1.2,向量及其線性運算,點的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)ppt課件

1、本學(xué)期講完本學(xué)期講完下冊的內(nèi)容?？倢W(xué)時數(shù)下冊的內(nèi)容?？倢W(xué)時數(shù)為為80。各章學(xué)時分配大致如下：第五章向量。各章學(xué)時分配大致如下：第五章向量代數(shù)與空間解析幾何約代數(shù)與空間解析幾何約10學(xué)時，第六章多元學(xué)時，第六章多元函數(shù)微分學(xué)約函數(shù)微分學(xué)約18學(xué)時，第七章重積分約學(xué)時，第七章重積分約14學(xué)學(xué)時，第八章曲線積分與曲面積分約時，第八章曲線積分與曲面積分約14學(xué)時，學(xué)時，第九章無窮級數(shù)約第九章無窮級數(shù)約14學(xué)時。其余學(xué)時作為半學(xué)時。其余學(xué)時作為半期考和期末考的復(fù)習(xí)。期考和期末考的復(fù)習(xí)?；疽螅赫n前預(yù)習(xí)；上課認(rèn)真聽講，掌握基本要求：課前預(yù)習(xí)；上課認(rèn)真聽講，掌握重點、難點和典型例題解法；課后復(fù)習(xí)總結(jié)重點、

2、難點和典型例題解法；課后復(fù)習(xí)總結(jié)并認(rèn)真完成課后作業(yè)，錯題及時訂正。并認(rèn)真完成課后作業(yè)，錯題及時訂正。一、向量及其線性運算一、向量及其線性運算二、點的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)二、點的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)三、小結(jié)三、小結(jié)第五章第五章 向量代數(shù)與空間解析幾何向量代數(shù)與空間解析幾何第一節(jié)、向量及其線性運算第一節(jié)、向量及其線性運算一、向量的概念一、向量的概念向量：向量： 既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量. .向量表示：向量表示：a或或21MM1M2M 自由向量：自由向量：不考慮起點位置的向量不考慮起點位置的向量. .相等向量：相等向量：大小相等且方向相同的向量大小相等且方向相同的向量. .ab向量的夾角向量

3、的夾角:讓兩向量的起點重合后讓兩向量的起點重合后,兩射線間夾角兩射線間夾角. 0.模為模為1 1的向量的向量. .21MM00a零向量：零向量：模為模為0 0的向量的向量. .0|a21MM| |向量的模：向量的模：向量的大小向量的大小. .單位向量：單位向量：或或或或負(fù)向量：負(fù)向量：大小相等但方向相反的向量大小相等但方向相反的向量. .a a a兩向量平行：兩非零向量方向相同或相反，就稱兩向量平行：兩非零向量方向相同或相反，就稱它們平行，記為它們平行，記為a/b。零向量與任何向量平行。零向量與任何向量平行。兩向量共線：兩向量平行時，把它們的起點放在兩向量共線：兩向量平行時，把它們的起點放在同

4、一點，則它們的終點、公共起點在一條直線上同一點，則它們的終點、公共起點在一條直線上，又稱兩向量共線。又稱兩向量共線。1 加法：加法：cba abc（平行四邊形法則）（平行四邊形法則）特殊地：假設(shè)特殊地：假設(shè)ababc|bac 分為同向和反向分為同向和反向bac|bac （平行四邊形法則有時也稱為三角形法則）（平行四邊形法則有時也稱為三角形法則）二、向量的線性運算：二、向量的線性運算：多個向量相加：多個向量相加：向量的加法符合下列運算規(guī)律：向量的加法符合下列運算規(guī)律：（1 1交換律：交換律：.abba （2 2結(jié)合律：結(jié)合律：cbacba )().(cba （3）. 0)( aa2 減法減法)(

