高考題型專題沖刺精講數(shù)學(xué)專題六數(shù)列教師版

1、2011年高考題型專題沖刺精講（數(shù)學(xué)）專題六 數(shù)列【命題特點】數(shù)列是高考考查的重點和熱點，分析2010年高考試題，從分值來看，數(shù)列部分約占總分的10%左右。等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式、求和公式的應(yīng)用以及等差、等比數(shù)列的基本性質(zhì)一直是高考的重點內(nèi)容，也會是今年高考的重點對數(shù)列部分的考查一方面以小題考查數(shù)列的基本知識；另一方面以解答題形式考查等差、等比數(shù)列的概念、通項公式以及前 項和公式解答題作為壓軸題的可能性較大，與不等式、數(shù)學(xué)歸納法、函數(shù)等一起綜合考查學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識進行歸納、總結(jié)、推理、論證、運算等能力以及分析問題、解決問題的能力近年來，解析幾何題一般不再作為壓軸題，而最后一道難度最大的壓

2、軸題可能是數(shù)列和不等式，函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式綜合考查的題目，導(dǎo)數(shù)和向量已成為出題重點，探索性問題必將融入大題中。高考數(shù)列壓軸題綜合考查等價變換、抽象概括、歸納推理、猜想證明等能力。立意新穎，是整份試卷中的“亮點”。 復(fù)習(xí)建議1“巧用性質(zhì)、減少運算量”在等差、等比數(shù)列的計算中非常重要，但用“基本量法”并樹立“目標意識”，“需要什么，就求什么”，既要充分合理地運用條件，又要時刻注意題的目標，往往能取得與“巧用性質(zhì)”解題相同的效果。2歸納猜想證明體現(xiàn)由具體到抽象，由特殊到一般，由有限到無限的辯證思想學(xué)習(xí)這部分知識，對培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，計算能力，熟悉歸納、演繹的論證方法，提高分析、綜合、抽象、概括

3、等思維能力，都有重大意義。3解答數(shù)列與函數(shù)的綜合問題要善于綜合運用函數(shù)方程思想、化歸轉(zhuǎn)化思想等數(shù)學(xué)思想以及特例分析法，一般遞推法，數(shù)列求和及求通項等方法來分析、解決問題。4數(shù)列與解析幾何的綜合問題解決的策略往往是把綜合問題分解成幾部分，先利用解析幾何的知識以及數(shù)形結(jié)合得到數(shù)列的通項公式，然后再利用數(shù)列知識和方法求解。【試題常見設(shè)計形式】有關(guān)數(shù)列題的命題趨勢：1. 數(shù)列中與的關(guān)系一直是高考的熱點，求數(shù)列的通項公式是最為常見的題目，要切實注意 與的關(guān)系。從近兩年各地高考試題來看，加大了對“遞推公式”的考查。 2. 探索性問題在數(shù)列中考查較多，試題沒有給出結(jié)論，需要考生猜出或自己找出結(jié)論，然后給以證

4、明.探索性問題對分析問題解決問題的能力有較高的要求。3. 等差、等比數(shù)列的基本知識必考。這類考題既有選擇題，填空題，又有解答題；有容易題、中等題，也有難題。4. 求和問題也是常見的試題，等差數(shù)列、等比數(shù)列及可以轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列求和問題應(yīng)掌握，還應(yīng)該掌握一些特殊數(shù)列的求和。5有關(guān)數(shù)列與函數(shù)、數(shù)列與不等式、數(shù)列與解析幾何等問題既是考查的重點，也是考查的難點?！就黄品椒记伞恐攸c知識1.使用等比數(shù)列的求和公式，要考慮公比與兩種情況，切忌直接用2.利用與的關(guān)系：求解，注意對首項的驗證。3.數(shù)列求解通項公式的方法：A.等差等比（求解連續(xù)項的差或商，比例出現(xiàn)字母的注意討論）B. 利用與的關(guān)系：C.歸納

