考研數(shù)學(xué)《線性代數(shù)》考點知識點總結(jié)

1、第一章行列式二元線性 方程組：aiixai2ybia2ixa22 yb2Daiiai2a2ia22,Dibiai2a，D2b2a22ainl2ib2DiD2x - ， y -77 DD排列的逆 序數(shù)：ntti（ ti為排列Pi P2Pn中大丁 Pi且排于【t i）i前的元素個數(shù)）t為奇數(shù)奇排列，t為偶數(shù)偶排 歹u, t 0標(biāo)準(zhǔn)排列。n階行列 式：D det(aj)aiia2ama2ia22a2nanian 2ann=(i)aip1a2 P2anpnt為列標(biāo)排列的逆序數(shù).定理1:排列中任意兩個兀素對換，排列改變奇偶性推論：奇（偶）排列變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)排列的對換次數(shù)為奇（偶）數(shù)定理2:n階行列式可定義為D

2、( i) apiiap22apnn=(。優(yōu)22P2anp” .行列式的 性質(zhì)：i. d=dt, dt為D轉(zhuǎn)置行列式.（沿副對角線翻轉(zhuǎn)，彳T列式同樣不變 ）2.互換行列式的兩行（列），行列式變號.記作：rPj （ciCj）DD .推論：兩行（列）完全相同的行列式等于零.記作：ri rj （ci Cj）D D 0.3 .行列式乘以k等于某行（列）所有兀素都乘以k.記作：kD ri k（ kD q k）.推論：某一行（列）所有元素公因子可提到行列式的外面.記作：kD ri k（ kD ci k）.4.兩行（列）元素成比例的行列式為零.記作：Pj r k （Cj G k）D 0 .5. D上式為列!a

3、n乳(aii!)即a2ia22(a2ia2i)a2nanian2(aniani)ann變換，行變換同樣成立.Daiiai2aiiana2ia22a2ia2nanian2aniannaiiai2%加a2ia22a2ia2nanian 2aniann6 .把行列式的某一列（行）的各兀素乘以同一數(shù)然后加到另一列（行）對應(yīng)的兀素上去，行列式不變.記作：cig kcj （riri krj）, d /、變.注：任何n階行列式總能利用行運算ri+krj化為上（下）三角行列式.i020n對;i 2n )甬行列式0i2n0n(n i)(i) 2 i 2nD上D (下DT)三角)aii0a2ia22anian2a

4、nn陟行列式aiia22annaiakaiiaikD1 det(aj)升小akiakk“ak1akk若又D設(shè)，Cl1Clk bllbikbllbinD2det(bij)ck1ckk bk1bkkbnibnn貝U有 D = DiD2.若2n階行列式D2n有 D2n=(ad-bc)n.abab cdcd2n余子式：n階行列式中把 為所在的第i行和第j列去掉后，余下n-1階行列式.代數(shù)余子式：Aj(i)ijMij引理：n階行列式D中，若第i行所有兀素除aj外都為零，則有 D aj Aj .定理3:(代數(shù)余子 式性質(zhì))行列式等于它的行(列)的各兀素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘機(jī)之和.推論：行列式某一行(列)

5、的兀素與另一行(列)的對應(yīng)兀素的代數(shù)余子式乘機(jī)之和等于零.nD,當(dāng)ij,、nD,當(dāng)ij,1,當(dāng) ij,akAjD ij當(dāng).或aikAkD ij當(dāng).其中 ijc 當(dāng).k10,當(dāng)ij； k10,當(dāng)ij；0,當(dāng) ij.范德蒙德 行列式：DniiiiXiX2X3Xn2222XiX2X3Xnn inininiXiX2X3Xn=(X Xj).證明用數(shù)學(xué)歸納法.n i j i克拉默法貝U：allXla12X2alnXn4，、八舌鏟加a21X1a22X2a2nXnb2,t設(shè)方程組，7aniXian2X2annXn0D1D2Dn，一Xi, X2, Xn,其中 DjDDDaiiain字D0 ,則方程Waniann

6、aiiai,j ibiai,jiainanian,j ibnan,jiann注有，解：(j i,2, ,n).定理4:若上線性方程組的系數(shù)行列式 D 0,則方程組m惟一解；若無解或有兩個不同解，則D 0 .定理5:若齊次線性方程組(bn=0)的系數(shù)彳T列式 D 0,則齊次線性方程組無非零解若有非零解，則D 0 .第二章矩陣及其運算n階單位矩陣(單位陣)：i000i0E00iEA AE A .對角矢1陣(對角陣)：400040A00,另可記作 A diag( i, 2, , n).純量陣：入000 入0E0 0入(E)A A , A( E) A .矩陣與矩 陣相乘：若A (aj)是一個m s矩陣

