矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形的應(yīng)用

1、第3講 矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形的應(yīng)用設(shè)矩陣的秩rank，則存在m階可逆矩陣P和n階可逆陣Q，使，我們把稱為A的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形熟知兩個(gè)同形矩陣等價(jià)當(dāng)且僅當(dāng)它們具有相同的秩，即它們具有相同的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形能幫助我們解決許多問(wèn)題例1 每個(gè)方陣A均可寫成，其中B是可逆陣，C是冪等陣（即）證 設(shè)A的秩rank，則存在可逆陣P和Q，使記，顯然B是個(gè)可逆陣，是個(gè)冪等陣，并且例2 設(shè)n階方陣A的秩rank，證明存在可逆陣P，使的后行全是零證 存在可逆陣P和Q，使，從而的后行全是零例3 設(shè)n階矩陣A的秩rank，證明存在非零n階矩陣B，使證 由例1知存在可逆陣和冪等陣，使記，顯然，且例4 設(shè)n階矩陣A，B滿足

2、，證明證 存在n階矩陣P，Q，使得，這里rank A，我們斷言事實(shí)上，從易知，由此顯然得到，此時(shí)，從而，進(jìn)而例5 設(shè)n階冪等陣A（即）的秩rank，證明存在可逆陣P，使證 存在可逆陣R和T，使，記，其中為r階方陣，則，從即知，從而，因此，且，注意到的秩等于r，知r階方陣的秩rank，必須，隨之得到現(xiàn)令可逆陣，可驗(yàn)證例6 設(shè)n階冪等陣A的秩等于r，證明（i） rankrank；（ii） trrank A；（iii） 任何實(shí)冪等陣均可分解為兩個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣的乘積證 由例5知存在可逆陣P（當(dāng)A為實(shí)陣時(shí)，P亦可取為實(shí)陣），使得（i）此時(shí)，這樣rankrank（ii）trtrrank（iii）易知，顯然和

3、都是實(shí)對(duì)稱陣，從而也是實(shí)對(duì)稱陣?yán)? 若n階陣A滿足rankrank，則A是個(gè)冪等陣證 由例2知存在可逆陣P和，其中是r階方陣，rank A，使得,又從條件知的秩rank，的秩也等于，必須，即，這時(shí)是個(gè)冪等陣，進(jìn)而A是個(gè)冪等陣?yán)? 1設(shè)A是個(gè)n階對(duì)合陣（即），rank，證明（i） 存在可逆陣P，使（ii） rankrank（iii） 每個(gè)實(shí)對(duì)合陣均可表為兩個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣之積2若n階陣A滿足rankrank，則A是對(duì)合陣證 注意到A是對(duì)合陣當(dāng)且僅當(dāng)是冪等陣，利用例57的結(jié)論即得例9 （i）設(shè)n階陣A的秩等于r，滿足，此處證明存在可逆陣P，使得（ii）設(shè)A，B是如下的n階矩陣：，證明存在可逆陣P，使證

4、 （i）我們仿照例5的思路來(lái)進(jìn)行存在可逆陣R，使，其中是r階方陣從知，即，于是，且注意到，的秩rank，因此，記，P顯然是可逆的，并且（ii）顯然A的秩rank，又容易驗(yàn)證，故據(jù)（i）即知結(jié)論例10 設(shè)A是個(gè)矩陣，B是個(gè)矩陣，證明證 設(shè)A的秩rank，存在m階可逆陣P和n階可逆陣Q，使，記分塊陣，其中為r階方陣，則有同理可得，因此證明了進(jìn)一步地，例11 設(shè)矩陣A的秩等于r，證明對(duì)任意矩陣B，0是AB的至少重特征值，0是BA的至少重特征值 證 從例10的證明直接推出例12 計(jì)算行列式解 根據(jù)例10可知例13 設(shè)A是個(gè)n階可逆陣，和是兩個(gè)n維列向量證明rank當(dāng)且僅當(dāng) 證 由例10得，注意到，的秩

