞏固練習(xí)1.如右圖所示，勻質(zhì)球質(zhì)量為M半徑為R;勻質(zhì)棒B質(zhì)量為m長(zhǎng)度為I。求它的重心?！窘狻康谝环N方法是：將它分隔成球和棒兩部分，然后用同向平行力合成的方 法找出重心 Co C在AB連線上，且 AC- M=BCm第二種方法是：將棒錘看成一個(gè)對(duì)稱的“啞鈴”和

3、一個(gè)質(zhì)量為-M的球A的合成，用反向平行力合成的方法找出重心=A C M。不難看出兩種方法的結(jié)果都是MBC =M +mC, C在AB連線上，且 BC-（ 2M+mA R+I/2i rMg(M+m ) gmg2將重為30N的均勻球放在斜面上，球用繩子拉住，如圖所示.繩A（與水平面平行，C點(diǎn)為球的最高點(diǎn)斜面 傾角為37.求：（1）繩子的張力.（2）斜面對(duì)球的摩擦力和彈力.答案：（1） 10N;（ 2） 10N, 30N解：（1）取球與斜面的接觸點(diǎn)為轉(zhuǎn)軸: 得 T=10N;0 2mgRsin37 -T(R Rcos37 )=0 ,(2)取球心為轉(zhuǎn)軸得，f=T=10N;取C點(diǎn)為轉(zhuǎn)軸：f (R Rcos3

4、70) -NRsin 370 =0 ,得 N=30N.3.個(gè)半徑為r的均勻球體靠在豎直墻邊， 球跟墻面和水平地面間的靜摩擦因數(shù)都為 卩,如果在球上加 一個(gè)豎直向下的力 F,如圖所示問；力 F離球心的水平的距離 s為多大，才能使球做逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng) ？解當(dāng)球開始轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，f, f2達(dá)到最大靜摩擦F Gf2N2 二 f1分別以球心和球與水平地接觸點(diǎn)為軸列力矩平衡方程 Fs二f,r f2r（f, = N,因f, f2為最大靜摩擦：22 =，N2將以上方程聯(lián)立可得：S =垃 9理 ）rF（1 + 42）4.如圖所示，均勻桿的A端用鉸鏈與墻連接，桿可繞A點(diǎn)自由轉(zhuǎn)動(dòng)，桿的另一端放在長(zhǎng)方形木塊上 ，不計(jì)木 塊與地之

5、間的摩擦力，木塊不受其它力作用時(shí)，木塊對(duì)AB桿的彈力為10N,將木塊向左拉出時(shí)，木塊對(duì)桿的彈力為9N,那么將木塊向右拉出時(shí)，木塊對(duì)桿的彈力是多少 ？（答案：11.25N ） 解:木塊靜止時(shí)彈力為10N,可得桿重G=20N向左拉時(shí)：NLcosa+MNLsin ct=GLcosot，或 NiMsin2向右拉時(shí)：NLcos :=NLsin 二+GLcos二,或NPsin21CF Qosg- Ncosot21: =Ncos :-Gdos :2兩式相比得1=，得WZN5.有一輕質(zhì)木板 AB長(zhǎng)為L(zhǎng)，A端用鉸鏈固定在豎直墻壁上 ，另一端用水平輕繩 BC 拉住.板上依次放著1、2、3三上圓柱體，半徑均為r，重

6、均為G木板與墻的夾角為X如圖所示）.一切摩擦均不計(jì)，求BC繩的張力.答案:3Gr(L (11cos V1 2sin cos v)解：此題的解法很多，同學(xué)們可體會(huì)到取不同的研究對(duì)象，問題的難易程度不同解法1：對(duì)圓柱體一個(gè)一個(gè)分析，分別計(jì)算出圓柱體的彈力，再對(duì)木板分析，有力矩平衡求出 BC繩的 張力.比較麻煩.解法2：把三個(gè)球作為整體，可求出板對(duì)三個(gè)球的彈力，再對(duì)板有力矩平衡求出 BC繩的張力但彈力 的力臂比較難求 解法3：先對(duì)三個(gè)球分析，受墻壁的彈力N=3&ot n再把三個(gè)圓柱體和木板合為一整體，此整體受到墻壁的彈力N，BC繩的拉力T，重力3GA點(diǎn)的作用力NN對(duì)A點(diǎn)的力矩為零）.對(duì) A點(diǎn)，有力矩