7、，B (bj)是一個s n矩陣，且C AB ,則C (cj)是一個m n矩陣，且 CjailbijA2b2jaisbsj(i 1,2, ,m；j 1,2, n) .若 AB BA ,稱 A 與 B 是可交換的.矩陣轉(zhuǎn)置：若A (a。)，則AT)(A B)T AT BT,(AB)T BTAT若A AT , A為對稱陣方陣的行列式：n階方陣A元素構(gòu)成的行列式，記A或 det A .方陣行列式的運算規(guī)律：1. AT |A ;2. An A ；13. |AB| A B , A A 1伴隨矩陣：A1A21An1A*A2A22An2AAnA2nAnnAj為行列式 代數(shù)余子式.A中對應(yīng)元素的* *AA A

8、AAE逆矩陣：若AB BA E，則A可逆，且稱B為A的逆矩陣，記B = A -1, A的逆陣是唯一的.定理1 ：若矩陣A可逆，則A| 0.定理2：，1*若A 0 ,則矩陣A可逆，且A 1A .網(wǎng)奇異矩陣：當(dāng)|A| 0時，A稱為奇異矩陣.矩陣A可逆的充要條件：A 0 ,即矩陣A是非奇異矩陣。 一一一4144444 T運算規(guī)律：1. (A 1) 1A ； 2.( A) 1A 1;3. (AB) 1B 1A1；4. (AT) 1(A 1)T.矩B$ A的m次多項式：(A) a0E a1A a1A2amAm(A)f (A) f(A) (A),多項式可相乘或分解因式1.若 A PAP1,則 AkPAkP

9、1, 2. A diag( 1, 2, n)(對角陣)，則 Ak diag(k, k, , n),(A) P (A)P(A) diag( ( 1), ( 2), ( n).加減相乘與矩陣相同。分塊對角矩陣:(其中A以及Ai均為方陣)A11A1r分塊矩陣 的運算規(guī)若AAs1A srAA1A 20若|A0 ,則 A 1A11A210律：則ATATAT八11八1r0As0As1ATAT八s1八sr性質(zhì):AA1IA2|As|,且Ail 0 (i 1,2,s),則A0.TT0tlA,an )1 %TTAm% n,a1jAmA m n2 0c2行向量：列向量：若ATA 0 ,Ta2jTOCmajm癡則A

10、0 .TOi(ai1,ai2, ajamjAAn(1a1，2 a2,nan)第三章矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換：初等行(列)變換：1.rirj(ci5 )； 2.rik (cik) (k 0)； 3.rikrj (c(kcj).矩陣間等價：行等價：A B ；列等價：A B ；等價：A B .(矩陣A經(jīng)有限次初等變換變成矩陣 B)行階梯型矩陣：階梯線下為零，一行一臺階，豎線后非零兀。行最簡形矩陣：豎線后非零兀為1,同列其它兀為0.標(biāo)準(zhǔn)型：Er 0F或 F Er0 0 m n矩陣Am n經(jīng)初等變換總能化為標(biāo)準(zhǔn)型F .等價類：所有等價矩陣組成的集合，標(biāo)準(zhǔn)型為其中形狀最簡單矩陣。初等矩陣：

11、單位矩陣E經(jīng)一次初等變換所得矩陣E(f) (f為變換規(guī)則)：1.E(i,j)：r rj(c Cj)；2. E(i(k) ： r k(c k)( k 0 ) ;3. E(ij(k) ： r krj (kc c)定理1:矩陣A初等行變換，初等矩陣左乘 E(f)A;初等列變換，初等矩陣右乘 AE.定理2:方陣A可逆的充要條件：存在后限個初等矩陣E1(f)o E2(f),，El(f),使A=E1(f)E2(f)El(f).推論1:方陣A可逆 AE .推論2: AB存在可逆矩陣 P與Q,使PAQ=B.重要性質(zhì)：方陣 A 可逆，則(A, E)L(E, A-1).(A, B)(E, A-1B), Ax b,

12、 x=A-1b (A, b)(E, x)1A c ErY CA-1 或 YT (CA 1)T (AT) 1CT(AT,CT)(E,(AT) 1CT)C CA矩陣的 秩：標(biāo)準(zhǔn)型F中非零行的行數(shù) r,記R(A).且r+1階子 式全等于零，r階非零子式稱 A的最高階非零子式。矩陣A的 k階子式：取A中k行與k列父叉處的k2個兀素且 不改變對應(yīng)位置組成的 k階行列式。定義：零矩陣的秩為0;滿秩矩陣(可逆矩陣)，降秩矩陣(不可逆即奇異矩陣)。矩陣秩的 性質(zhì)：?？?Amxn) minm, n; R(AT尸R(A);若 A B ,則 R(A)=R(B);若 P、Q可逆，則 R(PAQ尸R(A);maxR(A

