復數知識點及相關練習 含答案

1、數系的擴充和復數概念和公式總結1.虛數單位i:它的平方等于-1,即21i=-2. i與-1的關系: i就是-1的一個平方根,即方程x2=-1的一個根,方程x2=-1的另一個根是-i3. i的周期性:i4n+1=i, i4n+2=-1, i4n+3=-i, i4n=14.復數的定義:形如(,a bi ab R+的數叫復數,a叫復數的實部,b叫復數的虛部的集合叫做復數集,用字母C表示復數通常用字母z表示,即(,=+z a bi a b R5. 復數與實數、虛數、純虛數及0的關系:對于復數(,+,當且僅當b=0時,復數a+bi(a、a bi ab RbR是實數a;當b0時,復數z=a+bi叫做虛數;

2、當a=0且b0時,z=bi叫做純虛數;a0且b 0時,z=bi叫做非純虛數的純虛數;當且僅當a=b=0時,z就是實數0. 5.復數集與其它數集之間的關系:N Z Q R C.6. 兩個復數相等的定義:如果兩個復數的實部和虛部分別相等,如果a,b,c,dR,那么a+bi=c+dia=c,b=d一般地,兩個復數只能說相等或不相等,而不能比較大小.如果兩個復數都是實數,就可以比較大小當兩個復數不全是實數時不能比較大小7. 復平面、實軸、虛軸:點Z的橫坐標是a,縱坐標是b,復數z=a+bi(a、bR可用點Z(a,b表示,這個建立了直角坐標系來表示復數的平面叫做復平面,x軸叫做實軸,y軸叫做虛軸實軸上的

3、點都表示實數(1實軸上的點都表示實數(2虛軸上的點都表示純虛數(3原點對應的有序實數對為(0,0設z 1=a +bi ,z 2=c +di (a 、b 、c 、d R 是任意兩個復數,8.復數z 1與z 2的加法運算律:z 1+z 2=(a +bi +(c +di =(a +c +(b +d i .9.復數z 1與z 2的減法運算律:z 1-z 2=(a +bi -(c +di =(a -c +(b -d i .10.復數z 1與z 2的乘法運算律:z 1·z 2= (a +bi (c +di =(ac -bd +(bc +ad i .11.復數z 1與z 2的除法運算律:z 1&#

4、247;z 2 =(a +bi ÷(c +di =i dc ad bc d c bd ac 2222+-+(分母實數化 12.共軛復數:當兩個復數的實部相等,虛部互為相反數時,這兩個復數叫做互為共軛復數虛部不等于0的兩個共軛復數也叫做共軛虛數通常記復數z 的共軛復數為z 。例如z =3+5i 與z =3-5i 互為共軛復數13. 共軛復數的性質(1實數的共軛復數仍然是它本身(222Z Z Z Z = (3兩個共軛復數對應的點關于實軸對稱14.復數的兩種幾何意義: 15幾個常用結論(1(i i 212=+,(2(i i 212-=- (3i i -=1, (4 i i i =-+11

5、16.復數的模: (5 i i i -=+-11 復數bi a Z +=的模22b a Z += (6(22b a bi a bi a +=-+復數基礎2一、選擇題1.下列命題中:若z =a +b i ,則僅當a =0,b 0時z 為純虛數;若(z 1-z 22+(z 2-z 32=0,則z 1=z 2=z 3;x +y i =2+2i x =y =2;若實數a 與a i 對應,則實數集與純虛數集可建立一一對應關系.其中正確命題的個數是( A .0B .1C .2D .32.在復平面內,復數z =sin 2+icos 2對應的點位于( A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限3

6、.a 為正實數,i 為虛數單位,z =1-a i ,若|z |=2,則a =( A .2 B. 3 C. 2 D .14.(2011年高考湖南卷改編若a ,b R ,i 為虛數單位,且a i +i 2=b +i ,則( A .a =1,b =1B .a =-1,b =1C .a =-1,b =-1D .a =1,b =-15.復數z =3+i 2對應點在復平面( A .第一象限內B .實軸上C .虛軸上D .第四象限內6.設a ,b 為實數,若復數1+2i =(a -b +(a +b i ,則( 點,(b a Z 向量OZ 一一對應一一對應 一一對應 復數(R b a bi a Z +=,A

7、.a =32,b =12B .a =3,b =1C .a =12,b =32D .a =1,b =37.復數z =12+12i 在復平面上對應的點位于( A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限8.已知關于x 的方程x 2+(m +2ix +2+2i =0(m R 有實根n ,且z =m +n i ,則復數z 等于( A .3+iB .3-IC .-3-iD .-3+i9.設復數z 滿足關系式z +|z |=2+i ,那么z 等于( A .-34+i B.34-I C .-34-i D.34+i10.已知復數z 滿足z +i -3=3-i ,則z =( A .0B .2iC .

