極坐標(biāo)與參數(shù)方程知識(shí)點(diǎn)總結(jié)大全

1、極坐標(biāo)與參數(shù)方程一、參數(shù)方程1.參數(shù)方程的概念般地，在平面直角坐標(biāo)系 中，如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)X、y都是某個(gè)變數(shù)t的函X = f數(shù)，即（t）并且對(duì)于t每一個(gè)允許值，由方程組所確定的點(diǎn)M （x, y）都在這條曲線上（即曲線上的點(diǎn)在方程上，方程的解都在曲線上），那么方程組就叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系x、yZ間關(guān)系的變數(shù)叫做參變數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)參數(shù).相對(duì)于參數(shù)方程而言，直接給出點(diǎn)的坐標(biāo)間關(guān)系的方程叫做 普通方程.2.參數(shù)方程和普通方程的互化曲線的參數(shù)方程和普通方程是曲線方程的不同形式 數(shù)而從參數(shù)方程得到普通方程.練習(xí)x = 1卜2t二2/為參數(shù)），則直線的斜率為B.注：普通方程化為參數(shù)方程，參數(shù)方程的

2、形式不一定唯一（由上面練習(xí)（1、3可知）。應(yīng)用參數(shù)方程解軌跡問(wèn)題，關(guān)鍵在于適當(dāng)?shù)卦O(shè)參數(shù)，如果選用的參數(shù) 不同，那么所求得的曲線的參數(shù)方程的形式也不同。般地可以通過(guò)消去參1若直線的參數(shù)方程為x = sin2.下列在曲線x2 -（為參數(shù)）上的點(diǎn)是/ 3 1、B.(-；,;)4 2C.(2, -3)D. (1,3)lx二2亠sin2：A. y=x2 B . y=x 2 c . y=x2 (2二x=3)D. y二x 2 (0乞y豈1)3.圓的參數(shù)方程如圖所示，設(shè)圓0的半徑為，點(diǎn)肋從初始位置出發(fā)，按逆時(shí)針?lè)较蛟趫A0上作 勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)極憶加，貝U這就是圓心在原點(diǎn)（），半徑為的圓的參數(shù)方程，其中0的幾何

3、意義是 轉(zhuǎn)過(guò)的 角度（稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)角）。圓心為（口），半徑為 的圓的普通方程是（口屏“丿冷/：心：（詼細(xì)它的參數(shù)方程為：力。4.橢圓的參數(shù)方程以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心，焦點(diǎn)在丄軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:學(xué)&訥參期a滬其參數(shù)方程為L(zhǎng)J7,其中參數(shù)卩稱(chēng)為離心與=1（甌艮角；焦點(diǎn)在I軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是其參數(shù)方程為嚴(yán)礙緞?dòng)X參飆y=a其中參數(shù)爺仍為離心角，通常規(guī)定參數(shù)爺?shù)姆秶鸀闋?zhēng)0,2兀）。注：橢圓的參數(shù)方程中，參數(shù)的幾何意義為橢圓上任一點(diǎn)的離心角，要把 它和這一點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)角&區(qū)分開(kāi)來(lái)，除了在四個(gè)頂點(diǎn)處，離心角和旋轉(zhuǎn)角數(shù)值可相 等外（即在。到加的范圍內(nèi)），在其他任何一點(diǎn)，兩個(gè)角的數(shù)值都不相等。但0a

4、-0poOK數(shù)方程為3x焦點(diǎn)在:軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是產(chǎn)：f參勅其參數(shù)方程為IS二旳+血皿砂參數(shù)）。點(diǎn)，直線向上的方向?yàn)檎较虻臄?shù)軸上的點(diǎn)M的坐標(biāo)，其單位長(zhǎng)度與原直角坐標(biāo)系 中的單位長(zhǎng)度相同。北京高考近幾年真題（2014年北京3題5分）曲線-cos日（日為參數(shù)）的對(duì)稱(chēng)中心（）y =2 +si nTA在直線y=2x上B.在直線y = 2x上C.在直線y =xT上D.在直線y = x 1 （2012年北京9題5分）直線滬t （t為參數(shù)）與曲線卜二_1 _t的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi) （2014年北京3題5分）答案：B（2012年北京9題5分）答案:2二、極坐標(biāo)方程1.極坐標(biāo)系的概念（1）極坐標(biāo)系極坐標(biāo)系有四