5、-猜想-證明法D.可以轉(zhuǎn)化為等差和等比的數(shù)列（一般大多題有提示，會變成證明題）（1）；令；（2）； “”（兩邊除以）或“.（3）；（4）. 令E. 應(yīng)用迭加（迭乘、迭代）法求數(shù)列的通項：；F.對于分式，取倒數(shù)，數(shù)列的倒數(shù)有可能構(gòu)成等差數(shù)列（對于分式形式的遞推關(guān)系）G給定的，形式的，可以結(jié)合，寫成關(guān)于的關(guān)系式，也可以寫成關(guān)于的關(guān)系式，關(guān)鍵就是那個關(guān)系式比較容易的求解出結(jié)果來4.數(shù)列求和公式法；性質(zhì)法；拆項分組法；裂項相消法；錯位相減法；倒序相加法.或轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列和等比數(shù)列利用公式求解；求解參數(shù)的式子中有結(jié)構(gòu)的，注意對n是偶數(shù)與奇數(shù)的討論，往往分開奇數(shù)與偶數(shù)，式子將會變的簡單5.不等式證明： （

6、1）證明數(shù)列，可以利用函數(shù)的單調(diào)性，或是放縮（2）證明連續(xù)和，若是有，形式的，每一項放縮成可以裂項相削形式（）或者（）或者是（）（注意證明式子與對應(yīng)項的大小關(guān)系）；或者是變形成等差或是等比數(shù)列求和（3）證明連續(xù)積，若有，的形式，每一項適當?shù)姆趴s，變形成迭乘相削形式，或者錯位相乘（）或者（）（4）利用函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)賦值的方法構(gòu)造（5）最后就是：若是上述形式失敗，用數(shù)學(xué)歸納法（6）比較法（7）放縮通常有化歸等比數(shù)列和可裂項的形式（8）對于證明存在問題、唯一問題、大小問題等有時可以嘗試反證法 數(shù)列問題以其多變的形式和靈活的解題方法倍受高考考試命題者的青睞，歷年來都是高考命題的“熱點”。對應(yīng)試考生

7、來說，數(shù)列既是重點，又是難點。近年來，高考中數(shù)列問題已逐步轉(zhuǎn)向多元化，命題中含有復(fù)合數(shù)列形式的屢見不鮮，從而，這類問題成為學(xué)生應(yīng)試的新難點。本文試圖探索這類問題的求解方法和技巧。1、通項探求型該類題型一般轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列或常見的簡單的遞推數(shù)列來實現(xiàn)求解，求解過程直接化，求解技巧模式化。2、大小比較型比較兩個數(shù)列的大小關(guān)系型問題，一般利用比差法和比商法來達到目的，借助于數(shù)的正負性質(zhì)來判斷，從而獲解。3、兩個數(shù)列的子數(shù)列性質(zhì)型探索兩個數(shù)列公共項的有關(guān)性質(zhì)，公共項構(gòu)成的數(shù)列是兩個數(shù)列的子數(shù)列，所以，抓住它們的通項是解題的關(guān)鍵。4、存在性探索型該類問題一般是先設(shè)后證，然后反推探索，若滿足題設(shè)則存在

8、，若不合題意或矛盾，則不存在，它是探索性命題中的一種極為典型的命題形式。5、參數(shù)范圍型在復(fù)合數(shù)列問題中再引入?yún)?shù)，難度更大，探索參數(shù)的取值范圍對考生來說是一個難點，這類問題主要是建立目標函數(shù)或目標不等式，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)量值和求解不等式?！镜湫屠}分析】數(shù)列的綜合題難度都很大，甚至很多都是試卷的壓軸題，它不僅考查函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論等重要思想，還涉及了配方法、換元法、待定系數(shù)法、放縮法等基本數(shù)學(xué)方法.其中的高考熱點探索性問題也出現(xiàn)在近年高考的數(shù)列解答題中.考點一：等差、等比數(shù)列的概念與性質(zhì)【例1】已知數(shù)列的首項（a是常數(shù)，且），（），數(shù)列的首項，（）。 （1）證明：從第2項起是以2為公

