梯度功能材料的二維波傳播的數(shù)值模擬

1、梯度功能材料的中二維波傳播的數(shù)值模擬阿卡迪·班若維斯凱 吉瑞·安格爾布瑞科特 吉安·卯金摘 要 梯度功能材料中壓力波的傳播是通過復合波傳播的運算法則來進行數(shù)值研究的。研究了兩中不同的梯度功能材料的模型：（i）每層具有均勻性質的多層金屬-陶瓷復合材料；（ii）在規(guī)定容量的小部分金屬基中隨機嵌入陶瓷顆粒。通過數(shù)值模擬證明：梯度功能材料模擬的運算法則無須任何均化程序就已經(jīng)適用了?；跀?shù)值模擬的分析表明：不同模型的壓力性質有顯著的差異，而這些模型可以用于對結構及沖擊載荷做出最優(yōu)化的反應。關鍵詞：梯度功能材料，波傳播，數(shù)值模擬，沖擊載荷1 引言梯度功能材料因其多功能性質而被

2、廣泛用于當代科技。由于遭受準靜態(tài)載荷而在梯度功能材料內產(chǎn)生應力和位移的變化，對這一現(xiàn)象的分析與計算表明：在兩種不相似的層間使用梯度界面并使其結構和幾何狀態(tài)最優(yōu)化能有效地減小應力。動態(tài)載荷處的能量吸收應用具有特別的意義，界面效應對于這一情形當然也很重要。梯度功能材料中一維波傳播已經(jīng)在1999及2000年被人們探討過。梯度金屬陶瓷薄的沖擊效應已經(jīng)在2001年被人們在2001年討論過。在這些研究中，梯度功能材料近似于多層媒介，并且每層材料的性質假設為常數(shù)或沿著層變化的一次或二次方程。這樣做的主要困難時無法準確估計材料性質隨著成分顆粒的體積容量變化而變化的方程。然而，梯度功能材料的特點不僅在于其間出現(xiàn)

3、了混合物或其他成分，還在于它較傳統(tǒng)材料（宏觀均勻）具有復雜的行為。最簡單的例子就是，梯度功能材料的結構能夠通過在以某種材料為基而以另外一種材料作為嵌入物的類似于模型的系統(tǒng)來表示。在這篇文章中，我們所關注的是在層以及梯度的金屬陶瓷結構的二維的波傳播的分析。作為例子，我們用到了已經(jīng)在2001年被驗證的涉及盔甲運用的結構。然而，相較結構的最優(yōu)化而言，我們更感興趣的是對梯度功能材料的描述。因此，我們僅限于研究不具有任何粘塑效應的彈性波的傳播。接下來，我們將對兩種不同的梯度功能材料進行計算：（i）在層內性質均勻的多層金屬陶瓷復合材料（ii）在規(guī)定容量的小部分金屬基中隨機嵌入陶瓷顆粒。這篇文章的主要目的是

4、對比時間演化（波的傳播和與界面的相互作用）以及這兩種模型的成分并證明對沖擊力應用的梯度的選擇的意義。需要注意的是，具有不同物理尺寸規(guī)模的結構中，波行為也可能不同。我們所關注的是在一個平面加載一個動態(tài)的載荷，而在這個平面上，應力脈沖的波長是與平面厚度相當?shù)?。這意味著波長遠大于包含物的尺寸，而且波傳播的距離相對要小。另外，對于加強材料中最快的波速，所加應力脈沖的上升時間比增強方向的比例要大很多。2 問題簡述我們所考慮的問題是一個厚度為h長度為L（Lh）的平面的沖擊載荷問題。在長度為a（a<h）平面上表面的中心區(qū)域橫向加載載荷。平面的材料假設為沿厚度方向成分呈現(xiàn)梯度。梯度用陶瓷增強金屬基體相內

5、的體積分數(shù)來描述。我們隨2001的研究之后，引入了該問題的三個時間尺度，如方程（1）所示，其中表示最快縱波的速度，tr表示外加載荷最短的上升時間。由于Lh，t0tb，因此，該板塊的橫向邊界實際上并非如計算中所示的那樣。正如2001年研究所示的那樣，如果單是體積分數(shù)參數(shù)被用來描述層次，那么必然有trdr/，其中dr表示加強維。3 非均勻彈性材料的控制方程 假設金屬及陶瓷材料均為線性各向同性彈性介質。在這個前提下，這一問題的控制方程可以用壓力和速度以一種很簡單的方式表示，見公式（2）（3），其中t表示時間，xj表示空間坐標，vi表示速度矢量的分量，ij 為應力張量，為密度，和為拉梅系數(shù)，為克羅內克