5、個(gè)要素：極點(diǎn)；極軸；長(zhǎng)度單位；角度單位及它的方向.MRS如圖所示，在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)，叫做極點(diǎn)，自極點(diǎn)引一條射線Or,叫做極軸；再選定一個(gè)長(zhǎng)度單位，一個(gè)角度單位（通常取弧度）及其正 方向（通常取逆時(shí)針?lè)较颍?，這樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系.x=3co5（:.為參數(shù)）y =3sin:一注：極坐標(biāo)系以角這一平面圖形為幾何背景，而平面直角坐標(biāo)系以互相垂直的兩條數(shù)軸為幾何背景；平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)與坐標(biāo)能建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系而極坐標(biāo)系則不可但極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系都是平面坐標(biāo)系.（2）極坐標(biāo)-MM設(shè)M是平面內(nèi)一點(diǎn)，極點(diǎn)（）與點(diǎn)M的距離|0M|叫做點(diǎn)M的極徑，記為；以極軸Ox為始邊，射線為終邊的角加M叫做點(diǎn)対

6、的極角，記為有序數(shù)對(duì)SQ叫做點(diǎn)M的極坐一般地，不作特殊說(shuō)明時(shí)，我們認(rèn)為0可取任意實(shí)數(shù)特別地，當(dāng)點(diǎn)M在極點(diǎn)時(shí),它的極坐標(biāo)為（0,0） （0 R）和直角坐標(biāo)不同,平面內(nèi)個(gè)點(diǎn)的極坐標(biāo)有無(wú)數(shù)種表示.女口果規(guī)定QP05,那么除極點(diǎn)外，平面內(nèi)的點(diǎn)可用唯一的極坐標(biāo) （卩T）表示；同時(shí),極坐標(biāo)（卩T 0）表示的點(diǎn)也是唯一確定的.2.極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化例題、直角坐標(biāo)為（-U2,磁）、（0, 2）那么它的極坐標(biāo)分別表示為極坐標(biāo)為（2,二）、（1, 0）那么他們的直角坐標(biāo)表示為 _3（1）互化背景：把直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)作為極點(diǎn)，x軸的正半軸作為極軸，并在 兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位，如圖所示：互化公式：設(shè)M是坐

7、標(biāo)平面內(nèi)任意一點(diǎn)，它的直角坐標(biāo)是（刃，極坐標(biāo) 是3仍（F - J,于是極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式如表:點(diǎn)M直角坐標(biāo)（兀M極坐標(biāo)(2, ?)2,34n、互化公式Jx= p =psm.&tsfc 6二(r (9JC在一般情況下，由伽10確定角時(shí)，可根據(jù)點(diǎn)所在的象限最小正角.（1）點(diǎn)的轉(zhuǎn)化1、直角坐標(biāo)為（一邁，邁）、（0, 2）那么它的極坐標(biāo)分別表示為極坐標(biāo)為（2,少）、（1, 0）那么他們的直角坐標(biāo)表示為 3(2)方程的轉(zhuǎn)化2、在極坐標(biāo)系中，直線I: pin 9+ 4 = 2,則直線在直角坐標(biāo)系中方程為 _在極坐標(biāo)系中，圓0:尸4,則在直角坐標(biāo)系中，圓的方程 _直線I與圓0相交，所截得的弦

8、長(zhǎng)為_(kāi)答案：因?yàn)?,psin(0 + -)=2所以直線的直角坐標(biāo)方程為T(mén)v+亍V - 2 = 0口n -v + v - 2 2二0即八，圓P =“的直角坐標(biāo)方程為Y： N psin(9 + 7) = 2被圓-一 截得的弦長(zhǎng)是3、 若曲線的極坐標(biāo)方程為尸2sin 9+ 4cos 9,以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸正半軸建立直角坐標(biāo)系，則該曲線的直角坐標(biāo)方程為 _ 4、 求滿足條件的曲線極坐標(biāo)方程直線過(guò)點(diǎn)M(l, 0)且垂直于x軸_ 直線過(guò)必(0, a)且平行于x車(chē)由_- H由知圓心的坐標(biāo)是(),半徑是4,圓心到直線的距離1屮幺習(xí)=所以直線 當(dāng)圓心位于M(a, 0),半徑為r _ 01)_當(dāng)圓心位于M(