7、平衡 TAC = N1AD 3G（r 2r sin *0式中 AD =r/tan ，AC =Lcos2有上述四式可行丁=型（一 十空泄）.L 1 -cos 日cos 66.如圖所示，三個(gè)完全相同的圓柱體疊放在水平桌面上。將C柱體放上去之前，無擠壓。假設(shè)桌面與柱體之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為卩0,柱體與柱體之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為衡狀態(tài)，卩0和B兩柱體接觸，但 卩。若系統(tǒng)處于平flA、B、C之間相互制約著而有單個(gè)物體在力系作用 下處于平衡，所以用隔離法可以比較容易地處理此類問題。設(shè)每個(gè)圓柱的重力均為 G首先隔離C球，受力分析如 圖1 一 7所示，.32(尹再隔留A球，： 子N1由刀Fax=0得f2尹 由刀Ea=

8、 0得R = f2R由以上四式可得分析和解：這是一個(gè)物體系的平衡問題，因?yàn)橛傻禙Cy = 0可得1fi) = G2受力分析如圖1 一 8所示,1 _N2 G =021N02由刀FAy=0得二 3g23 =2 f J N1_ N=2.31vN1 G , N2 G2-而 f2HN , 叮,37.(第六屆預(yù)賽)有 兩端下方各有一個(gè)小突起，薄片及突起的質(zhì)量均不計(jì)，現(xiàn)將此 在一只水平的碗口上，使每個(gè)薄片一端的小突起 突起A位于其下方薄片的正中，由正上方俯視如圖所示，若將質(zhì)量為 質(zhì)點(diǎn)放在薄片AB上一點(diǎn)，這一點(diǎn)與此薄片中點(diǎn)的距離等于它與小突起 的距離，則薄片 AR中點(diǎn)所受的(由另一薄片的小突起A所施的)壓力

9、。答案：mg/42解析：本題共有六個(gè)物體，通過觀察會(huì)發(fā)現(xiàn)，AB、AE2、AsBs的受力情況完全相同，因此將AB、AB2、A5Bs作為一類，對(duì)其中一個(gè)進(jìn)行受力分析，找出規(guī)律，求出通式即可求解以第i個(gè)薄片AB為研究對(duì)象，受力情況如圖甲所示，第 N、碗邊向上的支持力和后一個(gè)薄片向下的壓力N+1.選碗邊LNi 111 1Nj L 二 Nj !,得M 所以 N1二 N2 二2222 26個(gè)完全相同的剛性長(zhǎng)條薄片A Bi (i=1 , 2)，其6個(gè)薄片架B恰在碗口上，另一端小 m的ABA4B2AB6BiA3AiB、AE2、個(gè)薄片受到前一個(gè)薄片向上的支持力 B點(diǎn)為軸，根據(jù)力矩平衡有1 5N3 二=()N62

10、再以A6B6為研究對(duì)象，受力情況如圖乙所示，AB6受到薄片A5B5向上的支持力N6、碗向上的支持力和后一個(gè)薄片AiBi向下的壓力N、質(zhì)點(diǎn)向下的壓力mg.選B點(diǎn)為軸，根據(jù)力矩平衡有L3N,mg L =N6 L2 4由、聯(lián)立，解得 Ni=mg42所以，AB薄片對(duì)AB6的壓力為mg42.8.(第十屆全國決賽)用孔橋，已知每一積木塊的長(zhǎng)度為 L，橫截面為h -20塊質(zhì)量均勻分布的相同的光滑積木塊，在光滑水平面一塊疊一塊地搭成單L的正方形，4求此橋具有的最大跨度(即橋孔底寬)，試畫出該橋的示意圖，并計(jì)算跨度與橋孔高度的比值。解設(shè)1號(hào)右端面到2號(hào)右端面的距離為Xi,2號(hào)右端面到3號(hào)右端面到的距離為 X2,

11、塊的左端為轉(zhuǎn)軸力矩平衡：GL GL =2G(L -2L52以第2號(hào)木XiX2),可以得HSI出X2,4同理：第3號(hào)右與第4號(hào)右端的距離為X3,以第2GL G 丄=3G(L -x3)求得 x3 = L2 第k號(hào)的右端面的距離為(k -i)GL GL23號(hào)木塊的左端為轉(zhuǎn)軸力矩平衡一 6Xk ，則第k號(hào)由力矩平衡知:二 kG(L-Xk)求得:解得Xk = L2k則橋拱長(zhǎng)的一半為=Xi由圖i可知=(n i)h 二=(n -i)L4所以-41。將n=i0代入可得.H n iK#k=i.258H9.有一質(zhì)量為m=50kg的直桿，豎立在水平地面上，桿與地面間靜摩擦因數(shù)亠=0.3，桿的上端固定在地面上的繩索拉