6、函數(shù)。在x點明確指示的依賴意味著受體在材料方面一般不均勻，也就是說，梯度材料的性質是通過（x），（x），（x）來表示的。方程（2）（3）所描述的系統(tǒng)是一個適合于數(shù)值模擬的符合雙曲守恒律的系統(tǒng)。我們將用材料性質的分布來數(shù)值地解這個方程體系，而材料性質是與各層分布均勻的多層金屬陶瓷材料以及以上述體積比隨機在金屬基中嵌入陶瓷顆粒所形成的模型有關。 假設這一平面在t0是靜止的，方程（2）（3）描述的系統(tǒng)當處于一下的初始狀態(tài)（4）一定可以被解出。平面的上表面承受來自方程（5）所給的應力脈沖。上表面的其他部分以及下表面不承受應力，側界面假設被鎖定。4 材料性質 為了計算梯度功能材料中整體的應變/應力分布，

7、我們需要對梯度層得性質有個適當?shù)墓烙嫞热鐥钍夏Ａ?、泊松比等等。有關梯度功能材料的性質已經(jīng)有很多文章發(fā)表了。這些研究中，大多數(shù)運用的都是平均法，這比較簡單也很方便，它們被用來預測整體的形變反應以及性質。然而，由于假設的簡單化，用于實際梯度功能材料的簡單模型的有效性是受相關詳細的微觀結構和其他狀況的影響的。不過，平均法仍將被有選擇性地用于梯度功能材料（這些材料承受一致或者非一致的整體載荷），因為這種方法還是具有一定的合理性的。正如在引言中提到的一樣，我們的主要目的是對比兩種不同的梯度功能材料模型：（i）在層內性質均勻的多層金屬陶瓷復合材料（ii）在規(guī)定容量的小部分金屬基中隨機嵌入陶瓷顆粒。為了達

8、成這一目的，運用混合物的線性規(guī)則來處理多層模型梯度層的楊氏模量和泊松比就可以了，而這些模型是針對在各層內性質均勻的金屬臺詞復合材料。根據(jù)混合物的線性規(guī)則，對于任何材料性質的最簡單的估計方法，在雙相金屬陶瓷材料的x點的性質P(x)可以用體積分數(shù)Vm和Vc以及金屬材料和陶瓷成分材料性質的Pm和Pc的線性組合來估算。對于在金屬基中隨機嵌入陶瓷顆粒的復合材料的模型，所運用的是不經(jīng)過任何平均的相同的材料性質。5 數(shù)值算法我們需要注意的是，存在許多中算法，他們均可用于雙曲方程系統(tǒng)的求解。但是，通常假設解是平滑的，這樣才能在標準的有限差分法中獲得近似衍生物。然而，這些近似物在材料參數(shù)方面不是近間斷有效的。因

9、此，如果參數(shù)在網(wǎng)格尺寸級別急劇變化的話，標準方法常常徹底失效。相比較而言，人們發(fā)現(xiàn)新近發(fā)展起來的波傳播算法較適于波在快速變化的異質媒介中傳播的模擬。該算法結合了多層面的高解析度波的傳播。特別限制器功能是用來減少近間斷虛假振蕩。結果在1997年得到了沖擊的清晰分辨率，而該沖擊是隨著二階精度得到順利解決方案。 一種改進的復合波的傳播方案（執(zhí)行幾個二階的蘭科斯-萬德若夫型步驟后執(zhí)行一個杜諾夫步驟）已成功應用于媒體迅速變的二維熱彈性波的傳播。這里也用到了這種傳播方案。我們相信這種方法是用于研究各種梯度功能材料的有力工具。6 計算結果6.1 一維的情況首先我們考慮在一維情況下的應力波得傳播。這一簡化是為

10、了類比由舍美麗和潘世庴于2000年討論過的問題，他們已經(jīng)展示了由層振幅引起的波得衰減，而在層內則形成了微觀損傷的積累。他們的模型是以內部變量為基礎的。而微觀結構是用一個標量場來描述的，而標量場取決于缺陷密度，并影響能量函數(shù)。它在控制方程的結果占一定的額外非平衡壓力。在我們的計算中，功能梯度材料層是一個放置在無量綱計算域0,1000的區(qū)間300,700（參見圖2（a），3（a）。層得機械性能是以下的其中一種：從Al2O3陶瓷向Ni金屬呈光滑轉變（圖2（a）并且變化是以高斯分布的形式；以相同的高斯分布隨機嵌入顆粒而形成的混合物（圖3（a）。3和3970 m3。計算結果見圖2（b）和3（b）。顯然在