9、比的等比數(shù)列；（2）設(shè)為數(shù)列的前n項和，且是等比數(shù)列，求實數(shù)的值；（3）當a>0時，求數(shù)列的最小項。當n2時，是等比數(shù)列, (n2)是常數(shù)，3a+4=0，即 。（3）由（1）知當時，所以，所以數(shù)列為2a+1，4a，8a-1，16a，32a+7，顯然最小項是前三項中的一項。當時，最小項為8a-1； 當時，最小項為4a或8a-1；當時，最小項為4a； 當時，最小項為4a或2a+1；當時，最小項為2a+1。點評：本題考查了用定義證明等比數(shù)列，分類討論的數(shù)學(xué)思想，有一定的綜合性?！纠?】已知數(shù)列中，（）求的通項公式；（）若數(shù)列中，證明：，也就是說，當時，結(jié)論成立根據(jù)（）和（）知，【點評】 本題考

10、查等差、等比數(shù)列的基本運算和錯位相減法求和的技巧以及方程意識在解題中的作用.屬于中檔題，是高考中常見類型.在數(shù)列求和中常見的方法有公式法、分組法、錯位相減法、裂項相消法、倒序相加法等，方法的選擇由數(shù)列通項公式的特點來決定.考點二：求數(shù)列的通項與求和【例3】2010寧夏、設(shè)數(shù)列滿足（）求數(shù)列的通項公式；（）令，求數(shù)列的前n項和解：（）由已知，當n1時，。而 所以數(shù)列的通項公式為。（）由知從而 -得 。即【例4】2010山東、已知等差數(shù)列滿足：，的前n項和為（）求及；（）令bn=(nN*)，求數(shù)列的前n項和【解析】（）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，因為，所以有，解得，所以；=。（）由（）知，所以bn=，所

11、以=，即數(shù)列的前n項和=。【命題意圖】本題考查等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式的應(yīng)用、裂項法求數(shù)列的和，熟練數(shù)列的基礎(chǔ)知識是解答好本類題目的關(guān)鍵。考點三：數(shù)列與不等式的聯(lián)系【例5】2010大綱全國I、已知數(shù)列中， .（）設(shè)，求數(shù)列的通項公式；（）求使不等式成立的的取值范圍 .【命題意圖】本小題主要考查數(shù)列的通項公式、等比數(shù)列的定義、遞推數(shù)列、不等式等基礎(chǔ)知識和基本技能，同時考查分析、歸納、探究和推理論證問題的能力,在解題過程中也滲透了對函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想的考查.（）用數(shù)學(xué)歸納法證明：當時.（）當時，命題成立；【點評】 考查數(shù)列的相關(guān)知識，具有一定難度，與不等式的證明相結(jié)合，帶有一定

12、的技巧性.【例6】2010.重慶、 在數(shù)列中，（），其中實數(shù).（）求的通項公式；（）若對一切有，求的取值范圍.【命題意圖】本題主要考查數(shù)列的定義、數(shù)列通項公式、數(shù)學(xué)歸納法、不等式的解法以及方程和函數(shù)思想.本題的實質(zhì)是：已知遞推公式（，為常數(shù)）求通項公式.【解析】（）解法一：由，猜測.下用數(shù)學(xué)歸納法證明.當時，等式成立；假設(shè)當時，等式成立，即，則當時，綜上， 對任何都成立.解法二：由原式得.令，則，因此對有，因此，. 又當時上式成立.因此.（）解法一：由，得，解法二：由，得，因，所以對恒成立.記，下分三種情況討論.（）當即或時，代入驗證可知只有滿足要求.（）當時，拋物線開口向下，因此當正整數(shù)充分