12、住，繩與桿的夾角v -30 ,如圖所示。(i)若以水平力F作用在桿上，作用點(diǎn)到地面的距離g =2L/5(L為桿長(zhǎng))，要使桿不滑倒，力 F最大不能越過多少？(2)若將作用點(diǎn)移到h2 =4L/5處時(shí)，情況又如何？解析：桿不滑倒應(yīng)從兩方面考慮，桿與地面間的靜摩擦力達(dá)到極限的前提下，力 的大小還與h有關(guān)，討論力與h的關(guān)系是關(guān)鍵。桿的受力如圖57甲所示，由平衡條件得N -T cost - mg = 0F（L -h） - fL =0另由上式可知，F(xiàn)增大時(shí)，f相應(yīng)也增大，故當(dāng)f增大到最大靜摩擦力時(shí), 桿剛要滑倒，此時(shí)滿足：f二-NmgL tan v解得：Fmas（L -h）tanr/-h由上式又可知，當(dāng)（L

13、_h）tann/.t-h：,即當(dāng)h0 =0.66L時(shí)對(duì)F就沒有限制了。2（1）當(dāng)h1L : h0，將有關(guān)數(shù)據(jù)代入 Fmax的表達(dá)式得54（2）當(dāng)h2 L - h0,無論F為何值，都不可能使桿滑倒，這種現(xiàn)象即稱為自鎖。510.用兩個(gè)爬犁（雪橇）在水平雪地上運(yùn)送一根質(zhì)量為 橫梁保持水平，簡(jiǎn)化示意示圖，如圖 的橫梁端頭固連，mgNF max = 385Nm長(zhǎng)為I的均勻橫粱，1-41所示每個(gè)爬犁的上端 A與被運(yùn)送 下端B與雪地接觸，假設(shè)接觸而積很小.一水平牽引力F作 h表示已知前爬犁與雪地間的動(dòng)摩擦 k問要在前后兩爬犁都與雪地2h應(yīng)滿足什么條件用于前爬犁作用點(diǎn)到雪地的距離用 因數(shù)為k 后爬犁與雪地間的

14、動(dòng)摩擦因數(shù)為1接觸的條件下，使橫梁沿雪地勻速向前移動(dòng). F應(yīng)多大？設(shè)爬犁的質(zhì)量可忽略不計(jì).Z?T7777777777777777777777jr?水平牽引力=0是求解平衡問題的基本出發(fā)點(diǎn)，準(zhǔn)=0確地領(lǐng)會(huì)題中隱含信息，則是求解的關(guān)鍵所在,本題體現(xiàn)了這一解題思路.一IZ F分析正確地物體進(jìn)行受力分析 ，應(yīng)用物體平衡的條件二 M解整個(gè)裝置的受力如解圖 根據(jù)平衡條件有F = + f2mg =N21Fh N2lmgl1-24所示,其中N與N2分別為雪地對(duì)爬犁的支持力,fi和f2分別為摩擦力，根據(jù)摩擦力與正壓力的關(guān)系有1=的二 k2N2,F的力矩越大.故2越小.h最大時(shí)對(duì)應(yīng) 2=0的情況.將N2=02h越

15、大以爬犁與地的前接觸點(diǎn)為軸代入以上各式，可以解得：h=丄 F你k2）2匕2 l -（kk2）h故:h應(yīng)滿足的條件是：h 2k111.半徑為r,質(zhì)量為m的三個(gè)剛性球放在光滑的水平面上，兩兩接觸用一個(gè)圓柱形剛性圓筒（上、下均無蓋）將此三球套在筒內(nèi).圓筒的半徑取適當(dāng)值，使得各球間以及球與筒壁之間保持接觸，但互相無作用力.現(xiàn)取一個(gè)質(zhì)量亦為m半徑為R的第四個(gè)球，放在三個(gè)球的上方正中.四個(gè)球和圓筒之間的靜摩擦系數(shù)均為 亠3/15 （約等于0.775）問R取何值時(shí)，用手輕輕豎直向上提起圓筒即能將四 個(gè)球一起提起來？答案：（ -1）r : R空（邑衛(wèi)-1）r.333mg解：當(dāng)上面一個(gè)小球放上去后，下面三個(gè)小球