9、l,),半徑為2：23.常見(jiàn)曲線的極坐標(biāo)方程曲線圖形極坐標(biāo)方程圓心在極點(diǎn)，半徑為F的圓p二F(0tf2ff)圓心為（人。），半徑為F的圓5p=2rcnsfilfl2 2圓心為2）,半徑為T(mén)的圓)1p2r siic x)過(guò)極點(diǎn)，傾斜角為住的直線(1)0二a(p I)或0二Ha(p “)(2)J r*/ X. / fx-l*n過(guò)點(diǎn)（a,與極軸垂直的直線JL樣二吒一y （町）過(guò)點(diǎn)2,與極軸平行的直線ojf it .2,)panfl=a(0fljr)二0或y =1 B. X = 1 C . X2y25點(diǎn)M的直角坐標(biāo)是（-1,、3）,則點(diǎn)M的極坐標(biāo)為（- - -Q - - - 乙 - -A. (2, 3

10、) B. (2 -)6極坐標(biāo)方程rCOST - 2sin 2二表示的曲線為（注：由于平面上點(diǎn)的極坐標(biāo)的表示形式不唯一，即3妙刼他（-p嚴(yán)理（-P廠只匹都表示同一點(diǎn)的坐標(biāo)，這與點(diǎn)的直角坐標(biāo)的唯一性明顯不同所以對(duì)于曲線上的點(diǎn)的極坐標(biāo)的多種表示形式少有一個(gè)能滿足極坐標(biāo)方程即可例如對(duì)于極坐標(biāo)方程：點(diǎn)等多種形式，其中,標(biāo)滿足方程權(quán).,只要求至可以表只有的極坐4圓Q =5cos J一5 3sin v的圓心坐標(biāo)是(A. (-5,4兀兀兀)B. (5, ) C. (5, ) D. (5,)3334化極坐標(biāo)方程PcosT-P二0為直角坐標(biāo)方程為（.p22A. X yC . (2, ) D. (2,2 k二亍(k

11、 Z)A.一條射線和一個(gè)圓B.兩條直線C一條直線和一個(gè)圓一個(gè)圓北京高考近幾年真題（2017年北京11題5分）在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在圓p-2p cos-9 4 p點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1, 0）,則丨AP|的最小值為_(kāi)n+4=0上，（2016年北京11題5分）在極坐標(biāo)系屮，直線于A, B兩點(diǎn)，貝U|AB =_.=6的距離為_(kāi):?二-2sin二的圓心的極坐標(biāo)系是（）.（2017年北京11題5分）在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在圓p-2p cos-4p si n+4=0上， 點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1, 0）,貝|J|AP|的最小值為_(kāi).【分析】先將圓的極坐標(biāo)方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，再運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法求出圓上的 點(diǎn)到點(diǎn)P的距離的最小值

12、.【解答】解：設(shè)圓P?- 2 p cos-4p sin+4=0為圓C,將圓C的極坐標(biāo)方程化為：2 2x2+y2- 2x - 4y+4=0,再化為標(biāo)準(zhǔn)方程：（x - 1）2+ （y- 2）2=1；（2015年北京11題5分）在極坐標(biāo)系中,點(diǎn)（2,）到直線p3(cos 0 7sin 0pcosB-pin 0-仁0與圓p二2cos 0交（2013年北京09題5分）在極坐標(biāo)系屮，點(diǎn)2 i到直線psin 0= 2的距離等于【2011北京理，3 3.在極坐標(biāo)系中，圓如圖，當(dāng)A在CP與。C的交點(diǎn)Q處時(shí)，|AP|最小為:| AP |min=|CP | I*c=2-1=1 ,故答案為：1【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查曲線

13、的極坐標(biāo)方程和圓外一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的距離的最值，難 度不大.（2016年北京11題5分）在極坐標(biāo)系屮，直線pcosO-3 psin仁0與圓p=2cos 0交 于A, B兩點(diǎn)，貝U AB|= _ .【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程.【專(zhuān)題】計(jì)算題；方程思想；綜合法；直線與圓.【分析】把圓與直線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，利用圓心C在直線上可得|AB| .【解答】解：直線pcosO- psin 0-仁0化為y直線x - ；y - 1=0.22 2 2 2圓p=2cos0化為p =2 pcosO, x +y =2x,配方為（x1） +y =1,可得圓心C （1, 0），半 徑r二1.則圓心C在直線上，|AB|二2 .故答案為：2.（2015年北京11題5分）在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)（2,）到直線p （cos 0Tsin 03=6的距離為_(kāi) 【分析】化為直角坐標(biāo)，再利用點(diǎn)到直線的距離公式距離公式即可得出.【解答】 解：點(diǎn)P （2,丄）化為P - -.3直線p （cosMsin 0 =6化為xW3y-6=0點(diǎn)P到直線的距離d二=1.Vi+tVs）2故答案為：1.9.（2013北京，理9）在極坐標(biāo)系屮，點(diǎn)2丨到直線pi