矩陣對角化學習指導

1、41 線性代數(shù)輔導矩陣的特征值與矩陣的對角化【基本要求】1. 理解矩陣的特征值與特征向量的概念，并掌握其求法； 2. 理解相似矩陣的概念及性質，掌握矩陣對角化的充要條件；3. 理解實對稱矩陣的定義及有關特征值、特征向量的性質，會用正交變換化實對稱矩陣為相似對角形矩陣?！局饕獌?nèi)容】重要公式： 1、A=ni=1ni（1,2, ,n是n階方陣A的特征值）=i（tr(A)表示A的跡）i=1n2、trA=ai=1ii3、i0(i=1,2, ,n)A0A可逆-1-14、若可逆陣A的每行之和為a0，則a為矩陣A的一個特征值，a為A的一1 X=個特征值，且對應的特征向量為 15、設i為A的特征值，則kik=i

2、kI-A0kI-A可逆kI-A=0kI-A不可逆-1-16、A可逆且有n個線性無關的特征向量A,A+A有相同的n個線性無關的特征向量。7、ABr(A)=r(B);tr(A)=tr(B)8、設是階方陣A特征值，是A對應于的特征向量，則有如下表42 第五章 特征值與特征向量 可對角化的判斷方法：1.A有n個線性無關的特征向量；2.若A為實對稱矩陣，則A一定可以對角化；3.若A有n個互不相同的特征值，則A一定可以對角化；4.設1,2, s是A的所有不同的特征值，且其相應的重數(shù)為k1,k2, ks， 若R(iI-A)=n-ki，i=1,2, ,s，則A一定可以對角化 A、B有相同的特征值R(A)=R(

3、B)【典型例題】 -1-22 10的特征值與特征向量. 例1 求A= 0001+1解：特征方程為|EA|=2-20=(+1) (1)2 =0， A的全部特-00-10征值為1=1，2=3=1。2x2-2x3=0把1=-1代入方程組(iI-A)X=,得齊次線性方程組：-2x2=0，-2x=03它的一個基礎解系1(100)， TA對應于特征值1=-1的全部特征向量為k1,k是非零常數(shù).同理可得A對應于特征值2=3=1的全部特征向量為k1(101)+k2(-110)(k1,k2不全為零). TT43 線性代數(shù)輔導 204 1例2已知A= 060，求一正交矩陣P，使PAP成為對角陣.4022解 特征方

4、程為|EA|=(6)(+2),A的全部特征值為1=2=6,3=-2,當=6時，解方程組4x1-4x3=0得-4x+4x=013A對應于=6的兩個線性無關的特征向量為1=(111)T,2=(-12-1)T，1-11 1 它們顯然正 交,所以只要對它們進行單位化，可得：1= 2。 1， 2=6 -11-4x1-4x3=011 1 -8x2=0得3= 0，單位化后，3=當=2時，解方程組 0， 2 -1-4x-4x=013-1令P=(12 3)= 131313-126-1126 0， 則P-1AP= 6。 21-22例3 設n階矩陣A滿足A=A, 證明(1) A的特征值只能是1或0； (2) A+I

5、可逆。證: (1) 設為A的任一特征值，x為對應于的特征向量，則 Ax=x，所以 A2x=A(Ax)=A(x)=Ax=2x。2 又 A2x=Ax=x,x=x , 即 (-)x=, 2但x,所以 (-1)=0 , 即 =0 或 =1 .(2) 因-1不是A的特征值，故0-I-A=(-1)nI+A, 即I+A0，I+A可逆。例4假設為n階矩陣A的一個特征值，證明：（1）若A可逆，則0 ，的特征值 (2)若A可逆，則特征值證: (1)由條件知有非零向量滿足A=，兩端左乘以A，得=(A)，由于為非零向量，故0，于是有 A-1=1111為A k-1|A|為A的伴隨矩陣A的特征值。（3）是A的*k，據(jù)特征

6、值的定義，數(shù)1為矩44 第五章 特征值與特征向量 陣A1的特征值。|A|111,A*，故（1）中的結論可寫為 A*=，即A*=|A|A|(2) 由于A-1=故數(shù)|A|*為A的特征值。（3）由題設條件，有非零向量滿足：A=,A2=A(A)=A()=(A)=()=2, ,Ak=k， 由定義，是A的特征值 kk例5設A為n階矩陣,試證齊次線性方程組AX=0有非零解的充要條件是A有零特征根。 證: ：因AX=0有非零解，故|A|=0。因|0E-A|=|-A|=(-1)n|A|=0，=0是A的特征值。為A的特征值，故|0E-A|=|-A|=(-1)n|A|=0，|A|=0，因而AX=0：因 0有非零解。

7、例6 設三階矩陣A的特征值為1=1，2=2，3=3，對應的特征向量依次為111 1=1,2=2,3=3，又向量=149(1) 將用1，2，n311 3線性表出；（2）求A（n為自然數(shù)）。x1+x2+x3=1解:（1）考慮向量方程 =x11+x22+x33，即x1+2x2+3x3=1，x+4x+9x=3231把此方程組的增廣矩陣作初等行變換111111111111123101200120 149303820011得唯一解(2, 2, 1)，故有 =2122+（2）由于Ai=ii，故Ani=nii；因此 3。45 線性代數(shù)輔導 An=An(21-22+3)=2(An1)-2(An2)+An3n+1