8、6D .6-2i11.計算(-i +3-(-2+5i的結果為( A .5-6iB .3-5iC .-5+6iD .-3+5i12.向量OZ 1對應的復數是5-4i ,向量OZ 2對應的復數是-5+4i ,則OZ 1+OZ 2對應的復數是( A .-10+8iB .10-8iC .0D .10+8i13.設z 1=3-4i ,z 2=-2+3i ,則z 1+z 2在復平面內對應的點位于( A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限14.如果一個復數與它的模的和為5+3i ,那么這個復數是( A.115 B.3I C.115+3i D.115+23i15.設f (z =z ,z 1=

9、3+4i ,z 2=-2-i ,則f (z 1-z 2=( A .1-3iB .11i -2C .i -2D .5+5i16.復數z 1=cos +i ,z 2=sin -i ,則|z 1-z 2|的最大值為( A .5 B. 5 C .6 D. 617.設z C ,且|z +1|-|z -i|=0,則|z +i|的最小值為( A .0B .1 C.22 D.1218.若z C ,且|z +2-2i|=1,則|z -2-2i|的最小值為( A .2B .3C .4D .519.(2011年高考福建卷i 是虛數單位,若集合S =-1,0,1,則( A .i S B .i 2S C .i 3S D

10、.2i S20.(2011年高考浙江卷把復數z 的共軛復數記作z ,i 為虛數單位.若z =1+i ,則(1+z ·z =(A .3-i B .3+I C .1+3i D .321.化簡2+4i(1+i 2的結果是( A .2+iB .-2+IC .2-iD .-2-i22.(2011年高考重慶卷復數i 2+i 3+i 41-i =( A .-12-12i B .-12+12I C.12-12i D.12+12i23.(2011年高考課標全國卷復數2+i1-2i 的共軛復數是( A .-35i B.35i C .-i D .i24.i 是虛數單位,(1+i 1-i 4等于( A .i

11、B .-IC .1D .-125.若復數z 1=1+i ,z 2=3-i ,則z 1·z 2=( A .4+2iB .2+IC .2+2iD .3+i26.設z 的共軛復數是z ,若z +z =4,z ·z =8,則zz 等于( A .iB .-iC .±1D .±i27.(2010年高考浙江卷對任意復數z =x +y i(x ,y R ,i 為虛數單位,則下列結論正確的是( A .|z -z |=2yB .z 2=x 2+y 2C .|z -z |2xD .|z |x |+|y |二、填空題28.在復平面內表示復數z =(m -3+2m i 的點在直線

12、y =x 上,則實數m 的值為_.29.復數z =x +1+(y -2i(x ,y R ,且|z |=3,則點Z (x ,y 的軌跡是_.30.復數z 1=1+2i ,z 2=-2+i ,z 3=-3-2i ,z 4=3-2i ,z 1,z 2,z 3,z 4在復平面內的對應點分別是A ,B ,C ,D ,則ABC +ADC =_.31.復數4+3i 與-2-5i 分別表示向量OA 與OB ,則向量AB 表示的復數是_.32.已知f (z +i=3z -2i ,則f (i=_.33.已知復數z 1=(a 2-2+(a -4i ,z 2=a -(a 2-2i(a R ,且z 1-z 2為純虛數,

13、則a =_.34.(2010年高考上海卷若復數z =1-2i(i 為虛數單位,則z ·z +z =_.35.(2011年高考江蘇卷設復數z 滿足i(z +1=-3+2i(i 為虛數單位,則z 的實部是_.36.已知復數z 滿足|z |=5,且(3-4iz 是純虛數,則z =_.答案一、選擇題1.解析:選A.在中沒有注意到z =a +b i 中未對a ,b 的取值加以限制,故錯誤;在中將虛數的平方與實數的平方等同,如:若z 1=1,z 2=i ,則z 21+z 22=1-1=0,從而由z 21+z 22=0/ z 1=z 2=0,故錯誤;在中若x ,y R ,可推出x =y =2,而此

14、題未限制x ,y R ,故不正確;中忽視0·i =0,故也是錯誤的.故選A.2. 解析:選D.2<2<,sin 2>0,cos2<0. 故z =sin 2+icos 2對應的點在第四象限.故選D.3.解析:選B.|z |=|1-a i|= a 2+1=2,a =±3.而a 是正實數,a = 3.4.解析:選D.a i +i 2=-1+a i =b +i ,故應有a =1,b =-1.5. 解析:選B.z =3+i 2=3-1R ,z 對應的點在實軸上,故選B.6.解析:選A.由1+2i =(a -b +(a +b i 得a -b =1a +b =2,

