求遞推數(shù)列通項公式的十種策略例析

1、求遞推數(shù)列通項公式的十種策略例析遞推數(shù)列的題型多樣，求遞推數(shù)列的通項公式的方法也非常靈活，往往可以通過適當?shù)牟呗詫栴}化歸為等差數(shù)列或等比數(shù)列問題加以解決，亦可采用不完全歸納法的方法，由特殊情形推導(dǎo)出一般情形，進而用數(shù)學歸納法加以證明，因而求遞推數(shù)列的通項公式問題成為了高考命題中頗受青睞的考查內(nèi)容。筆者試給出求遞推數(shù)列通項公式的十種方法策略，它們是：公式法、累加法、累乘法、待定系數(shù)法、對數(shù)變換法、迭代法、數(shù)學歸納法、換元法、不動點法、特征根的方法。仔細辨析遞推關(guān)系式的特征，準確選擇恰當?shù)姆椒?，是迅速求出通項公式的關(guān)鍵。一、利用公式法求通項公式例1 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：兩邊除以，

2、得，則，故數(shù)列是以為首，以為公差的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項公式，得，所以數(shù)列的通項公式為。評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，說明數(shù)列是等差數(shù)列，再直接利用等差數(shù)列的通項公式求出，進而求出數(shù)列的通項公式。二、利用累加法求通項公式例2 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：由得則所以數(shù)列的通項公式為評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，進而求出，即得數(shù)列的通項公式。例3 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：由得則所以評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，進而求出，即得數(shù)列的通項公式。例4 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：兩邊除以，得，則，故因此，則評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)

3、系式轉(zhuǎn)化為，進而求出+，即得數(shù)列的通項公式，最后再求數(shù)列的通項公式。三、利用累乘法求通項公式例5 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：因為，所以，則，則所以數(shù)列的通項公式為評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為，進而求出，即得數(shù)列的通項公式。例6 （2004年全國15題）已知數(shù)列滿足，則的通項解：因為所以所以式式得則則所以由，取n=2得，則，又知，則，代入得。評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為（n2），進而求出，從而可得當n2時的表達式，最后再求出數(shù)列的通項公式。四、利用待定系數(shù)法求通項公式例7 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：設(shè)將代入式，得，等式兩邊消去，得，兩邊除以，得，則x=1

4、，代入式，得由0及式，得，則，則數(shù)列是以為首項，以2為公比的等比數(shù)列，則，故。評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，從而可知數(shù)列是等比數(shù)列，進而求出數(shù)列的通項公式，最后再求出數(shù)列的通項公式。例8 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：設(shè)將代入式，得整理得。令，則，代入式，得由及式，得，則，故數(shù)列是以為首項，以3為公比的等比數(shù)列，因此，則。評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，從而可知數(shù)列是等比數(shù)列，進而求出數(shù)列的通項公式，最后再求數(shù)列的通項公式。例9 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：設(shè)將代入式，得，則等式兩邊消去，得，則得方程組，則，代入式，得由及式，得則，故數(shù)列為以為首項，以2為公

5、比的等比數(shù)列，因此，則。評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，從而可知數(shù)列是等比數(shù)列，進而求出數(shù)列的通項公式，最后再求出數(shù)列的通項公式。五、利用對數(shù)變換法求通項公式例10 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：因為，所以。在式兩邊取常用對數(shù)得設(shè)將式代入式，得，兩邊消去并整理，得，則，故代入式，得由及式，得，則，所以數(shù)列是以為首項，以5為公比的等比數(shù)列，則，因此，則。評注：本題解題的關(guān)鍵是通過對數(shù)變換把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，從而可知數(shù)列是等比數(shù)列，進而求出數(shù)列的通項公式，最后再求出數(shù)列的通項公式。六、利用迭代法求通項公式例11 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：因為，所以又，所以數(shù)列的通項公式為

6、。評注：本題還可綜合利用累乘法和對數(shù)變換法求數(shù)列的通項公式，即先將等式兩邊取常用對數(shù)得，即，再由累乘法可推知，從而七、利用數(shù)學歸納法求通項公式例12 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：由及，得由此可猜測，往下用數(shù)學歸納法證明這個結(jié)論。（1）當n=1時，所以等式成立。（2）假設(shè)當n=k時等式成立，即，則當時，由此可知，當n=k+1時等式也成立。根據(jù)（1）（2）可知，等式對任何評注：本題解題的關(guān)鍵是通過首項和遞推關(guān)系式先求出數(shù)列的前n項，進而猜出數(shù)列的通項公式，最后再用數(shù)學歸納法加以證明。八、利用換元法求通項公式例13 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：令，則故，代入得即因為，故則，即，可化為

7、，所以是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，因此，則+3，即，得。評注：本題解題的關(guān)鍵是通過將的換元為，使得所給遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化形式，從而可知數(shù)列為等比數(shù)列，進而求出數(shù)列的通項公式，最后再求出數(shù)列的通項公式。九、利用不動點法求通項公式例14 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：令，得，則是函數(shù)的兩個不動點。因為。，所以數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，故，則。評注：本題解題的關(guān)鍵是先求出函數(shù)的不動點，即方程的兩個根，進而可推出，從而可知數(shù)列為等比數(shù)列，再求出數(shù)列的通項公式，最后求出數(shù)列的通項公式。例15 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：令，得，則x=1是函數(shù)的不動點。因為，所以，所以數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，則，故。評注：本題解題的關(guān)鍵是先求出函數(shù)的不動點，即方程的根，進而可推出，從而可知數(shù)列為等差數(shù)列，再求出數(shù)列的通項公式，最后求出數(shù)列的通項