13、), R(B)不(A, B)*(A)+R(B),特例，當(dāng) B=b 為列向量時,有 R(A)卡(A, b)朱(A)+1 ; R(A+B)不(A)+R(B);R(AB)而in R(A), R(B);若 AmBn乂=0,貝U R(A)+R(B)切.定理4:n元線性方程組Ax b(i)無解的充分必要條件是R(A) R(A, b);(ii)有，解的充分必要條件是R(A) R(A,b) n;(iii)后尢限多解的充分必要條件是R(A) R(A,b) n .線性方程組有解，稱它相容；無解，就稱 它/、相容.定理5:線性方程組Ax b有解的充要條件是 R(A) R(A,b).定理6:n元齊次線性方程組 Ax

14、0有非零解的充要條件是 R(A) n .定理7:矩陣方程 AX B有解的充要條件是 R(A) R(A,B).定理8:設(shè) AB C ,則 R(C) min R(A), R(B).定理9:矩陣方程AmnXnl O只有零解的充要條件是 R(A) n .第四章向量組的線性相關(guān)性注：列向量用黑體小寫字母 a、b、 a、 B等表示，行向量則用 aT、bT、J、 0T等表示，若無指明均當(dāng)列向量.定義：向量b能由向量組A線性表示：b=Ra1+力a2+ ；mam(X為實數(shù))或可記為b Ax(xk列向量).n維向量(組)：向量(組中每個向量)由n個數(shù)組成。向量組等價：兩向量組能相互線性表示.向里組A線性相關(guān)：k1

15、a+k2a2+kmam=0 (ki不全為0),反之線性無關(guān)。向量組的秩：從向量組 A中可選出r個向量線性無關(guān)，且任意 r+1向量都線性相關(guān)，r為秩，記Ra.性質(zhì)：矩陣A與B行等價，則A的行向量組與B的行向量組等價；列等價，則列向量組等價.定理1:向量b能由向量組 A ： a1，a2,，am線性表上的充要條件是R(A)=R(A, b).定理2:向量組B： b1，b2,，bl能由向量組 A： a1, a2,，am線性表示的充要條件是 R(A)=R(A, B).推論：向量組 A： a1，a2,，am與向量組B： b1，b2,，bl等價的充要條件是 R(A)=R(B)=R(A, B).定理3:若向量組

16、 B： b1，b2,，bl能由向量組 A ：a1,a2,，am線性表示,則R(B)*(A).逆陣推廣：n維單位坐標(biāo)向里組E：e1，e2,，el能由n維向重組A ： a1，a2,，am線性表不的充要條件是R(A)=n.定理4:；向重組A： a1，a2,，am線性相關(guān)的充要條件是R(A)0時一te線性相關(guān)。設(shè)向里組 A： ai,a2,，am線性無關(guān)，而同重組B：ai,，am,b線性相關(guān)，則向重b必能由向重組A線性表示，且表示式是唯一的。定理6:矩陣的秩等于它的列向量組的秩，也等于它的行向量組的秩.推論：由向量組A中部分向量組成向量組 Ao,若滿足Ao線，性無關(guān)且 A中任一向量都能由 Ao線性表示，

17、則向量 組A0便是向量組A的一個最大無關(guān)組.定理7:設(shè)m n矩陣A的秩R（A尸r,則n元齊次線性方程組 Ax 0的解集S的秩Rs=n-r.解的結(jié)構(gòu)：方程Ax 0通解：x=ki g+k2&+kt&；方程 Ax b通解：x=ki *k2 &+ + kt a+刀*. E基礎(chǔ)解系，t=n-r.向量空間：非空，封閉（加法、數(shù)乘運算均在集合內(nèi)進(jìn)行）的n維向量的集合稱向量空間.由線性無關(guān) 向里組a1，a2,，ar（基）所生成的r維（維數(shù)）向量空間為：V=x= ?iai+?2a2+,|九，加，aR, 入稱為x在基ai, a2,，ar中的坐標(biāo)，若基取單位坐標(biāo)向量組，則該基稱自然基?？臻g向量V的基就是向量組的最大

18、無關(guān)組，V的維數(shù)就是向量組的秩。變換公式：基艾換公式：B-AP;坐標(biāo)變換公式：xb=P1xA.P=A 1B, P1=B1A,其中A為1日基矩陣，B為新基矩陣，xa為舊基中的坐標(biāo)列向量，xb為新基中的坐標(biāo)列向量。 P=A 1B稱為過渡矩陣.第五章相似矩陣及二次型內(nèi)積性質(zhì)：1.x, y=y, x; 2.&,y= Ay, x; 3.x+y, z=x, z+y, z; 4.當(dāng) x=0 時，x, x=0 ;當(dāng) x%時,x, x0 .施瓦茨不等式：x, y2qx, xy, y.n維向量x的長度（范數(shù)）：xJx,x Jx； x2x2.向量長度：性質(zhì)：1.非負(fù)性：當(dāng)x加時，|x|0;當(dāng)x=0時，|x|二0;

