結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)大作業(yè)(北航)

1、結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)大作業(yè)報(bào)告實(shí)驗(yàn)名稱: 拓?fù)鋬?yōu)化計(jì)算與分析1、引言大型的復(fù)雜結(jié)構(gòu)諸如飛機(jī)、汽車中的復(fù)雜部件及橋梁等大型工程的設(shè)計(jì)問(wèn)題，依靠傳統(tǒng)的經(jīng)驗(yàn)和模擬實(shí)驗(yàn)的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法已難以勝任，拓?fù)鋬?yōu)化方法成為解決該問(wèn)題的關(guān)鍵手段。近年來(lái)拓?fù)鋬?yōu)化的研究的熱點(diǎn)集中在其工程應(yīng)用上，如: 用拓?fù)鋬?yōu)化方法進(jìn)行微型柔性機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)，車門設(shè)計(jì)，飛機(jī)加強(qiáng)框設(shè)計(jì)，機(jī)翼前緣肋設(shè)計(jì)，衛(wèi)星結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)等。在其具體的操作實(shí)現(xiàn)上有兩種方法，一是采用計(jì)算機(jī)語(yǔ)言編程計(jì)算，該方法的優(yōu)點(diǎn)是能最大限度的控制優(yōu)化過(guò)程，改善優(yōu)化過(guò)程中出現(xiàn)的諸如棋盤格現(xiàn)象等數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象，得到較理想的優(yōu)化結(jié)果，其缺點(diǎn)是計(jì)算規(guī)模過(guò)于龐大，計(jì)算效率太低;二是借助于商用有限元軟

2、件平臺(tái)。本文基于matlab軟件編程研究了不同邊界條件平面薄板結(jié)構(gòu)的在各種受力情況下拓?fù)鋬?yōu)化，給出了幾種典型結(jié)構(gòu)的算例，并探討了在實(shí)際優(yōu)化中優(yōu)化效果隨各參數(shù)的變化，有助于初學(xué)者初涉拓?fù)鋬?yōu)化的讀者對(duì)拓?fù)鋬?yōu)化有個(gè)基礎(chǔ)的認(rèn)識(shí)。2、拓?fù)鋬?yōu)化研究現(xiàn)狀 結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化是近20年來(lái)從結(jié)構(gòu)優(yōu)化研究中派生出來(lái)的新分支，它在計(jì)算結(jié)構(gòu)力學(xué)中已經(jīng)被認(rèn)為是最富挑戰(zhàn)性的一類研究工作。目前有關(guān)結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化的工程應(yīng)用研究還很不成熟，在國(guó)外處在發(fā)展的初期，尤其在國(guó)內(nèi)尚屬于起步階段。1904 年Michell在桁架理論中首次提出了拓?fù)鋬?yōu)化的概念。自1964 年Dorn等人提出基結(jié)構(gòu)法，將數(shù)值方法引入拓?fù)鋬?yōu)化領(lǐng)域，拓?fù)鋬?yōu)化研究開(kāi)始活

3、躍。20 世紀(jì)80 年代初，程耿東和N. Olhoff在彈性板的最優(yōu)厚度分布研究中首次將最優(yōu)拓?fù)鋯?wèn)題轉(zhuǎn)化為尺寸優(yōu)化問(wèn)題，他們開(kāi)創(chuàng)性的工作引起了眾多學(xué)者的研究興趣。1988年Bendsoe和Kikuchi發(fā)表的基于均勻化理論的結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)，開(kāi)創(chuàng)了連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)研究的新局面。1993年Xie.Y.M和Steven.G.P 提出了漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化法。1999年Bendsoe和Sigmund證實(shí)了變密度法物理意義的存在性。2002 年羅鷹等提出三角網(wǎng)格進(jìn)化法，該方法在優(yōu)化過(guò)程中實(shí)現(xiàn)了退化和進(jìn)化的統(tǒng)一，提高了優(yōu)化效率。目前常使用的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方法可以分為兩大類：退化法和進(jìn)化法。結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)研

