矩陣的進(jìn)一步討論

1、第三章 矩陣的進(jìn)一步討論基礎(chǔ)訓(xùn)練題1. 矩陣A的秩指的是什么？解：A中非零子式的最大階數(shù),若沒有非零子式,則A的秩為零.2. 設(shè)F上的矩陣A的秩是r，下列論斷哪些是對(duì)的？哪些是錯(cuò)的？是對(duì)的，給出證明；是錯(cuò)的，舉出反例. （1）A中只有一個(gè)r階子式不為零；解：錯(cuò).例如A=,秩A=1,但一階非零子式有兩個(gè).（2）A中所有r-1階子式全為零；解：錯(cuò).例如A=,秩A=2, 但A有5個(gè)2-1階子式非零.（3）A中可能也有r1階子式不為零；解：錯(cuò).否則與秩A=r矛盾.（4）A中至少有一個(gè)r階子式不為零.解：對(duì).若A中r階子式全為零,則秩A<r矛盾.3. l取何值時(shí)，矩陣的所有的秩最小. 解：4. 求

2、下列矩陣的秩(1) ;(2) . 解: (1)4; (2)4.5. 設(shè)A*是F上的n階矩陣A的伴隨矩陣，若秩A<n1，問A*的秩是多少？解: 秩A*=0.6. 設(shè)A是F上的m´n矩陣，其秩小于m. 證明，存在m階非零矩陣G,使得GA0.證明: 設(shè)秩Ar,則存在m階可逆矩陣P和n階可逆矩陣Q, 使得 PAQ=令m階方陣B=,其中是m階單位矩陣,因?yàn)閞<m,所以,而 BPAQ=B=0令G=BP,因?yàn)镻為m階可逆矩陣, 所以.在GAQ=0兩邊右乘以即得GA=0.7. 已知矩陣A的秩為2，求一個(gè)非零矩陣C使得AC0. A 解:因?yàn)樗?.8. 設(shè)a, b 都是數(shù)域F上的矩陣A的屬

3、于特征根l的特征向量，問ab是不是A的特征向量？為什么？解:若 則不是A的特征向量; 若 則是A的屬于特征根l的特征向量.這是因?yàn)锳()=().9. 求下列矩陣的特征根. (1) ; (2) . (1) l1=,;(2) l1=,.10. 設(shè)l1, l2是數(shù)域F上的矩陣A的不同特征根，a1, a2是相應(yīng)的特征向量，證明a1a2不再是A的特征向量. 證明:假設(shè)a1a2是A的屬于特征根l的特征向量,則A(a1a2)= l(a1a2),另一方面, A(a1a2)= la1la2于是.因?yàn)?所以,都不為零.因此a2=a1 . 這樣a1= A a1= Aa2=a1從而 a1=0.因此.矛盾.11. 設(shè)A

4、, B都是數(shù)域F上的n階矩陣，且A可逆，證明，AB與BA相似.證明:因?yàn)?AB,所以AB與BA相似.12. 已知相似矩陣有相同的特征多項(xiàng)式，問這個(gè)命題的逆命題成立嗎？若不成立，請(qǐng)舉一個(gè)反例. 解:不成立.例如:盡管有,但A與 B不相似(否則B=A).13. 設(shè)矩陣A與B相似，其中A， B. 求a與b的值. 解: a0,b-2.14. 設(shè)A, B, T都是復(fù)數(shù)域上的n階方陣, 且T是可逆矩陣. 證明, 若T -1AT= B, 則對(duì)任意的正整數(shù)m, 有T -1AmT= Bm.證明: B(T -1AT)(T -1AT)= T -1AT BBB =( T -1AT)( T -1AT)= T -1AT