19、2.其次性|岡尸網(wǎng)卜|; 3.三角不等式|x+y|x|+|y|.向量夾角：arccos （x0, yO）,當(dāng)x, y=0時，稱向重x與y正交；右x=0, x與任何向重都正交。lx IIIMI定理1:右n維向里a1，a2,，ar是一組兩兩止交的非零向重，則 a1，a2,，ar線，住無關(guān).定義：規(guī)范正交基：基中向重兩兩止交且都是單位向重；規(guī)范正交基中坐標(biāo)計算公式：i e, a a,ei .施密特正 交化 （基規(guī)范止 交化）：dhh。b1,a2K ,h。b1,ar u b2,ar ubr1,ar u1blai，b2a2bi，b2arblb2br1.bi,bibi,bib2,b2由 i,b.i2.單位

20、化ei二，e2工b2,，e工b，就是一個規(guī)范止交基.Ibill同lbr|正交矩陣：n階矩陣A滿足AtA=E（即A AT）.A為止交陣的充要條件： A的列（彳T）向量均是單位向量， 且兩兩止交.正交陣：正交陣構(gòu)成一個規(guī)范正交基。性質(zhì)：i .若A為正交陣，則 A1=AT也為正交陣，且|A|二i或（-i）；正交交換：y=Px （P為正交陣）,且|y|二ixil-2.若A和B均為正交陣，則 AB也是正交陣.方陣特征 定義：若Ax=及成立，數(shù) 入稱為方陣A的特征值，非零向量.x稱為A的對應(yīng)于特征值 入的特征向量。特征方程：|A ?E|=0;特征多項式：f（=|A 正|二（ M（尬-4（九-a , f（4

21、是入的n次多項式。特征性質(zhì)：設(shè)n階矩陣 A= （aj）的特征值為入，則i,入+及+ M=ai什a22+ann； 2. H Q九=|A|.若Pi是方陣A的對應(yīng)特征值 1的特征向量，則 kpi （k刈）也是對應(yīng)于 1的特征向量.若入是方陣A的特征值，則：i,於是Ak的特征值；2.當(dāng)A可逆時，i/入是A1的特征值；3.（X4是4（A） 的特征值（其中（X A=a0+a ？+am 乎；A）=a0E+aiA+amAm） .定理2:設(shè)為，M,，加是方陣A的特征值，pi, p2,，pm是對應(yīng)的特征向量，右 入各不相等，則pi線，性無關(guān).定義：若對矩陣A, B有，P iAP=B,則稱B是A的相似矩陣.對A進(jìn)行

22、運算PAP稱又A進(jìn)行相似變換.定理3:若A與B相似，則A與B的特征多項式相同，且 A與B的特征值亦相同.推論：若A與對角陣A相似，則 / 心，：n即是A的n個特征值.定義：把方陣A對角化：PAP=A;可求得 依diag（3 h,，而），其中入為A特征值.7E 理 4：n階矩陣A與對角陣相似（即 A能對角化）的充要條件：A有n個線性無關(guān)的特征向量。推論：若n階矩陣A的n個特征值互不相等，則 A與對角陣相似。定理5:對稱陣的特征值為實數(shù)。定理6:設(shè)方，M是對稱陣A的兩個特征值，pi, p2是對應(yīng)的特征向量.若 Z豐江，則pi與p2正交.定理7:設(shè)A為n階對稱陣，則必啟正交陣 P,使P 1AP=PT

23、AP=A,其中A是以A的n個特征值為對角兀的對角 陣.推論：設(shè)A為n階對稱陣，入是A的特征方程的k重根，則矩陣 A-正的秩R(A正尸n-k,從而對應(yīng)特 征值入恰有k個線，住無關(guān)的特征向量.對稱陣A 對角化的步驟：1 .求出 A的全部特征值 ?i,加，,它們的重數(shù)依次為 ki, k2,，ks(ki+k2+ks=n).2 .分別對ki重特征值 九求(A E)x=0的基礎(chǔ)解系，得ki個線性無關(guān)特征向量，把它們正交化、單位化.3 .把求出的總共 n個正交、單位向量構(gòu)成正交陣P,便有P 1AP=PTAP = A, P列向量與 A的對角兀對應(yīng).二次型：1 . 基本函數(shù)式：f（X1 , X2, , Xn）=a11X 1 + a22X 2+-+annX n +2a12X1X2+2a13X1X3+. . +2a