16、有向外擠的趨勢(shì)，互相之間既無彈力也無摩擦力.因此可以通過下面某一個(gè)球的球心和上面球的球心的豎直面來進(jìn)行受力分析，受力圖如圖所示.對(duì)上面小球,根據(jù)豎直方向受力平衡有3N2sin 3f 2soc =mg-（或下面的小球，對(duì)球與筒接觸點(diǎn)為轉(zhuǎn)軸，pes弋丿力矩平衡 Nbrsin T+mg=f 2r （1+cos 二）再對(duì)四個(gè)小球?yàn)檎w，在豎直方向3fi=4mg下面的小球，對(duì)球心為為轉(zhuǎn)軸，有力矩平衡條件f=f2r，得f 1=f2-對(duì)下面的小球，取f 1和f 2作用線的交點(diǎn)為轉(zhuǎn)軸，有力矩平衡得NN2,故大球與小球接觸處先滑動(dòng)（這是確定何處先滑動(dòng)的常用方法）而大球沿筒滾動(dòng)，當(dāng)R最大時(shí)：f2=Nt有上述四式得

17、：128soc+24cos 77=0,解得：cos 11 ,16因皿|如（y，所以z警少。但上面的小球不能太小，否則上球要從下面三個(gè)小球之間掉下去，必須使R .（空 _1）r .3故得（乙3 _1）：R 乞（生3 _1）.333四、自主招生試題1.（ 2009清華大學(xué)）質(zhì)量為 m長(zhǎng)為L(zhǎng)的三根相同的勻質(zhì)細(xì)棒對(duì)稱地?cái)R在地面上，三棒的頂端 底端A B C的間距均為L(zhǎng),如圖所示。（1）求OA棒頂端所受的作用力 F的大小。（2） 若有一質(zhì)量也為 m的人（視為質(zhì)點(diǎn)）坐在 OA棒的中點(diǎn)處，三棒仍然保持不動(dòng)，這時(shí) 受的作用力F的大小又為多大？（3）在0重合,析:（2）的情況下，地面與棒之間的靜摩擦因數(shù)卩至少為

18、多大?aFh 二 mg -詁八3） 23l3l_ 3_1 V3二mg 2 l/CTl）在OC中點(diǎn)坐一人0A棒頂端所2 2-aF1 Fl mg 713 _3 _6 _2mg 占=2F-3l R y 62 3133F2 山二 mg 833前甘故半得此時(shí)顯熱這時(shí)期咆宜加 連線籍向上的力F時(shí)滿忙咚求如圖所示L.則解：先若慮向前翻倒的悄況，設(shè)4C與水平面夾凸角以燈為便力F蛤終圮小*則F tLAC斜向 在圖示館況另取Mg和F的交點(diǎn)為軸，有以后如果尸始終垂恵AD邊咐11綏樓蠱轉(zhuǎn)/方休，則f會(huì)變小侃弭反而變 大*這公明D處只要開始干滑動(dòng)就不可能序滑戲C不過譏大于等于皿故向術(shù)翻轉(zhuǎn)立方帕動(dòng)睜擦岡數(shù)滿出打 3 1柑

19、即可“ 而向姑制的ts況下北方休以D點(diǎn)為軸轉(zhuǎn)動(dòng)同樣一開豹呂難翻動(dòng)*施加的拉 力F垂直U4水平向應(yīng)時(shí)對(duì)應(yīng)的F疑小*設(shè)X方休邊艮為/測(cè)2. （2010北大）如圖，一個(gè)質(zhì)量 M棱邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的立方體放在粗糙的平面上，在左上棱施力，使立方體向前或向后翻轉(zhuǎn)，立方體不與平面發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，求向前和向后施加力的最小值以及對(duì)應(yīng)的摩擦 因素。設(shè)想立方體開始翻轉(zhuǎn)后，施加的外力F大小和方向會(huì)改變，以維持F始終為最小值。Mg * cos a式屮憶園此r = 4亍時(shí)所需F最大這也就楚要施腑的垠小丿J ,故F = V2Mg/4r&表明只憾D點(diǎn)能夠離廿地面.以后F即使變小-些立方休也 能匿轉(zhuǎn)在D點(diǎn)將要離開地面時(shí)，丄_I _ si