13、大時，不符合題意，此時無解.（）當即或時，拋物線開口向上，其對稱軸必在直線的左邊. 因此，在上是增函數(shù).所以要使對恒成立，只需即可.由解得或.結(jié)合或得或.綜合以上三種情況，的取值范圍為.點評：本題是數(shù)列、超越函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的學(xué)歸納法的知識交匯題，屬于難題，復(fù)習(xí)時應(yīng)引起注意?？键c四：數(shù)列與函數(shù)、向量等的聯(lián)系【例7】2010 湖南、數(shù)列中，是函數(shù)的極小值點.（）當a=0時，求通項；（）是否存在a，使數(shù)列是等比數(shù)列？若存在，求a的取值范圍；若不存在，請說明理由.解：易知=令，得，.（1）若，則當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增.故在時取得極小值.（2）若，仿（1）可得，在時取得極小值.（3）

14、若，則，無極值.（）當a=0時，則，由（1）知，.因，則由（1）知，.因為，則由（2）知，.又因為，則由（2）知，.由此猜測：當n3時，.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當n3時，.事實上，當n=3時，由前面的討論知結(jié)論成立.假設(shè)當n=k（k3）時，成立，則由（2）知，從而=>0.所以.故當n3時，成立.于是由（2）知，當n3時，而，因此.綜上所述，當a=0時，（n3）.（）存在a，使數(shù)列是等比數(shù)列.事實上，由（2）知，對任意的n，都有，則.即數(shù)列是首項為a公比為3的等比數(shù)列，且.而要使，即對一切都成立，只需對一切都成立.記，則，.令，則<.因此，當x2時，從而函數(shù)在上為單調(diào)遞減.故當n2時

15、，數(shù)列單調(diào)遞減，即數(shù)列中最大的項為.于是當時，必有.這說明，當時，數(shù)列是等比數(shù)列.當時，可得，.而=，由（3）知無極值，不合題意.當時，可得，數(shù)列不是等比數(shù)列.當時，可得，由（3）知無極值，不合題意.當時，可得，數(shù)列不是等比數(shù)列.綜上所述，存在a，使數(shù)列是等比數(shù)列，且a的取值范圍為.【例8】已知數(shù)列中，（1）求；（2）求數(shù)列的通項； （3）設(shè)數(shù)列滿足，求證：分析：條件中有類似于前n項和的形式出現(xiàn)，提示我們應(yīng)該考慮anSnSn1(n2)因此：所以 ， 所以 點評：與數(shù)列相關(guān)的不等式證明通常需要“放縮”，而放縮的“度”尤為關(guān)鍵，本題中 ， 這種拆分方法是數(shù)學(xué)中較高要求的變形.考點五：數(shù)列與解析幾何

16、的聯(lián)系【例9】2010 安徽、設(shè),是坐標平面上的一列圓，它們的圓心都在軸的正半軸上，且都與直線相切，對每一個正整數(shù),圓都與圓相互外切，以表示的半徑，已知為遞增數(shù)列.()證明：為等比數(shù)列；()設(shè)，求數(shù)列的前項和.本題考查等比數(shù)列的基本知識，利用錯位相減法求和等基本方法，考查抽象能力以及推理論證能力.解：()將直線的傾斜角記為，則有，.設(shè)的圓心為，則由題意知，得；同理.從而，將代入，解得.故為公比等比數(shù)列.()由于，故，從而，記，則有， -，得.【例10】2010廣東、已知曲線點是曲線上的點（）（1）試寫出曲線在點處的切線的方程，并求出與軸的交點的坐標；（2）若原點到的距離與線段的長度之比取得最大