11、振幅與層得相互作用之后，我們得到一個預期的透射波下降。應該指出的是，僅在性能差異顯著的材料中，才能觀察到以上這種顯著的下降。如果我們通過隨機粒子來嵌入層來模擬非均質模型的話，這種效應能夠更清楚地表現(xiàn)出來（圖3（b）。另外，由于層內的隨機分布，反射波便顯出某種不規(guī)律性（在零線處作微小波動），而這可被用來探測層得性質。通過比較內部變量形式的結果與直接計算獲得的結果，我們可以確定用于模擬內部變量的標量場模型的性質。6.2 二維的情況現(xiàn)在我們回到在第二部分指定的二維平面應變問題。我們研究四種形式的陶瓷顆粒加強體積分數(shù)變化，而這些變化是沿厚度方向的，而在多層材料中，各層材料內部性質是均勻的：一致的，分層

12、的，分級為兩種不同的體積分數(shù)分布的f=vc（圖4），這里金屬基和陶瓷加強材料的彈性性質如下：楊氏模量分別為70GPa和420GPa2800kg/m3 和3100kg/m3。這些結構已經(jīng)在軸對稱情況下被人們驗證為A,B,C,D。同時，相同的結構可以由隨機嵌入相關體積比來表示（圖5）。在兩種模型中都用到了相同的算法來用于應力波傳播的數(shù)值模擬。在計算中，我們在厚度方向用了98中元素，這樣加強維可以長達250m。用于加載的上升時間tr選為0.75s。這樣滿足trdr/cf，因為根據(jù)2001年的數(shù)據(jù)，最快的縱波的速度為11877m/s。表示充分位移場等高線圖的典型例子如圖6所示。對相同的梯度功能材料的不

13、同模型，他們處于相同的情況下進行計算：L=49mm，h=24.5mm，a=12.25mm，0 = 125 MPa。盡管粒子體積分數(shù)在兩種模型中的分布情況類似，我們依然能夠很清楚地看到應力波傳播速度的不同。此外，我們已經(jīng)獲得了波前的對稱形狀的畸變，而這些波前屬于由于隨機顆粒分布引起的隨機嵌入顆粒的模型。例如，屬于裝甲應用的，用于分層或分級結構的一個有意思的話題已經(jīng)在2001年被描述如下：分層或者應力最大值以及他們分布層次的影響是什么？為了優(yōu)化相對于處于動態(tài)加載條件下的完整性，這很重要。為了回答制定的問題，讓我們考慮沿板的中心線正應力分布，而在這一位置希望有最的預期應力值。621 中心線應力分布層

14、內性質均勻的多層模型，沿著其中心線，其正常的應力分布如圖7所示。由于結果是在同一時間給出的，正常的應力分布位置的區(qū)別刻畫了每個結構中應力波速度的差異，而他們完全與每個結構中陶瓷顆粒體積分數(shù)相一致（對于一致分布為0.360，對于分層的情況為0.226，對于高f前為0.475，對于低f前為0.120）。顯然，交替分層（情況（b）是由于振幅以及透射波相對于均質的情況（a）的減少而造成的。對于分層情況，拉應力有了極大的提高。連續(xù)梯度造成如下情況（見圖7）。在高f和低f前分級（情況（c）和情況（d）之間最大振幅沒有大的差別，但是他們之間的速度卻又很大的差別。這一效果源于相應陶瓷加強部分的材料性質。由于結

15、構所造成的分層材料內部的大的拉應力描述了這樣一種情況，那就是：為了在動態(tài)加載條件下提供更好的結構完整性所作出的排斥反應。對于隨機嵌入顆粒的模型，這一情形稍微有所改善（見圖8）。這樣的話，不同結構中應力波傳播的速度就會變得更小，但是他們振幅的區(qū)別卻變得更大。在c情況中，由于有高比例的陶瓷加強材料摻入，縱波的速度在所有計算情況中都保持最高的值。而拉應力的振幅，尤其對于一致的情況和低f前梯度情況（即情況（e）和（h），卻大大的減小了。這樣看來，似乎后一種結構，即情況（h），是阻礙擠壓和拉伸應力的最佳選擇。而這一結果在各層性質均勻的多層材料中卻沒那么明顯。7 結束語對于梯度功能材料動態(tài)行為的理論預測取

16、決于他們的性質在計算環(huán)境中被模仿的相似度。盡管許多梯度功能材料性質的均質模型被廣泛接受，但是在過去，有一個更加合理的模型（在一個基中隨機嵌入顆粒）卻從來都沒有被用過，那是因為在介質性能迅速變化的情況進行數(shù)值計算式比較困難的。這一困難在1997年通過用波傳播算法和作相應修正而得到克服。在復合波傳播算法中，通過解決每個離散元素之間界面的黎曼問題，每個參數(shù)的不連續(xù)性都考慮了進來。對于所研究的非均勻介質，每個界面處波得反射和傳輸都得到了自動處理。這篇文章中，我們用到了復合波傳播算法，用它們來比較通過平均材料性質而獲得的離散層模型以及在一個金屬基中隨機嵌入陶瓷顆粒的模型。盡管在兩種情況下整體波前圖（圖6）看起來相似，但是