19.9(1)勾股定理

1、LOGOC CB BA A 受臺風麥莎影響，一棵樹在離地面受臺風麥莎影響，一棵樹在離地面4 4米處斷裂，樹的米處斷裂，樹的頂部落在離樹跟底部頂部落在離樹跟底部3 3米處，這棵樹折斷前有多高？米處，這棵樹折斷前有多高？4米米3米米情景引入情景引入這是這是19551955年希臘曾經發(fā)行的年希臘曾經發(fā)行的紀念一位數學家的郵票。紀念一位數學家的郵票。20022002年世界數學家大會會標年世界數學家大會會標在中國古代，人們把彎曲成直角的手臂的上半部分稱為在中國古代，人們把彎曲成直角的手臂的上半部分稱為 勾勾 ，下半部分稱為，下半部分稱為 股股 。我國古代學者把直角三角形。我國古代學者把直角三角形較短的直

2、角邊稱為較短的直角邊稱為“勾勾”，較長的直角邊稱為，較長的直角邊稱為“股股”，斜邊稱為斜邊稱為“弦弦”. .勾勾股股問題1 在直角三角形中，直角邊與斜邊之間有怎樣的大小關系？為什么？?？芍男再|段最短垂線。根據中，在如圖ACAB,90CABCRt10BCA。類似地，可證BCAB定理：在直角三角形中，斜邊大于直角邊。問題2 在直角三角形中，直角邊與斜邊之間有沒有某種等量關系？4 44 48 8A AB BC CS SA A+S+SB B=S=SC CC C圖甲圖甲1.1.觀察圖甲，小方格觀察圖甲，小方格的邊長為的邊長為1.1.正方形正方形A A、B B、C C的的面積各為多少？面積各為多少？正方

3、形正方形A A、B B、C C的的 面積有什么關系？面積有什么關系？A AB BC C C C圖乙圖乙2.2.觀察圖乙，小方格觀察圖乙，小方格的邊長為的邊長為1.1.正方形正方形A A、B B、C C的的面積各為多少？面積各為多少？9 916162525S SA A+S+SB B=S=SC C正方形正方形A A、B B、C C的的 面積有什么關系？面積有什么關系？4 44 48 8A AB BC CS SA A+S+SB B=S=SC C圖甲圖甲A AB BC C圖乙圖乙2.2.觀察圖乙，小方格觀察圖乙，小方格的邊長為的邊長為1.1.9 916162525S SA A+S+SB B=S=SC

4、C正方形正方形A A、B B、C C的的 面積有什么關系？面積有什么關系？4 44 48 8A AB BC CS SA A+S+SB B=S=SC C圖甲圖甲a ab bc ca ab bc cA AB BC CC C圖乙圖乙S SA A+S+SB B=S=SC CS SA A+S+SB B=S=SC C圖甲圖甲a ab bc ca ab bc c3.3.猜想猜想a a、b b、c c 之間的關系？之間的關系？a2 +b2 =c2即：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方a2 +b2 =c2cabcabcabcabcabcabc24ab/2+(b- a)2cabcabcabcab (a+b)

5、2 = c2 + 4ab/2a2+2ab+b2 = c2 +2aba2+b2=c2(a+b)2c2 +4ab/2勾股定理(畢達哥拉斯定理)（gougu theorem） 如果直角三角形兩直角邊如果直角三角形兩直角邊 分別為分別為a， b，斜邊為，斜邊為c， 那么那么即直角三角形兩直角邊的即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方平方和等于斜邊的平方.222cbaac勾勾弦弦b股股 兩千多年前，古希臘有個哥拉兩千多年前，古希臘有個哥拉 斯學派，他們首先發(fā)現了勾股定理，因此斯學派，他們首先發(fā)現了勾股定理，因此在國外人們通常稱勾股定理為畢達哥拉斯在國外人們通常稱勾股定理為畢達哥拉斯年希臘曾經發(fā)行了一

6、枚紀念票。年希臘曾經發(fā)行了一枚紀念票。定理。為了紀念畢達哥拉斯學派，定理。為了紀念畢達哥拉斯學派，1955國家之一。早在三千多年前，國家之一。早在三千多年前，國家之一。早在三千多年前，國家之一。早在三千多年前，國家之一。早在三千多年前，國家之一。早在三千多年前，國家之一。早在三千多年前，國家之一。早在三千多年前，國家之一。早在三千多年前，國家之一。早在三千多年前，國家之一。早在三千多年前，國家之一。早在三千多年前，國家之一。早在三千多年前，國家之一。早在三千多年前，國家之一。早在三千多年前國家之一。早在三千多年前 兩千多年前，古希臘有個畢達哥拉斯兩千多年前，古希臘有個畢達哥拉斯學派，他們首先發(fā)