17、值，試求點的坐標；（3）設(shè)與為兩個給定的不同的正整數(shù)，與是滿足（2）中條件的點的坐標證明：【命題意圖】考查拋物線、切線方程、不等式、點到直線的距離和導(dǎo)數(shù)等知識，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及運算求解能力和數(shù)學(xué)探究能力【解析】：（1），曲線過點的切線的方程為，即令，得，點的坐標為（2）原點到的距離為，即時，取得最大值故所求點的坐標為（3）由（2）知，于是現(xiàn)證明，故問題得證【突破訓(xùn)練】1、重慶文、已知是首項為19，公差為-2的等差數(shù)列，為的前項和.（）求通項及；（）設(shè)是首項為1，公比為3的等比數(shù)列，求數(shù)列的通項公式及其前項和.【解析】（）因為是首項為，公差為的等差數(shù)列，所以，（）由題意得所以則

18、2、全國I文、記等差數(shù)列的前項和為，設(shè)，且成等比數(shù)列，求.解析 設(shè)數(shù)列的公差為，依題設(shè)有即解得或故或3、課標全國、設(shè)等差數(shù)列滿足，。（）求的通項公式； （）求的前項和及使得最大的序號的值?！窘馕觥浚海?）由= a1 +（n-1）d及a1=5，=-9得解得數(shù)列的通項公式為an=11-2n。 (2)由(1) 知=na1+d=10n-n2因為=-(n-5)2+25. 所以n=5時，取得最大值。 4、北京文、已知為等差數(shù)列，且，。（）求的通項公式；（）若等差數(shù)列滿足，求的前n項和公式解：（）設(shè)等差數(shù)列的公差。因為 所以解得所以（）設(shè)等比數(shù)列的公比為 因為所以 即=3所以的前項和公式為5、山東文、 已知

19、等差數(shù)列滿足：，.的前n項和為. （）求及；（）令（）,求數(shù)列的前n項和.【命題意圖】本題考查等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式的應(yīng)用、裂項法求數(shù)列的和，熟練數(shù)列的基礎(chǔ)知識是解答好本類題目的關(guān)鍵?！窘馕觥浚ǎ┰O(shè)等差數(shù)列的公差為d，因為，所以有，解得，所以；=。（）由（）知，所以bn=，所以=，即數(shù)列的前n項和=。6、福建文、數(shù)列 中，前n項和滿足-（n） ( I ) 求數(shù)列的通項公式以及前n項和；（II）若S1, t ( S1+S2 ), 3( S2+S3 ) 成等差數(shù)列，求實數(shù)t的值。本小題主要考查數(shù)列、等差數(shù)列、等比數(shù)列等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想.滿分1

20、2分.解：()由S n+1 S n =（）n + 1得 (nN *)；又，故(nN *)從而(nN *).()由()可得，.從而由S 1，t（S 1+ S 2），3（S 2+ S 3）成等差數(shù)列可得：，解得t=2.7、2010四川文、已知等差數(shù)列的前3項和為6，前8項和為-4。（）求數(shù)列的通項公式；（）設(shè)，求數(shù)列的前n項和解：(1)設(shè)an的公差為d由已知得解得a13,d1故an3(n1)(1)4n5分(2)由(1)的解答得，bnn·qn1，于是Sn1·q02·q13·q2(n1)·qn1n·qn.若q1，將上式兩邊同乘以q，得qSn1

21、·q12·q23·q3(n1)·qnn·qn1.將上面兩式相減得到(q1)Snnqn(1qq2qn1)wnqn于是Sn若q1，則Sn123n所以，Sn12分8、2010江西文、正實數(shù)數(shù)列中,且成等差數(shù)列.(1) 證明數(shù)列中有無窮多項為無理數(shù)；(2)當為何值時，為整數(shù)，并求出使的所有整數(shù)項的和.【解析】考查等差數(shù)列及數(shù)列分組求和知識證明：（1）由已知有：，從而，方法一：取，則（）用反證法證明這些都是無理數(shù).假設(shè)為有理數(shù)，則必為正整數(shù)，且，故.,與矛盾，所以（）都是無理數(shù)，即數(shù)列中有無窮多項為無理數(shù);方法二：因為，當?shù)哪┪粩?shù)字是時，的末位數(shù)字是和，