4、究，已被廣泛應(yīng)用于建筑、航天航空、機(jī)械、海洋工程、生物醫(yī)學(xué)及船舶制造等領(lǐng)域。3、拓?fù)鋬?yōu)化建模（SIMP） 結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化目前的主要研究對(duì)象是連續(xù)體結(jié)構(gòu)。優(yōu)化的基本方法是將設(shè)計(jì)區(qū)域劃分為有限單元，依據(jù)一定的算法刪除部分區(qū)域，形成帶孔的連續(xù)體，實(shí)現(xiàn)連續(xù)體的拓?fù)鋬?yōu)化。連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化方法目前比較成熟的是均勻化方法、變密度方法和漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法。變密度法以連續(xù)變量的密度函數(shù)形式顯式地表達(dá)單元相對(duì)密度與材料彈性模量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這種方法基于各向同性材料，不需要引入微結(jié)構(gòu)和附加的均勻化過(guò)程，它以每個(gè)單元的相對(duì)密度作為設(shè)計(jì)變量，人為假定相對(duì)密度和材料彈性模量之間的某種對(duì)應(yīng)關(guān)系，程序?qū)崿F(xiàn)簡(jiǎn)單，計(jì)算效率高。變

5、密度法中常用的插值模型主要有:固體各向同性懲罰微結(jié)構(gòu)模型(solidisotropic microstructures with penalization，簡(jiǎn)稱SIMP)和材料屬性的合理近似模型(rational approximation ofmaterial properties，簡(jiǎn)稱RAMP)。而本文所用即為SIMP插值模型。SIMP法基于最小柔度的優(yōu)化模型如下:設(shè)材料模型為:則拓?fù)鋬?yōu)化模型為:式中： 和 分別是均質(zhì)實(shí)體的密度和彈性矩陣單元的相對(duì)密度懲罰因子和分別是位移矢量、力矢量總體剛度矩陣單位位移矢量單位剛度矩陣單元總數(shù)體積分?jǐn)?shù)優(yōu)化時(shí)以單元的相對(duì)密度為拓?fù)湓O(shè)計(jì)變量，這樣結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)

6、題被轉(zhuǎn)換為材料的最優(yōu)分布問(wèn)題。4、優(yōu)化算法（OC） 目前在拓?fù)鋬?yōu)化中應(yīng)用較多的求解方法主要有: 優(yōu)化準(zhǔn)則法(OCoptimality criteria)和序列線性規(guī)劃法(SL Psequential linear programming)，本文所參考的99行代碼所引用的即為OC法。這一方法是根據(jù)數(shù)學(xué)規(guī)劃理論中的Kuhn2tucker條件導(dǎo)出優(yōu)化準(zhǔn)則，并通過(guò)數(shù)值迭代求解最優(yōu)解。該法收斂速度快，迭代次數(shù)少且與結(jié)構(gòu)大小及復(fù)雜程度關(guān)系不大，缺點(diǎn)是對(duì)于多約束優(yōu)化的處理不太方便。5、數(shù)值算例 這一部分主要通過(guò)若干簡(jiǎn)單的算例來(lái)研究各個(gè)輸入?yún)?shù)、載荷施加方式以及邊界約束條件對(duì)拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果的影響，進(jìn)而對(duì)拓?fù)鋬?yōu)化

7、問(wèn)題加深理解和認(rèn)識(shí)。受力模型采用長(zhǎng)寬比為6:2的外伸梁，在梁的上表面施加豎直向下的均布載荷。模型如下圖所示：圖5-16、影響因素分析 6.1 nelx和nely 對(duì)結(jié)果的影響先設(shè)置體積分?jǐn)?shù)volfrac=0.5，懲罰因子為penal=3.過(guò)濾半徑rmin=1.2，不斷變化劃分單元數(shù)，尋求劃分單元數(shù)對(duì)于優(yōu)化結(jié)果的影響。nelx*nely =60×20nelx*nely =84×28nelx*nely =120×40圖6-1由圖6-1可以看出，隨著劃分單元數(shù)的增多，圖像的細(xì)節(jié)越加清晰。圖像所顯示的鋸齒現(xiàn)象有所緩解。雖然拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果有一些局部的改變，總體的趨勢(shì)還是一致的