5、 baba abb b cbabac )(ba ba abc設(shè)設(shè) 是是一一個個數(shù)數(shù)，向向量量a與與 的的乘乘積積a 規(guī)規(guī)定定為為, 0)1( a 與與a同同向向，|aa , 0)2( 0 a , 0)3( a 與與a反反向向，|aa aa2a21 3、向量與數(shù)的乘法、向量與數(shù)的乘法數(shù)與向量的乘積符合下列運算規(guī)律：數(shù)與向量的乘積符合下列運算規(guī)律：（1 1結(jié)合律：結(jié)合律：)()(aa a)( （2 2分配律：分配律：aaa )(baba )(.0ababa ，使，使一的實數(shù)一的實數(shù)分必要條件是：存在唯分必要條件是：存在唯的充的充平行于平行于，那末向量，那末向量設(shè)向量設(shè)向量定理定理兩個向量的平行關(guān)系

6、兩個向量的平行關(guān)系同方向的單位向量，同方向的單位向量，表示與非零向量表示與非零向量設(shè)設(shè)aa00|aaa .|0aaa 一個非零向量除以它的模的結(jié)果是一個與原向一個非零向量除以它的模的結(jié)果是一個與原向量同方向的單位向量量同方向的單位向量.例例1 1 化化簡簡 53215abbba例例2 2 試用向量方法證明：對角線互相平分試用向量方法證明：對角線互相平分的四邊形必是平行四邊形的四邊形必是平行四邊形. .ouPuuue u u推論：設(shè)與數(shù)軸ou的正向同向的單位向量記為e ,對數(shù)軸推論：設(shè)與數(shù)軸ou的正向同向的單位向量記為e ,對數(shù)軸上的任一點 ，坐標(biāo)為 ， OP可唯一地表示為：上的任一點 ，坐標(biāo)為

7、 ， OP可唯一地表示為：OPOPx橫軸橫軸y縱軸縱軸z豎軸豎軸 定點定點o空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系 三個坐標(biāo)軸的正方向三個坐標(biāo)軸的正方向符合右手系符合右手系.第二節(jié)、點的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)第二節(jié)、點的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)1、空間、空間 直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系xyozxoy面面yoz面面zox面面空間直角坐標(biāo)系共有八個卦限空間直角坐標(biāo)系共有八個卦限空間的點空間的點有序數(shù)組有序數(shù)組),(zyx 11特殊點的表示特殊點的表示:)0 , 0 , 0(O),(zyxM xyzo)0 , 0 ,(xP)0 , 0(yQ), 0 , 0(zR)0 ,(yxA), 0(zyB),(zoxC坐標(biāo)軸上的點坐標(biāo)軸上的

8、點,P,Q,R坐標(biāo)面上的點坐標(biāo)面上的點,A,B,C設(shè)設(shè)),(1111zyxM、),(2222zyxM為為空空間間兩兩點點xyzo 1MPNQR 2M?21 MMd在在直直角角21NMM 及及 直直 角角PNM1 中中，使使用用勾勾股股定定理理知知空間兩點間的距離空間兩點間的距離 .21221221221zzyyxxMM 空間兩點間距離公式空間兩點間距離公式xyzo 1MPNQR 2M二二.向向量量的的坐坐標(biāo)標(biāo)及及向向量量線線性性運運算算的的坐坐標(biāo)標(biāo)表表示示 以以kji,分分別別表表示示沿沿zyx,軸軸正正向向的的單單位位向向量量. ijkkajaiaazyx 向量在向量在 軸上的投影軸上的投影

9、x 向量在向量在 軸上的投影軸上的投影y 向量在向量在 軸上的投影軸上的投影z向量的標(biāo)準(zhǔn)分解式向量的標(biāo)準(zhǔn)分解式在三個坐標(biāo)軸上的分向量：在三個坐標(biāo)軸上的分向量：,kajaiazyx向量的坐標(biāo)：向量的坐標(biāo)：,zyxaaa向量的坐標(biāo)表達式：向量的坐標(biāo)表達式：,zyxaaaa 向量的加減法、向量與數(shù)的乘法運算的坐標(biāo)表達式向量的加減法、向量與數(shù)的乘法運算的坐標(biāo)表達式,zyxaaaa ,zyxbbbb ,zzyyxxbabababa ,zzyyxxbabababa ,zyxaaaa ;)()()(kbajbaibazzyyxx ;)()()(kbajbaibazzyyxx .)()()(kajaiazyx