22、它不是整數(shù)的平方，也不是既約分數(shù)的平方，故此時不是有理數(shù)，因這種有無窮多，故這種無理項也有無窮多(2) 要使為整數(shù)，由可知：同為偶數(shù)，且其中一個必為3的倍數(shù)，所以有或當時，有（）又必為偶數(shù)，所以（）滿足即（）時，為整數(shù)；同理有（）也滿足，即（）時，為整數(shù)；顯然和（）是數(shù)列中的不同項；所以當（）和（）時，為整數(shù)；由（）有，由（）有.設(shè)中滿足的所有整數(shù)項的和為，則9、2010陜西、已知是公差不為零的等差數(shù)列, 成等比數(shù)列.求數(shù)列的通項; 求數(shù)列的前n項和解由題設(shè)知公差由成等比數(shù)列得解得(舍去)故的通項,由等比數(shù)列前n項和公式得10、2010湖北、已知數(shù)列滿足: , , ；數(shù)列滿足： =-（n1）.

23、()求數(shù)列，的通項公式;()證明:數(shù)列中的任意三項不可能成等差數(shù)列.本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列等基礎(chǔ)知識以及反證法，同時考查推理論證能力。（滿分13分）解：（）由題意知，令 則又， 則數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，即故又 ，故（）假設(shè)數(shù)列中的存在三項（）按某種順序成等差數(shù)列.，由于數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，于是有，則只可能有成立。兩邊同乘，化簡得由于，所以上式左邊為偶數(shù)，右邊為奇數(shù)，故上式不能成立，導(dǎo)致矛盾。故數(shù)列中的任意三項不可能成等差數(shù)列11、2010浙江文、設(shè)a1，d為實數(shù)，首項為a1，公差為d的等差數(shù)an的前n項和為，滿足150.（）若S55.求及a1;（）求d的取值范圍

24、.【解析】()解：由題意知=-3,= =-8所以,解得a1=7所以=-3,a1=7()解：因為+15=0,所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,即2a12+9da1+10d2+1=0.故(4a1+9d)2=d2-8. 所以d28.故d的取值范圍為d-2或d2.【命題意圖】本題主要考查等差數(shù)列概念、求和公式等基礎(chǔ)知識，同時考查運算求解能力及分析問題解決問題的能力.12、2010陜西文、已知an是公差不為零的等差數(shù)列，a11，且a1，a3，a9成等比數(shù)列.（）求數(shù)列an的通項;（）求數(shù)列2an的前n項和Sn.解（）由題設(shè)知公差d0，由a11，a1，a3，a9成等比數(shù)列得，解得d1，d

25、0（舍去）， 故an的通項an1+（n1）×1n. ()由（）知=2n，由等比數(shù)列前n項和公式得Sm=2+22+23+2n=2n+1-2.13、2010上海市文、已知數(shù)列的前項和為，且，(1)證明：是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項公式，并求出使得成立的最小正整數(shù).【命題意圖】本題主要考查等比數(shù)列的定義、數(shù)列求和公式、不等式的解法以及方程和函數(shù)思想.本題的實質(zhì)是：已知遞推公式（，為常數(shù)）求通項公式.【解析】（1）由已知得，當時，14、2010天津文、在數(shù)列中，=0，且對任意k，成等差數(shù)列，其公差為2k.（）證明成等比數(shù)列；（）求數(shù)列的通項公式；（）記，證明.【命題意圖】本小題主要考查等差數(shù)列的定義及前n項和公式、等比數(shù)列的定義、數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識，考查運算能力、推理論證能力、綜合分析和解決問題的能力及分類討論的思想方法?！窘馕觥浚↖）證明：由題設(shè)可知，。從而，所以，成等比數(shù)列。（II）解：由題設(shè)