7、現了勾股定理，因此在學派，他們首先發(fā)現了勾股定理，因此在國外人們通常稱勾股定理為畢達哥拉斯定國外人們通常稱勾股定理為畢達哥拉斯定理。為了紀念畢達哥拉斯學派，理。為了紀念畢達哥拉斯學派，1955年年希臘曾經發(fā)行了一枚紀念郵票。希臘曾經發(fā)行了一枚紀念郵票。 我國是最早了解勾股定理的我國是最早了解勾股定理的國家之一。早在三千多年前，周國家之一。早在三千多年前，周朝數學家商高就提出，將一根直朝數學家商高就提出，將一根直尺折成一個直角，如果勾等于三，尺折成一個直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五勾三、股四、弦五”，它被記，它被記載于我國古代著名的

8、數學著作載于我國古代著名的數學著作周髀算經周髀算經中。中。趙爽，又名嬰，趙爽，又名嬰，字君卿，中國數字君卿，中國數學家。東漢末至學家。東漢末至三國時代吳國人。三國時代吳國人。他是我國歷史上他是我國歷史上著名的數學家與著名的數學家與天文學家。天文學家。cabcab美國第二十任總統伽菲爾德的證法在數學史上被傳為佳話美國第二十任總統伽菲爾德的證法在數學史上被傳為佳話 人們?yōu)榱思o念他對勾股定理直觀、簡捷、易懂、明了的證明，人們?yōu)榱思o念他對勾股定理直觀、簡捷、易懂、明了的證明，就把這一證法稱為就把這一證法稱為“總統總統”證法。證法。 有趣的總統證法有趣的總統證法例例1 1 如圖，在如圖，在RtRtABC

9、ABC中中, ,BC=24,AC=7,BC=24,AC=7,求求ABAB的長。的長。在在RtABC中中, C=90222BCACAB 解：解：B24AC762524722 25 AB如果將題目變?yōu)椋喝绻麑㈩}目變?yōu)椋?在在RtRtABCABC中中, ,AB=25, BC=24,AB=25, BC=24,求求ACAC的長呢？的長呢？2524 例例2 2 已知等邊三角形已知等邊三角形ABCABC的邊長是的邊長是6 6cmcm， (1)(1)求高求高ADAD的長；的長；(2)(2)S SABCABCABCD解：解：(1)(1)ABC是等邊三角形，是等邊三角形，AD是高是高在在RtABD中中, ADB=

10、90222BDABAD cmAD3327936 ADBCSABC 21)2()(39336212cm 321 BCBD如果等邊三角形的邊長為如果等邊三角形的邊長為a，那么面積，那么面積S是多少？（用含是多少？（用含a的代的代數式表示）數式表示）S=243a 例例3 3 如圖，如圖，ACB=ABD=90ACB=ABD=90，CA=CBCA=CB，DAB=30DAB=30，AD=8AD=8，求，求ACAC的長。的長。解：解：ABD=90，DAB=30BD= AD=421在在RtABD中中, ABD=90484822222 BDADAB在在RtABC中，中，CBCACBCAAB 且且,2222421

11、22222 ABCACAAB62 AC又又AD=8ABCD3081. 1.求下列圖中表示邊的未知數求下列圖中表示邊的未知數x x、y y、z z的值的值. .8181144144x xy yz z625625576576144144169169比比一一比比看看看看誰誰算算得得快！快！2.2.求下列直角三角形中未知邊的長求下列直角三角形中未知邊的長: :可用勾股定理建立方程可用勾股定理建立方程.方法小結方法小結:8 8x x171716162020 x x12125 5x x、如圖、如圖, ,一個高一個高3 3 米米, ,寬寬4 4 米的大門米的大門, ,需在相需在相對角的頂點間加一個加固木條對

12、角的頂點間加一個加固木條, ,則木條的長則木條的長為為( )( )米米 米米 米米 米米C、湖的兩端有、湖的兩端有A A、兩點，從與、兩點，從與A A方向成直方向成直角的角的BCBC方向上的點方向上的點C C測得測得CA=130CA=130米米,CB=120,CB=120米米, ,則則ABAB為為( )( )ABC米米 米米 米米 米米130120?A練練習習1.1.在在ABCABC中，中，C=90C=90. .(1)(1)若若a=6a=6，c=10c=10，則，則b=b= ; ;(2)(2)若若a=12a=12，b=9b=9，則，則c=c= ; ;3.3.如圖，在如圖，在ABCABC中，中，

13、C=90C=90，CDCD為斜邊為斜邊ABAB上的高，你可以得上的高，你可以得出哪些與邊有關的結論？出哪些與邊有關的結論？CABDmnh815(3)(3)若若c=25c=25，b=15b=15，則，則a=a= ; ; 202.2.等邊三角形邊長為等邊三角形邊長為1010，求它的高及面積。，求它的高及面積。ba 如圖，在如圖，在ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，D D點在點在CBCB延長線上，延長線上，求證：求證：ADAD2 2-AB-AB2 2=BD=BDCDCDABCD證明：證明：過過A作作AEBC于于EEAB=AC，BE=CE在在Rt ADE中中,AED=90AD2=AE2+DE2在在Rt ABE中中, AE