5、rank當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)，即例14 設(shè)均不為0，計(jì)算行列式解 因均不為0，故對(duì)角陣是可逆的，由例13可得例15 設(shè)A是個(gè)矩陣，B是個(gè)矩陣，證明下面的Sylvester秩不等式rank AB rankrank證 設(shè)A的秩等于r，B的秩等于s，存在m階可逆陣P，n階可逆陣Q和R，l階可逆陣S，使得，記，其中是矩陣，則，注意到P、T、S都是可逆陣，rank，故rankrankrank，而是T中去掉后行、后列所得的矩陣，而在矩陣中去掉一行（列），矩陣的秩最多減少1，因此rankrank例16 設(shè)A、B、C是任意三個(gè)矩陣，乘積ABC有意義，證明下面的Frobenius秩不等式：rank ABC rank

6、rankrank B證 設(shè)A是矩陣，B是矩陣，C是矩陣，且設(shè)rank，則存在m階可逆陣P和n階可逆陣Q，使現(xiàn)作分塊陣，是矩陣，是矩陣，則，于是根據(jù)例15得到rankrank rankrank rankrank rankrankrank B 例17 設(shè)矩陣A的秩等于r，證明存在可逆陣、使PA的后行全為零，AQ的后列為零 證 存在可逆陣P和Q，使得，顯然的后行為零，而且的后列為零例18 設(shè)A、B是兩個(gè)等秩的矩陣，若存在n階矩陣U，使，則存在可逆陣V，使證 設(shè)A、B的秩等于r，從例17知存在可逆陣P和Q ，使，其中，都是秩為r的矩陣現(xiàn)作適當(dāng)?shù)姆謮K，則有，從而，并且進(jìn)一步可得，注意到的秩等于r，故r階

7、方陣的秩也等于r，即是可逆的，于是有顯然是可逆的，我們把它的逆記為V，則例19 試從等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形的角度給出齊次線性方程組的一種解法解 設(shè)A的秩等于r，存在m階可逆陣P和n階可逆陣Q，使，于是線性方程組可化為，記，則原方程組等價(jià)于，即令，容易驗(yàn)證都是的解，從而它們構(gòu)成的一基礎(chǔ)解系 下面是具體的操作過(guò)程首先構(gòu)造矩陣，然后對(duì)矩陣B作如下的初等變換：（i） 對(duì)A（即B的前m行）作初等的行變換，（ii） 對(duì)B作初等的列變換，則經(jīng)過(guò)有限次上述的初等變換后，B可變?yōu)?，此時(shí)Q的后個(gè)列向量構(gòu)成的一基礎(chǔ)解系例20 試從等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形的角度給出非齊次線性方程組的一種解法解 下面僅給出具體的操作過(guò)程，至于其原理可按例19的

8、方式得到首先構(gòu)造矩陣，然后對(duì)矩陣B作如下形式的初等變換：（i） 對(duì)B的前m行作行的初等變換，（ii） 對(duì)B的前n列作列的初等變換，則經(jīng)過(guò)有限次上述變換后，B可變?yōu)?，記，此時(shí)可得如下的結(jié)論：有解當(dāng)且僅當(dāng)；當(dāng)時(shí)，是的一個(gè)特解，是所對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的一基礎(chǔ)解系例21 試從等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形的角度給出可逆矩陣的逆矩陣的一種求法解 設(shè)A是個(gè)n階可逆陣，A的秩等于n，存在可逆陣P和Q，使，進(jìn)而這給出了求逆矩陣的一種方法首先構(gòu)造矩陣，然后對(duì)B進(jìn)行如下形式的初等變換：（i） 對(duì)B的前n行進(jìn)行初等的行變換，（ii） 對(duì)B的前n列進(jìn)行初等的列變換，則經(jīng)過(guò)有限次上述變換后，B可變?yōu)?，由此求得?2 設(shè)A是給定的矩陣，X是矩陣，求矩陣方程的所有解X解 設(shè)A的秩rank，取定m階可逆陣P和n階可逆陣Q，使得，代入，得到，現(xiàn)記，其中是r階方陣，代入上式得到由此得到，因此我們解得了，其中是r階對(duì)稱矩陣，是個(gè)任意的矩陣 反過(guò)來(lái)，對(duì)任意矩陣，其中是對(duì)稱矩陣，我們?nèi)菀昨?yàn)證這樣我們就求出了的全部解 例23 設(shè)，則矩陣方程有解當(dāng)且僅當(dāng)和等價(jià)證 若X，Y滿足方程，則，因此與等價(jià)反過(guò)來(lái)，如果與等價(jià)，那么它們