20、n flrcos g _ 5出 “COKH JV 1 + 5in3cr 2 sinzn cos1 2 F2mgFmg63F合=（2F2）2 - Fi2 = - mg3. （2010南大強(qiáng)化）如圖所示，一個(gè)質(zhì)量均勻分布的直桿擱置在質(zhì)量均勻的圓環(huán)上，桿與圓環(huán)相切，系統(tǒng)靜止在水平地面上， 桿與地面接觸點(diǎn)為 A,與環(huán)面接觸點(diǎn)為B。已知兩個(gè)物體的質(zhì)量線密度均為匸，直桿與地面夾角為二，圓環(huán)半徑為R,所有接觸點(diǎn)的摩擦 力足夠大。求：（1）地給圓環(huán)的摩擦力。（2）求A、B兩點(diǎn)靜摩擦系數(shù)的取值范圍。解：球受力如圖所示水平方向合力為零得:以圓心0點(diǎn)為軸有：JR=f尺即/, =2對(duì)球點(diǎn)為軸忙 VW* M幾即丫一皿話

21、再取球、桿幣體為研究 對(duì)象H A點(diǎn)為軸有；7/X；/ =m 它魚 + 耐】g * -cosWN,=陽滴 +1 獰 cos 9解得礎(chǔ) i 欝in 0 cos pgRcasOJi =sincso45 sin -5. 架均勻梯子，一端放置在水平地面上，另一端靠在豎直的墻上，梯子與地面及梯子與墻間的靜摩擦因數(shù)分別為4、孔 求梯子能平衡時(shí)與地面所成的最小夾角。（答案：ta n1 土 ）2已解法1:設(shè)梯子能平衡時(shí)與地面所成的最小夾角為口，則有f1=BN, f2=N2 （同時(shí)達(dá)到最大，與上題有區(qū)別）水平方向：怙N=N2，卜：弘|Fit豎直方向：比2+N=G, 得：G=M+2/4 取A點(diǎn)為轉(zhuǎn)軸：LGcos二

22、_LN2Si-L2N2 cos: =0 2解彳曰 +1 - y11 - 4、解得tan，即=tan2從2從解法2:地對(duì)梯和墻對(duì)梯的二個(gè)全反力與重力必交于一點(diǎn)(如圖的D點(diǎn))則有：tann ：2=叫有幾何關(guān)系：tan ,BC =DH -DEDH2AH2EB=1cot 2tan 2，AC 2 AH可解得:-=ta n丄1-22 46.如圖所示梯子長(zhǎng)為 2l ,重量為G梯子上的人的重量為 G ，人離梯子下端距離為 h,梯子與地面夾 角為，梯子下端與地面間的摩擦因數(shù)為，梯子上端與墻的摩擦力忽略不計(jì)，試求梯子不滑動(dòng)時(shí)的h值.解桿的受力情況如圖所示：由于桿靜止，a F =0/ M =0N =fN W+GGL

23、cos Ghcosv - N2Lsin f = JN解方程可以得出：h = 2(G G )tan GlG所以，只要h fl(G G)tanGl，梯子就不會(huì)滑動(dòng)。(原答案有誤)7.如圖所示，方桌重 G=100 N,前后腿與地面的動(dòng)摩擦因數(shù).二-0.20，桌的寬與高相等。求：(1) 拉力F、地面對(duì)前、后腿的支持力和摩擦力。(2) 設(shè)前、后腿與地面間的靜摩擦因數(shù) =0.60。在方桌的前端用多大水平力拉桌可使桌子以前腿為軸向前翻倒？解：據(jù)物怵一般平衡張件有巴=恥+陸一G0uF h 十N? * ft G * =0i且気N,聯(lián)立以上四式可得出；F - 20 N2 30 N, A/】=70 長(zhǎng)=M /2 H處彈力和摩擦力均恰好為零吋以A點(diǎn)為軸士 由kG：=心得F鳥=50丸 咐同時(shí)則方桌會(huì)滑動(dòng))戰(zhàn)5ONF6O N,BC圖解圖1-17-1C G G解圖1-17-2解圖1-17-38.如圖所示，一根細(xì)棒ABA端用絞鏈與天花板相連，B端用絞鏈與另一細(xì)棒 BC相連，二棒長(zhǎng)度相等.限于在圖示的豎直面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且不計(jì)絞鏈處的摩擦，當(dāng)在C端加一個(gè)適當(dāng)?shù)耐饬?與ABBC在一個(gè)平面內(nèi))可使二棒靜止在圖示位置，即二棒相互垂直.且C在A端的正下方(1)不論二棒的質(zhì)量如何，此外力只可能在哪個(gè)方向范圍內(nèi)？試說明理由(2)如果AB棒