15、解得a =32,b =12. 7. 解析:選A.復數z 在復平面上對應的點為12,12,該點位于第一象限,復數z 在復平面上對應的點位于第一象限.8.解析:選B.由題意知n 2+(m +2in +2+2i =0,即n 2+mn +2+(2n +2i =0. n 2+mn +2=02n +2=0,解得 m =3n =-1,z =3-i. 9.解析:選D.設z =x +y i(x 、y R ,則x +y i +x 2+y 2=2+i , x +x 2+y 2=2,y =1.解得x =34,y =1. z =34+i. 10.解析:選D.由z +i -3=3-i ,知z =(3-i+(3-i=6-2

16、i.11.解析:選A.(-i +3-(-2+5i=(3+2-(5+1i =5-6i.12.解析:選C.OZ 1+OZ 2對應的復數是5-4i +(-5+4i=(5-5+(-4+4i =0.13. 解析:選D.z 1+z 2=(3-4i+(-2+3i=(3-2+(-4+3i =1-i ,z 1+z 2對應的點為(1,-1,在第四象限.14.解析:選C.設這個復數為z =a +b i(a ,b R ,則z +|z |=5+3i ,即a +a 2+b 2+b i =5+3i , b =3a +a 2+b 2=5,解得 b =3a =115. z =115+3i. 15.解析:選D.先找出z 1-z

17、2,再根據求函數值的方法求解.z 1=3+4i ,z 2=-2-i ,z 1-z 2=(3+2+(4+1i =5+5i.f (z =z ,f (z 1-z 2=z 1-z 2=5+5i.故選D. 16.解析:選D.|z 1-z 2|=|(cos -sin +2i|= (cos -sin 2+4=5-2sin cos =5-sin2 6.17.解析:選C.|z +1|=|z -i|表示以(-1,0、(0,1為端點的線段的垂直平分線,而|z +i|=|z -(-i|表示直線上的點到(0,-1的距離,數形結合知其最小值為22. 18解析:選B.法一:設z =x +y i(x ,y R ,則有|x +

18、y i +2-2i|=1,即|(x +2+(y -2i|=1,所以根據復數模的計算公式,得(x +22+(y -22=1,又|z -2-2i|=|(x -2+(y -2i|=(x -22+(y -22=(x -22+1-(x +22=1-8x .而|x2|1，即3x1，當 x1 時，|z22i|min3. 法二：利用數形結合法 |z22i|1 表示圓心為(2,2，半徑為 1 的圓，而|z22i|z(22i|表示圓上的點與點(2,2的距離，由數形 結合知，其最小值為 3，故選 B. 2 19解析：選 B.因為 i21S，i3i/S， 2i/S，故選 B. i 20解析：選 A.(1z·

19、z (2i· (1i3i. 24i 24i 12i 21解析：選 C. 2i.故選 C. 2i i (1i)2 i2i3i4 1i1 i (i)(1i) 1i 1 1 22解析：選 C. i. 2 2 2 1i 1i 1i (1i)(1i) 2i (2i(12i 2i4i2 2i 23解析：選 C.法一： i， 的共軛復數為i. 5 12i (12i(12i 12i 2i 2i2i i(12i 法二： i， 12i 12i 12i 2i 的共軛復數為i. 12i 1i 4 1i 2 2 2i 2 24解析：選 C.( ( ( 1.故選 C. 1i 1i 2i 25解析：選 A.z11

20、i，z23i， z1· z2(1i(3i33iii232i142i.故選 A. 26解析：選 D.法一：設 zxyi(x，yR，則 z xyi，由 z z 4，z·z 8 得， ìxyixyi4， ìx2 ìx2 ï ï ï í í 2 2 í . ï(xyi)(xyi)8. ï ïy± 2 î îx y 8 î z xyi x2y22xyi ± i. z xyi x2y2 法二：z z 4， 設 z2bi(bR， 又 z·z |z|28，4b28， b24，b± 2， z2± 2i， z 22i， z z ± i. 27解析：選 D. z xyi(x，yR，|z z |xyixyi|2yi|2y|，A 不正確；對于 B，z2x2y22xyi， 故不正確；|z z |2y|2x 不一定成立，C 不正確；對于 D，|z| x2y2|x|y|，故 D 正確 二、填空題 28解析：復數 z