間接證明１ppt課件

1、1直接證明概念2 直接證明的普通方式：直接證明的普通方式：本題結論已知定理已知公理已知定義本題條件直接從原命題的條件逐漸推得命題成立直接從原命題的條件逐漸推得命題成立一、知識回想：一、知識回想：直接證明方法有幾種？直接證明方法有幾種？都是直接證明都是直接證明綜合法：從知條件出發(fā)，以知的定義、公綜合法：從知條件出發(fā)，以知的定義、公理、定理為根據(jù)，逐漸下推，直到推出要理、定理為根據(jù)，逐漸下推，直到推出要證明的結論為止證明的結論為止一樣不同不同 分析法：從問題的結論出發(fā)，追溯導致結分析法：從問題的結論出發(fā)，追溯導致結論成立的條件，逐漸上溯，直到使結論成論成立的條件，逐漸上溯，直到使結論成立的條件和知

2、條件吻合為止立的條件和知條件吻合為止證法有什么異同？有兩種：綜合法、分析法綜合法、分析法直接證明綜合法和分析法的推證過程如下：綜合法和分析法的推證過程如下：綜合法綜合法知條件知條件結論結論分析法分析法結論結論 知條件知條件 問題情境問題情境是異面直線”與中，命題“在長方體如何證明（必修）第三章中，在數(shù)學CAABDCBAABCD111112共面與假設CAAB1平面只能有一個的與直線由于經(jīng)過點ABC都應該在底面內和直線ABCA1在底面內，與條件矛盾1A上述證明不同于直接證明上述證明不同于直接證明這種證明通常稱為間接證明這種證明通常稱為間接證明間接證明根本概念間接證明是不同于直接證明的又一類證明方法

3、.反證法是一種常用的間接證明方法. 否認結論否認結論 導致矛盾導致矛盾 否認命題不成立否認命題不成立 原結論成立原結論成立 合理的推理合理的推理 思索？思索？ A A、B B、C C三個人，三個人，A A說說B B扯謊，扯謊，B B說說C C扯謊，扯謊，C C說說A A、B B都扯謊。那么都扯謊。那么C C必必定是在扯謊，為什么？定是在扯謊，為什么？分析分析:假設假設C沒有扯謊沒有扯謊, 那么那么C真真. - - - -那么那么A假且假且B假假;由由A A假假, , 知知B B真真. . 這與這與B B假矛盾假矛盾. .那么假設那么假設C C沒有扯謊不成立沒有扯謊不成立; ;那么那么C C必定

4、是在扯必定是在扯謊謊. . 反證法：反證法： 假設命題結論的反面成立，經(jīng)過正確的假設命題結論的反面成立，經(jīng)過正確的推理推理, ,引出矛盾，因此闡明假設錯誤引出矛盾，因此闡明假設錯誤, ,從而從而證明原命題成立證明原命題成立, ,這樣的的證明方法叫反這樣的的證明方法叫反證法。證法。反證法的思想方法：反證法的思想方法：正難那么反正難那么反間接證明根本概念反證法的過程包括以下三個步驟：反證法的過程包括以下三個步驟：1 1 反設反設假設命題的結論不成立，即假定假設命題的結論不成立，即假定原命題的反面為真；原命題的反面為真；2 2 歸謬歸謬從反設和知條件出發(fā)，經(jīng)過一系從反設和知條件出發(fā)，經(jīng)過一系列正確的

5、邏輯推理，得出矛盾結果；列正確的邏輯推理，得出矛盾結果；3 3 存真存真由矛盾結果，斷定反設不真，從由矛盾結果，斷定反設不真，從而一定原結論成立而一定原結論成立. .反證法的思想方法：反證法的思想方法：正難那么反正難那么反運用反證法的情形：運用反證法的情形：(1)(1)直接證明困難直接證明困難; ;(2)(2)需分成很多類進展討論需分成很多類進展討論(3)(3)結論為結論為“至少、至少、“至多、至多、“有無窮多個有無窮多個 類命類命題；題； (4)(4)結論為結論為 “獨一類命題；獨一類命題；例例1 1：用反證法證明：用反證法證明：假設假設ab0ab0，那么，那么a a b b證證：假假設設

6、a a b b不不成成立立，則則 a a b b若若 a a = =b b，則則a a = = b b, ,與與已已知知a a b b矛矛盾盾, ,若 a b，則a b,若 a b，則a b b矛矛盾盾, ,故故假假設設不不成成立立，結結論論 a a b b成成立立。例例2 2 知知a0a0，證明，證明x x的方程的方程ax=bax=b有且只需一有且只需一個根。個根。證：假設方程ax+b = 0(a 0)至少存在兩個根，證：假設方程ax+b = 0(a 0)至少存在兩個根，1 12 21 12 2不不妨妨設設其其中中的的兩兩根根分分別別為為x x ，x x 且且x x x x1 12 2則則a

7、 ax x = = b b，a ax x = = b b1212ax = axax = ax1 12 2 a ax x - -a ax x = = 0 01212 a（x -x ） = 0 a（x -x ） = 012121212 x x ，x -x 0 x x ，x -x 0 a = 0 a = 0與與已已知知a a 0 0矛矛盾盾, ,故故假假設設不不成成立立，結結論論成成立立。間接證明例題1.2 小的正周期求證：正弦函數(shù)沒有比先求出周期 思緒 用反證法證明 是最小正周期.2間接證明例題1假設假設T T是正弦函數(shù)的周期是正弦函數(shù)的周期那么對恣意實數(shù)那么對恣意實數(shù)x x都有都有: :解解xT

8、xsin)sin(令令x=0,x=0,得得0sinT即即.,ZkkTTT故假設最小正周期20從而對恣意實數(shù)從而對恣意實數(shù)x x都應有都應有xxsin)sin(這與這與2sin)2sin(矛盾矛盾. .因此因此, ,原命題成立原命題成立. .間接證明習題11.1.求證求證: :假設一個整數(shù)的平方是偶數(shù)假設一個整數(shù)的平方是偶數(shù), ,那么這個數(shù)也是那么這個數(shù)也是偶數(shù)偶數(shù). .假設這個數(shù)是奇數(shù)假設這個數(shù)是奇數(shù), ,可以設為可以設為2k+1,2k+1,.Zk證證: :144) 12(22kkk那么那么有有而而）（Zkkk1442不是偶數(shù)不是偶數(shù)這與原命題條件矛盾這與原命題條件矛盾. . 2 求證： 是無

9、理數(shù)。2 2證：假設 2是有理數(shù)，證：假設 2是有理數(shù)，m m則則存存在在互互質質的的整整數(shù)數(shù)m m，n n使使得得2 2 = =，n n m m = =2 2n n2 22 2 m m= = 2 2n n2 2m m 是是偶偶數(shù)數(shù)，從從而而m m必必是是偶偶數(shù)數(shù)，故故設設m m= =2 2k k（k kN N）2 22 22 22 2從從而而有有4 4k k = = 2 2n n ，即即n n = = 2 2k k2 2n n 也也是是偶偶數(shù)數(shù)，這這與與m m，n n互互質質矛矛盾盾！所以假設不成立，2是有理數(shù)成立。所以假設不成立，2是有理數(shù)成立。間接證明回想小結間接證明 反證法反證法 同一法同一法 枚舉法枚舉法 完全歸納法 2 22 22 22 2: :若若a a, ,b b, ,c c均均為為實實