5、. BT -1AT.15. 設(shè)A, B都是F上的n階對(duì)稱矩陣，證明，AB是對(duì)稱矩陣當(dāng)且僅當(dāng)ABBA. 證明：必要性：設(shè)對(duì)稱，則充分性：設(shè)，則16. 方陣A稱為斜對(duì)稱的，如果AT-A. 證明，實(shí)斜對(duì)稱矩陣的特征根為零或純虛數(shù). 證明：設(shè)是的任一特征根，則存在復(fù)數(shù)域上維列向量，使得設(shè)，其中均為復(fù)數(shù)且不全為零用的轉(zhuǎn)置矩陣左乘以上式的兩邊，得由于，所以由轉(zhuǎn)置矩陣的性質(zhì)可得所以，而因此，即是零或純虛數(shù)17. 設(shè)矩陣A與B合同. 證明，秩A秩B. 證明：若與合同，則存在可逆矩陣使得，所以秩秩秩18. 設(shè)可逆實(shí)方陣A與B合同. 證明，detA與detB的符號(hào)相同.證明：設(shè)實(shí)方陣與合同，則存在可逆實(shí)方陣使得，

6、因此，因?yàn)?，所以與同正，同負(fù)或同時(shí)為零19. 用合同變換化下列矩陣為對(duì)角形. (1) ， (2) . 解：（）；（）；（答案不唯一）20. 用非退化的線性替換化下列二次型為標(biāo)準(zhǔn)形（1）-4x1x22x1x32x2x3; （2）x12-3x22-2 x1x22x1x3 -6x2x3. 解：（1）經(jīng)非退化的線形替換，得標(biāo)準(zhǔn)形：（2）經(jīng)非退化的線形替換，得標(biāo)準(zhǔn)形：（答案不唯一）21.設(shè)n階實(shí)對(duì)稱矩陣A是正定的, P是n階實(shí)可逆矩陣.證明, PTAP也是正定矩陣. 證明：因?yàn)檎?，所以存在可逆的階實(shí)矩陣，使得，因此，而是可逆的實(shí)矩陣，故正定22. 設(shè)A是n階實(shí)對(duì)稱矩陣.證明，A是正定矩陣當(dāng)且僅當(dāng)存在n

7、階實(shí)可逆矩陣P，使APTP.證明：因?yàn)檎ǖ某湟獥l件是與合同，所以存在階實(shí)可逆矩陣，使得23. 如果n階實(shí)對(duì)稱矩陣A的秩等于A的正慣性指數(shù), 那么稱A是半正定的. 證明，如果A(aij)是秩為r的n階實(shí)對(duì)稱矩陣, 那么(1) A是半正定矩陣的充分且必要條件是A與n階方陣合同;(2) A是半正定矩陣的充分且必要條件是對(duì)于變量x1,x2,xn每取一組不全為零的實(shí)數(shù),實(shí)二次型f(x1, x2, xn)=的函數(shù)值都是非負(fù)數(shù).證明：（）半正定的正慣性指數(shù)的秩與合同（）設(shè)半正定，則存在可逆的，使得，其中秩令，因?yàn)榭赡?，所以?duì)任意一組不全為零的，都有不全為零因此用反證法假設(shè)不是半正定的，即則存在可逆的，使得

8、，其中令，則特別地取，但不全為零，即任取這樣由可逆知，對(duì)應(yīng)得一組不全為零的此時(shí)，矛盾24. 設(shè)A是n階實(shí)對(duì)稱矩陣. 證明, 若A是半正定的, 則A的行列式是非負(fù)實(shí)數(shù).證明：因?yàn)榘胝?，所以存在可逆的，使得，其中秩因此若，則否則25. 設(shè)A是n階正定矩陣, B是n階半正定矩陣. 證明, A+B是正定矩陣. 證明：因?yàn)槭请A正定矩陣，是階半正定矩陣，所以對(duì)任意一個(gè)維非零向量，都有，因此即是正定的26設(shè)A是一個(gè)正定矩陣.證明,(1) 對(duì)于任意正實(shí)數(shù)l, lA是正定矩陣;(2) 對(duì)于任意正整數(shù)k, Ak是正定矩陣;(3) A1是正定矩陣;(4) A的伴隨矩陣A*也是正定矩陣.證明：（）因?yàn)檎?，所以存在可逆的，使得因此故正定（）若為偶?shù)，則，于