般周期的傅里葉級(jí)數(shù)

1、般周期的傅里葉級(jí)數(shù)一般周期的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)一般周期的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù) 以以2 l 為周期的函數(shù)的傅里葉展開(kāi)為周期的函數(shù)的傅里葉展開(kāi) 般周期的傅里葉級(jí)數(shù)周期為 2l 函數(shù) f (x)周期為 2 函數(shù) F(z)變量代換lxz將F(z) 作傅氏展開(kāi) f (x) 的傅氏展開(kāi)式般周期的傅里葉級(jí)數(shù)01cossin2nnnannaxbxll201( )cosd1( )cosd,;llnln xf xxlln xaf xxnllN或或 201( )sind1( )sind,;llnln xf xxlln xbf xxnllZ或或 01( ) cossin.2nnnannf xaxbxll般周期的傅里葉級(jí)數(shù)D

2、 Di ir ri ic ch hl le et t定定理理0, 2 ( ), (0)lf xl ll或或設(shè)設(shè)在在 滿滿足足D Di ir ri ic ch hl le et t條條件件: :連連續(xù)續(xù)或或只只有有有有限限多多個(gè)個(gè)第第一一類類間間斷斷點(diǎn)點(diǎn); ;至至多多有有限限多多個(gè)個(gè)極極值值點(diǎn)點(diǎn); ;( )2(, )f xl則則的的以以 為為周周期期的的FourierFourier級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)在在上上處處0, 2 , ll l或或處處收收斂斂, ,且且在在 上上, ,有有01cossin2nnnan xn xabll(, )xl l為內(nèi)的間斷點(diǎn), )(xf,2)()(xfxf()( ),2flf l

3、xl (, )xl l為內(nèi)的連續(xù)點(diǎn)般周期的傅里葉級(jí)數(shù) 2( )(11, 1f x以以 為為周周期期的的函函數(shù)數(shù)在在上上例例的的表表達(dá)達(dá)式式為為32,10,( ),01,xf xxx ( )1f xx 則則的的F Fo ou ur ri ie er r級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)在在處處收收斂斂于于_ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .( 10)(1 0)32 1(1).222ffS 解解 32般周期的傅里葉級(jí)數(shù)1)(nnbxf),2, 1(dsin)(nxlxnxfbn其中(在 f (x) 的連續(xù)點(diǎn)處)lxnsinl20l如果 f (x) 為偶函數(shù)偶函數(shù), 則有(在 f (x) 的連續(xù)點(diǎn)處)2)(0axf)

4、,2, 1,0(dcos)(nxlxnxfan其中1nnalxncos注注: 無(wú)論哪種情況 ,).()(21xfxf在 f (x) 的間斷點(diǎn) x 處, 傅里里葉級(jí)數(shù)收斂于l20l如果 f (x) 為奇函數(shù)奇函數(shù), 則有 般周期的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)成)20()(xxxf(1) 正弦級(jí)數(shù); (2) 余弦級(jí)數(shù).解解: (1) 將 f (x) 作奇周期延拓, 則有2oyx),2, 1,0(0nan2022xbnxxnd2sin0222sin22cos2xnnxnxnnncos4),2, 1() 1(41nnn14)(nxf2sin) 1(1xnnn)20( x般周期的傅里葉級(jí)數(shù)2oyx作偶周期延拓,)(x

5、f),2, 1(0nbn2022xanxxnd2cos0222cos22sin2xnnxnxn1) 1(422nnxxf)(200d22xxa2kn2,0,) 12(822k),2, 1(k則有1222) 12(cos) 12(181kxkk)20( x12 kn般周期的傅里葉級(jí)數(shù)為正弦 級(jí)數(shù). 周期為2l 的函數(shù)的傅里里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)公式)(xf20alxnblxnannnsincos1(x 間斷點(diǎn))其中naxlxnxfllldcos)(1nbxlxnxfllldsin)(1), 1 ,0(n),2, 1(n當(dāng)f (x)為奇 函數(shù)時(shí),(偶)(余弦)般周期的傅里葉級(jí)數(shù)) 11(2)(xxxf將期的傅立葉級(jí)數(shù), 并由此求級(jí)數(shù)121nn解解:y1ox12)(xf為偶函數(shù),0nb100d)2(2xxa5xxnxand)cos()2(2101) 1(222nn因 f (x) 偶延拓后在,),(上連續(xù) x225,) 12cos() 12(14122kkk展開(kāi)成以2為周1 , 1x的和.故得 般周期的傅里葉