8、n1112-2+3-2n+12+3n3=2-2n+2+3n+1=21n+3n+21492-2+3【自我練習及解答】一、填空題：(1) n階方陣若有n個不相同的特征值，則與一個 相似。(2) 已知三階方陣A的特征值為1，2，3，則A-1的特征值為，A2+2A+3I的特征值為 ；11(3) 矩陣 A=11111111的非零特征值是 。 111111(4)實對稱矩陣的屬于不同特征值的特征向量是 。(5)n階單位陣的全部特征根為 ；特征向量為 。二、選擇題：(1)A是三階矩陣，特征值為1=0,2=-1,3=1,其對應的特征向量分別是1,2,3 ,設 P=(1,2,3),則有P-1AP=1010 (A)

9、 (B) (C) (D) -1-101 01-1-1(2) n階方陣A具有n個不同的特征值是A與對角陣相似的（A）充分必要條件（C）必要而非充分條件 （B）充分而非必要條件 （D）即非充分也非必要條件-11(3) 設2是可逆矩陣A的一個特征值，則矩陣 A2的一個特征值等于34311（A） （B） （C） （D） 3424(4) 設n階方陣A滿足AkO（k為正整數(shù)），則（A）AO （B）A有一個不為零的實特征值（C）A的實特征值全為零 （D）A有n個線性無關的特征向量(5) 設A是n階矩陣，如果|A|=0，則A的特征值（A）全是零（C）至少有一個是零 （B）全不是零 （D）可以是任意數(shù)(6) 如

10、果與n階矩陣A相似的矩陣只有A自身，則A為（A）單位矩陣E （B）可逆矩陣46 第五章 特征值與特征向量 （C）數(shù)量矩陣aE*（D）對角矩陣 三、 設A為三階方陣，且B=AA*,其中A是A的伴隨矩陣，求B的特征值和特征向量。四、設3階方陣A的特征值為1=1，2=0,3=-1，它們對應的特征向量依次為12-2 p1= 2,p2= -2,p3= -1，求A=？2 1 21-2-4 1五、試判斷矩陣A= -24-2能否對角化？若能，則求P,使B=PAP為對角矩陣。-4-21六、設三階方陣A的特征值為2，1，0，（1）求B=2A3-5A2+3I的特征值；（2） 求A。001 -13,求A10 七、已知

11、A= 4-202八、設三階方陣A有三個不同的特征值1,2,3,對應的特征向量依次為1,2,3，令=1+2+3，證明：向量組,A,A2線性無關。2-12 九、設A= 5-33，試求A的特征多項式、特征值及特征向量。-10-2習題參考答案:11一(1) 對角陣; (2)1,; 6,11,18; (3)4;(4) 正交的;(5) n 重根=1;為任一個23非零n維向量。二(1) (D); (2) (B); (3) (B); (4) (C); (5) C; (6) C*A-1三. 解：A=得，B=AA*=AI3, AI3的特征值為1，B的特征值為1=2=3=A;100 對應的全部特征向量為 k1 0+

12、k2 1+k3 0 , 其中k1,k2,k3不全為0 0 0 1四.解：顯然P 以他們?yōu)榱邢蛄繕嬙炜赡婢仃?，P2，P3線性無關，1P=(P1P212-2 P3)= 2-2-1,則212P-12211 = 2-21，9 -2-121 -1PAP= 0 -1，47 線性代數(shù)輔導 -11 -1= A=P 0 0P -13013。 00050.0522五.解: A-42-1-1 -1是實對稱矩陣,A可以對角化.取P= 120，則B=PAP= 0 0 201(值得注意的是，此題沒有要求找出一個正交矩陣P來，所以千萬不要形成了思維定勢，見到實對稱矩陣的對角化便對求出的特征向量正交化、單位化，一定要看清題

13、目。另外此題的答案并不唯一。)22 -1， 六解：（1）由題意，存在可逆矩陣P，使P-1AP=，A=P11 P 00221-1 -1 -1 -1 -1B=2P 1P-5P1P+3P1P=P0 P0013， 32B的特征值為-1，0，3（2）A=i=13i=210=0-1七. 解：特征方程為-400-3=(-1)(+1)(-2)=0，-2+102A的特征值為1=1，2=-1，3=2經(jīng)計算可得，A對應于特征值1=1，2=-1，3=2的線性無關的特征向量分別為：x1=(152),x2=(010),x3=(011). TTT100 ()P=xxx=511構造可逆矩陣 123 2011 -1-1 寫出對角矩陣B=PAP= 2A10=PB10P-11001001001 = 511 010 -31-1= 2-211201 00210 -201 2-2111210-1 02100048 第五章 特征值與特征向量 八證明：考慮向量方程k1+k2(A)+k3(A2)= （1）22由A=11+22+33,A2=11+222+33,得：22(k1+k21+k31)1+(k1+k22+k3