10、 ABMxyzo1112223(,)B(,)M.A xy zxy z 例例 ：已已知知兩兩點點和和，以以及及實實數(shù)數(shù)0 0，在在直直線線ABAB上上求求一一點點，使使AM= MBAM= MB,zyxOM 特殊地：特殊地：11112222122.(,),(,),Mxy zMxyzM M 例例 設(shè)設(shè)的的坐坐標(biāo)標(biāo)為為的的坐坐標(biāo)標(biāo)為為求求向向量量的的坐坐標(biāo)標(biāo)表表示示式式。12212121()()()M Mxx iyyjzz k 12222,)M Mxyz 1 11 11 1特特別別地地，線線段段的的中中點點：x xy yz zM M= =( (2 22 22 2非零向量非零向量 的方向角：的方向角：a

11、非零向量與三條坐標(biāo)軸的正向的夾角稱為方向角非零向量與三條坐標(biāo)軸的正向的夾角稱為方向角. . 、 、 ,0 ,0 .0 xyzo 1M 2M 向量的模與方向余弦的坐標(biāo)表示式向量的模與方向余弦的坐標(biāo)表示式xyzo 1M 2M 由圖分析可知由圖分析可知 cos|aax cos|aay cos|aaz 向量的方向余弦向量的方向余弦方向余弦通常用來表示向量的方向方向余弦通常用來表示向量的方向. .222|zyxaaaa PQR向量模長的坐標(biāo)表示式向量模長的坐標(biāo)表示式0222 zyxaaa當(dāng)當(dāng) 時，時，,cos222zyxxaaaa ,cos222zyxyaaaa .cos222zyxzaaaa 向量方向

12、余弦的坐標(biāo)表示式向量方向余弦的坐標(biāo)表示式1coscoscos222 方向余弦的特征方向余弦的特征0a|aa .cos,cos,cos 特殊地：單位向量的方向余弦為向量的坐標(biāo)。特殊地：單位向量的方向余弦為向量的坐標(biāo)。以向量的方向余弦為坐標(biāo)的向量就是與該向量同以向量的方向余弦為坐標(biāo)的向量就是與該向量同向的單位向量。向的單位向量。3、向量的投影：、向量的投影：,( , ),OMON 設(shè)設(shè)向向量量a ab ba a b b|cosbae 則則向向量量a a在在向向量量b b上上的的投投影影向向量量為為|cosbaprj a 數(shù)數(shù)稱稱為為向向量量a a在在向向量量b b上上的的投投影影，記記為為kaja

13、iaazyx 向量在向量在 軸上的投影軸上的投影x 向量在向量在 軸上的投影軸上的投影y 向量在向量在 軸上的投影軸上的投影zxxprj aa yyprj aa zzprj aa ).2 , 2, 2(),4 , 2, 2(6A(1,3,-2),B(5,0,3)ABvxoyxyv 例例 ：(1)(1)設(shè)設(shè)為為空空間間的的兩兩點點，求求向向量量的的模模與與方方向向角角。（2 2）設(shè)設(shè)一一物物體體運運動動速速度度 的的大大小小為為5 5，方方向向指指向向面面上上方方，并并與與 軸軸、 軸軸正正向向的的夾夾角角為為、 ，寫寫出出 的的3434坐坐標(biāo)標(biāo)表表達達式式?？臻g直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系 空間兩點間距離公式空間兩點間距離公式（注意它與平面直角坐標(biāo)系的區(qū)別）（注意它與平面直角坐標(biāo)系的區(qū)別）（軸、面、卦限）（軸、面、卦限