8、。采用更多的網(wǎng)格劃分密度，可以得到更加清晰的優(yōu)化結(jié)果，但是拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果中過(guò)多的孔洞使結(jié)果集合復(fù)雜性增加，結(jié)構(gòu)的制造成本提高，制造難度加大，并且降低了結(jié)構(gòu)的局部強(qiáng)度和剛度。所以，從實(shí)際應(yīng)用的角度出發(fā)，需要限制結(jié)構(gòu)的集合復(fù)雜性，來(lái)抑制拓?fù)鋬?yōu)化算法的網(wǎng)格依賴性。6.2材料體積保留分?jǐn)?shù)volfrac的影響設(shè)置劃分單元為60*20，懲罰因子為penal=3.過(guò)濾半徑rmin=1.2;不斷變化體積分?jǐn)?shù)，尋求體積分?jǐn)?shù)對(duì)于優(yōu)化結(jié)果的影響。volfrac=0.3volfrac =0.5volfrac =0.7圖6-2由圖6-2的優(yōu)化結(jié)果可以看出，隨著體積保留分?jǐn)?shù)的增大，優(yōu)化結(jié)果中保留的材料也逐漸增多。這說(shuō)明在基

9、本的傳力路線的基礎(chǔ)上增加了一些額外的材料。另一方面，體積分?jǐn)?shù)越小，可能造成改變結(jié)構(gòu)傳力的路線，導(dǎo)致迭代多次收斂速度較慢。6.3懲罰因子P對(duì)結(jié)果的影響設(shè)置劃分單元為60*20，體積分?jǐn)?shù)volfrac=0.5，過(guò)濾半徑rmin=1.2;不斷變化懲罰因子，尋求懲罰因子對(duì)于優(yōu)化結(jié)果的影響。P=1.5P=2.5P=3.圖6-3由優(yōu)化結(jié)果圖6-3可以看到：隨著懲罰因子取值的增大，呈現(xiàn)出的拓?fù)浣Y(jié)果呈現(xiàn)日趨清晰的趨勢(shì)，這是因?yàn)樵赟IMP材料插值模型中，參數(shù)p較小時(shí)，對(duì)中間密度的懲罰程度較小，或者說(shuō)懲罰效果不夠明顯，因此呈現(xiàn)的結(jié)果會(huì)有模糊的灰色區(qū)域。隨著參數(shù)p取值增大，對(duì)中間密度的懲罰程度也越大，單元等效彈性模

10、量逼近0或者Emax的趨勢(shì)也更明顯，因此，優(yōu)化結(jié)果也愈加清晰。另一方面，取值越大，迭代次數(shù)也越多，計(jì)算量增大，可能導(dǎo)致無(wú)限循環(huán)（例如，在該算例中，取p=3.5時(shí)，程序?qū)?huì)進(jìn)入無(wú)限循環(huán)導(dǎo)致無(wú)解）。從總體的優(yōu)化趨勢(shì)來(lái)看，各個(gè)取值情況下的優(yōu)化結(jié)構(gòu)大致相似。因此，在實(shí)際的拓?fù)鋬?yōu)化中，要注意選擇適宜的懲罰因子，達(dá)到平衡迭代時(shí)間和較優(yōu)的優(yōu)化效果。 6.4過(guò)濾半徑rmin對(duì)拓?fù)浣Y(jié)果的影響 設(shè)置劃分單元為60*20，體積分?jǐn)?shù)volfrac=0.5，懲罰因子為penal=3.不斷變化過(guò)濾半徑，尋求過(guò)濾半徑對(duì)于優(yōu)化結(jié)果的影響。rmin=0.8rmin=1.2rmin=1.6圖6-4網(wǎng)格過(guò)濾半徑rmin的選取如果小

11、于1的話，被過(guò)濾的目標(biāo)函數(shù)變化率將會(huì)和原始的變化率相等，使得過(guò)濾無(wú)效。在結(jié)果上表現(xiàn)出來(lái)的是棋盤格現(xiàn)象如圖6-4中rmin=0.8所示，這在工程上不可能實(shí)現(xiàn)的，對(duì)工程實(shí)踐是沒(méi)有意義的。從上面的優(yōu)化結(jié)果分析，隨著rmin取值的增大，過(guò)濾效果隨著其增大而增強(qiáng)，在局部出現(xiàn)模糊的灰色區(qū)域。在實(shí)際的操作中，要綜合考慮結(jié)果的精度要求以及迭代時(shí)間因素來(lái)確定合理的過(guò)濾半徑。6.5邊界約束條件和加載方式對(duì)拓?fù)浣Y(jié)果的影響 6.5.1兩端固支的梁模型如下圖所示，梁上面受到均布載荷的作用設(shè)置輸入為top（60，20，0.5，3，1.2）可得到優(yōu)化結(jié)果為：6.5.2兩端鉸支的梁在兩端鉸支的梁的1/3和2/3處分別開(kāi)了兩個(gè)

12、圓孔，在梁的中間施加豎直向下的單位力。所得到的優(yōu)化結(jié)果為6.5.3多重載荷情況如下圖所示，模型為懸臂梁，在中間開(kāi)了一個(gè)圓孔，分別在梁的右端上下各施加了一單位力。所得到的優(yōu)化結(jié)果如下圖所示：7、拓展應(yīng)用 7.1橋梁普通的橋梁可以簡(jiǎn)化為兩端鉸支的梁，梁的上方受到均布載荷，所簡(jiǎn)化的結(jié)構(gòu)如下圖所示：采用拓?fù)鋬?yōu)化進(jìn)行運(yùn)算之后得到的結(jié)果如下圖所示：上圖為現(xiàn)實(shí)中的趙州橋，對(duì)比兩幅圖可以發(fā)現(xiàn)，拓?fù)鋬?yōu)化的結(jié)果與工程上的橋梁完全的吻合。7.2外伸梁在生活中有很多結(jié)構(gòu)可以簡(jiǎn)化成一個(gè)對(duì)稱的外伸梁，梁上受到均布載荷。進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化可以得到優(yōu)化結(jié)果：而下圖的乒乓球臺(tái)采用的就是類似的結(jié)構(gòu)，而生活中還有很多物體比如雙杠和車棚都

13、可以采用此結(jié)構(gòu)。8.總結(jié)與心得研究分析了程序輸入?yún)?shù)nelx，nely，volfrac，p，rmin對(duì)優(yōu)化結(jié)果的影響，通過(guò)改變加載矩陣F和邊界約束條件，實(shí)現(xiàn)了對(duì)不同加載方式和不同邊界約束下的簡(jiǎn)單結(jié)構(gòu)靜力學(xué)問(wèn)題的優(yōu)化。結(jié)果看到，輸入?yún)?shù)的變化對(duì)優(yōu)化結(jié)果影響顯著，但是不同的輸入?yún)?shù)變化對(duì)結(jié)果影響也不同。在實(shí)際的應(yīng)用中應(yīng)綜合考慮，選取適宜的優(yōu)化參數(shù)。通過(guò)對(duì) A 99 line topology optimization code written in Matlab 一文的學(xué)習(xí)，一方面對(duì)拓?fù)鋬?yōu)化的理論原理以及實(shí)際的計(jì)算機(jī)方法實(shí)現(xiàn)都有了一定的認(rèn)識(shí)，了解了拓?fù)鋬?yōu)化的一般步驟，拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題中的理論基礎(chǔ)等。通過(guò)對(duì)99行程序的學(xué)習(xí)，結(jié)合實(shí)際的上機(jī)操作，得到了一些簡(jiǎn)單的結(jié)構(gòu)問(wèn)題的拓?fù)鋬?yōu)化求解結(jié)果，并且分析對(duì)比了該程序主要輸入?yún)?shù)的變化對(duì)拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果的影響。另一方面，由于文章僅是用于教